4刍甍、羡除、刍童及楔形四棱台的体积公式
-
刍甍、羨除、刍童及楔形四棱台的体积公式
题
1
(2013
年高考湖北卷文科第
20
题
)
如图
1
，某地质队自水平地面
A
，
B
，
C
三处垂直
向地下钻
探，
自
A
点向下钻到
< br>A
1
处发现矿藏，
再继续下钻到
A
2
处后下面已无矿，
从而得到在
A
处
正下方的矿层
厚度为
A
1
A
2
d
1
．<
/p>
同样可得在
B
，
C
处正下方的矿层厚度分别为
B
1
B
2
d
2
，
C
1
C
2
d
< br>3
，
且
d
1
d
2
d
3
.
过<
/p>
AB
，
AC
的中
点
M
，
N
且与
直线
AA
2
平行的平面截多面体
A
1
B
1
C
1
A
2
B
2
C
2
所得的截面
D
E
F
G
为该多面体的一个中截面，其面积记为
S
中
．
图
1
(
1)
证明：中截面
D
EFG
是梯形；
(2)
在△
ABC
中，记
BC
a
，
BC
边上的高为
h
，面积为
S
.
在估测三角形
ABC
< br>区域内正
下方的矿藏储量
（即多面体
A
1
B
1
C
1
A
2<
/p>
B
2
C
2
的体积
V
）
时，
可用近似公式
V
估
S
中
h<
/p>
来估算
.
1
已
知
V
(
d<
/p>
1
d
2
d
3
)
S
，试判断
V
估
与
V
的大小关系，并加以证明
< br>.
3
1
1
< br>笔者关心的是：
该题中的
V
<
/p>
(
d
1
d
2
d
3
)
S
即
V
ah
(
< br>d
1
d
2
d
3
)
是怎么来的呢？
3
6
< br>这由下面推导的羨除体积公式立得
.
题
2
(2002
< br>年高考北京卷文科第
18
题
)<
/p>
如图
2
，在多面体
ABCD
—
A
1
B
1
C
1
D
1
中，上、下底
面平行且均为矩形，
相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，上、下底面矩形的长、
宽分别为
c
，
d
与
a
，
b
且
< br>a
＞
c
，
b
＞
d
，两底面间的距离为
h
..
(1)
求侧面
ABB
1
A
1
与底面
ABCD
所成二面角正切
值；
(2)
在估测该多面体的
体积时，经常运用近似公式
V
估
=
S
中截面
·
h
来计算
.
已知它的体积公
< br>式是
V
h
（
S
上底面
+4S
中截面
+S
下底面
）
，试判断
V
估
与
V
的大小关系，并加以证明
.
6
（注：与两个底面平行，且到
两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面
.
）
图
2
题
3
(2002
< br>年高考北京卷理科第
18
题
)<
/p>
如图
3
，在多面体
ABCD
—
A
1
B
1
C
1
D
1
中，上、
下底面平行且均为矩形，
相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，
侧棱延长后相交
于
E
，
F
两点
，上、下底面矩形的长、宽分别为
c
，
d
与
a
，
b<
/p>
且
a
＞
c
，
b
＞
d
，两底面间的距离
为
h
.
.
(1)
求侧面
ABB
< br>1
A
1
与底面
< br>ABCD
所成二面角的大小；
(2)
证明：
EF//
面
ABCD
(3)
在估测该多面体的体积时，经
常运用近似公式
V
估
=
S
中截面
·
h
来计算
.
已知它的体积公
式是
V
h
（
S
上底面
+4S
中
截面
+S
下底面
）
，试判断
V
估
与
< br>V
的大小关系，并加以证明
.
6
（注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面
.
）
图
3
笔
者<
/p>
关
心
的
是
：
高
考
题
2,3
中
的
V
h
（
S
6
上
底
面
+4S
中
截
面
+S
下
底
面
）
即
h
V
[(2
a
c
)
b
(2<
/p>
c
a
)
d
]
是怎么来的呢？这由下面推导的刍童体积
公式立得
.
6
《九章算术·商功》篇
有部分题目涉及到刍甍、羨除、刍童及楔形四棱台的体积公式，
这些公式秦汉时人都已掌
握，下面来推导它们
.
1.
刍甍
刍
甍
是图
4
所<
/p>
示中
的五
面
体<
/p>
ABCDEF
，
其
中
AB
//
DC
//
EF
，
底面
< br>ABCD
是平行四边形
.
设
AB
a
，
直线
AB
、
CD
之间的距离是
h
，
直线
EF
与
Hh
(
2
a
c
)
.
平面
A
BCD
之间的距离是
H
，则其体积
V
6
图
4
证明
如图
5
所示
.
设点
E
,<
/p>
F
在面
ABCD
上的射影分别是点
E
,
F
.
图
5
我们把平面
ABCD
分成三块区域：区域
I
指
该平面位于直线
AD
左侧的部分
(
不包
AD
、
BC<
/p>
之间的部分
(
包括直线这两条直线
)
，
括直线
AD
)
，
区域
II
指该平面夹在直线
区域
III
指该平面位于直线
BC
右侧的部分
< br>(
不包括直线
BC
).
应分六种情形来证明：
(1)
点
(2)
点
(3)<
/p>
点
(4)
点
(5
)
点
(6)
点
E
,
F
<
/p>
均位于区域
I
；
E
位于区域
I
，点
F
位
于区域
II
；
E
位于区域
I
，点
F
位于区域
III
；
E
,
F
均位于区域
II
；
E
位于区域
II
，点
F
位于区域
III
；
E
,
F
均位于区域
III
.
G
；
过点
F
作
IJ
CD
于
I
，
交
AB
于
下面只对情形
(5)
予以证明：
过点
E
作
GH
CD
于
H
，
交
AB
< br>于
J
，得
GH
< br>
h
,
E
E
H
，
所以
V
V
直三棱柱
EGH
FJI
(
V
四棱锥
AGHD
V
四棱锥
BJIC
)
Hh
H
Hh
H
c
(
S
AGHD
S
BJIC
)
c
(
S
ABCD
S
GJIH
)<
/p>
2
3
2
3
Hh
H
Hh
c
(
ah
ch
)
(
2
a
c
)
2
3
6
证毕！
2.
羨除
羨
除
是图
6
所<
/p>
示中
的五
面
体<
/p>
ABCDEF
，
其
中
AB
//
DC
//
EF
，
底面
< br>ABCD
是梯形
.
设
AB
a
,
DC
b
(
a
b
)
，直线
AB
、
CD
之间的距离是
Hh
h
，直线<
/p>
EF
与平面
ABCD
之间的距离是
H
，则其体积
V
(
a
b
c
)
.
6
图
6
证明
用补形法可证
.
图
7
如图
7
所示，延长
积公式，得
CD
至
R
，使
AB
RC
，
得刍甍
ABCREF
，由
刍甍的体
Hh
H
(
a
b
)
h
Hh
(
2
a
c
)
(
a
b
c
)
6
< br>3
2
6
V
V
刍甍
ABCREF
V
三棱锥
E
ADR
注
羨除的体积公式是由刍甍的体积公式推得的；
当羨除的下底面梯形变成平行
四边形
时
(
即图
4
所示中的
a
b
时的情形
)
，羨除就变成了刍甍
，也得刍甍的体积公式是羨除的
体积公式的极限情形
.
3.
刍童
刍
童是图
8
所示中的六面体
ABCD
A
B
C
D
，其中面
ABCD
//<
/p>
面
A
B
C
D
，
底
面
A
B
C
D
、
底
面
A
B
C
<
/p>
D
均
是
平
行
四
边
形
.
设
AB
a
,
A
< br>
B
b
，直线
AB
、
CD
之间的距离是
h
，
A
B
、
C
D
之间的
距
离
是
h
，
面
A
B
C
、<
/p>
D
A
B
C
D
之
间
的
距
离
是
H
，
则
其
体
积
H
V
[(
2
a
a
)
h
(
2
a
a
)
h
< br>
]
.
6
图
8
证明
如图
9
所示，可得面
AB
< br>B
A
与平行平面
ABCD
、
A
B
C
D
的交线
AB
、
A
< br>B
平行
,
所以
A
B
//
CD
.
连结
A
D
,
B
C
.
图
9
由刍甍的体积公式，得
V
V
刍甍
B
A
ABCD
V
刍甍
CD
A
B
C
D
H
[(
2
a
a
)
h
(
2
a
a
)
h
]
6
注
刍童的体积公式是由刍甍的体积公式推得的；
当刍童的上底面平行四边形变成线段