关于外接球的表面积与体积计算问题
-
关于外接球的表面积与体积问题（二）
一．选择题（共
30
小题）
1
．已知△
EAB
所在的平面与矩形
ABCD
所在的平面互相垂直，
EA=EB=3
，
AD=2
，
∠AEB=60°，则多面体
E
﹣
ABCD
的外接球
的表面积为（
）
A
．4π
B
．9π
C
．12π
D
．16π
2
．已知三棱柱
ABC
﹣
A
1
B
1
< br>C
1
的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱
柱的体积为，
AB=2
，则此球的体积
等于（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
3
．三棱锥
A
﹣
BC
D
中，△
ABC
为等边三角形，
AB=2
，∠BDC=90°，二面角
A
﹣
BC
﹣
D
的大小为
150°，则三棱锥
A
﹣
BCD
的外接球的表面积为（
）
A
．7π
B
．12π
C
．16π
D
．28π
4
．已知矩形
ABCD
中，
AB=6
，
BC=4
，<
/p>
E
，
F
分别是<
/p>
AB
，
CD
上两
动点，且
AE=DF
，
把四边形
BCFE
沿
EF
折起
，使平面
BCFE
⊥平面
ABCD
，若折得的几何体的体积最
大，则该几何体外接球的体积为（
）
A
．28π
B
．
C
．32π
D
．
5
．
已知三棱锥
A
﹣
BCD
中，
，
，
且各顶点均在同一个球面上，
则该球的体积为
（
）
A
．
B
．4π
C
．2π
D
．
6
．<
/p>
如图，
将边长为
2
的正△
ABC
沿着高
AD
折起，
使∠BDC=60°，
若折起后
A
、
B
、
C
、
D
四点都在球
O
的表面上，则球
O
的表
面积为（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
7
．设
SA
为球的直径，
B
、
C
、
D
三点在球面上，且
SA
⊥面
BCD
，三角形
BCD
的面
积为
3
，
V
S
﹣
BCD
=3V
A
﹣
BCD
=3
，则球的表面积为（
）
A
．16π
B
．64π
C
．π
D
．32π
8
．已知四面体
A
﹣
< br>BCD
中，△
ABC
和△
BCD
都是边长为
6
的正三角形，则当四面
体的体积最大时，其外接球的表面积是（
）
A
．60π
B
．30π
C
．20π
D
．15π
9
．
在封闭直三棱柱
ABC
﹣
A
1
B
1
C
1
内有一个体积为
V
的球，
若
AB
⊥
BC
，
AB=1
5
，
BC=8
，
AA
1
=5
，则
V
的最大值是（
）
A
．
B
．
C
．
D
．36π
10
．在正方体
ABCD
﹣
A
1
B
1
C
1
D
1
中，
M
是线段
A
< br>1
C
1
的中点，若四面体
M
﹣
ABD
的外接<
/p>
球的表面积为
36π，则正方体棱长为（
）
A
．
2
B
．
3
C
．
4
D
．
5
11
．三棱锥
P
﹣
ABC
中，
PA
、
PB
、
PC
互相垂直，
PA=PB=1
，
M
是线段
BC
上一动点，
若直线
AM
与平面
PBC
所成角的正切的最大值是，
则三棱锥
P
﹣
ABC
的外接球的表
面积是（
）
A
．2π
B
．4π
C
．8π
D
．
16
π
12
．如图某空间几何体的正视图和俯视图分别为边长为
2
的正方形和正三角形，
则该空间几何体的外
接球的表面积为（
）
A
．
B
．
C
．16π
D
．21π
13
．已知
P
，
A
，
B
，
C
是球
O
球面上的四点，△
ABC
是正三角形，三棱锥
P
﹣
ABC
的体积为，且∠
APO=<
/p>
∠
BPO=
∠CPO=30°，则球
O
的表面积为（
）
A
．4π
B
．π
C
．16π
D
．12π
14
．已知底面边长为的正三棱锥
O
﹣
ABC
的体积为，且
A
，
B
，
C
在球
O
上，则球
的体积是（
）
A
．
B
．8π
C
．20π
D
．
15<
/p>
．已知直三棱柱
ABC
﹣
A
1
B
1
C
1
中，∠BAC=90°，侧面
BCC
1
B
1
的面积为
4
，则直三
棱柱
ABC
﹣
A
1
B
1
C
1
< br>外接球表面积的最小值为（
）
A
．4π
B
．8π
C
．16π
D
．32π
16
．
如图
1
，
ABCD
是边长为
2
的正方形，
点
E
，
F
分别为
BC
，
CD
的中点，
将△
AB
E
，
△
ECF
，△
FDA
分别沿
AE
，
EF
，
FA
折起，使
B
，
C
，
D
三点重合于点
P
，若四面体
PAEF
的四个顶点在同一个球面
上，则该球的表面积是（
）
A
．
B
．6π
C
．
D
．12π
17
．将边长为的正方形
ABCD
沿对
角线
AC
折成一个直二面角
B
﹣
AC
﹣
D
．则四面
体
ABCD
的内
切球的半径为（
）
A
．
1
B
．
C
．
D
．
18<
/p>
．三棱锥
P
﹣
A
BC
三条侧棱两两垂直，三个侧面面积分别为，则该三棱锥的外
接球表面积为（
）
A
．4π
B
．6π
C
．8π
D
．10π
19
．在四面体
S
﹣
ABC
中，
，二面角
S
﹣
AC
﹣
B
的余弦值为
，则该四面体外接球的
表面积是（
）
A
．
B
．
C
．24π
D
．6π
2
0
．如图，在三棱锥
D
﹣
ABC
中，
，若该三棱锥的四个顶点均在同一球面上
，则该
球的体积为（
）
A
．
B
．4π
C
．2π
D
．
21
．
一个直三棱柱的每条棱长都是
4
，且每个顶点都在球
O
的球面上，则球
O
的<
/p>
表面积为（
）
A
．84π
B
．96π
C
．112π
D
．144π
22
．三棱锥的棱长均为
4
，顶点在
同一球面上，则该球的表面积为（
）
A
．36π
B
．72π
C
．144π
D
．288π
23
．已知正三棱柱
ABC
﹣
A
1
B
1
C
1
的六个顶点在球
O<
/p>
1
上，又知球
O
2
与此正三棱柱的
5
个面都相切，求球
O
1
与球
O<
/p>
2
的表面积之比（
）
A
．
5
：
1
B
．
2
：
1
C
．
4
：
1
D
．
：
1
24
< br>．已知四面体
ABCD
的六条棱中，
AC=BD=4
，其余的四条棱的长都是
3
，则此四
面体的外接球的表面积为（
）
A
．43π
B
．17π
C
．34π
D
．
25<
/p>
．若三棱锥
P
﹣
ABC
中，
AB=AC=1
，
AB
⊥
AC
，
PA
⊥平面
ABC
，且
直线
PA
与平面
PBC
所成角的正切值为，则三棱锥
P
﹣
ABC
的外接球的表面积为（
）
A
．4π
B
．8π
C
．16π
D
．32π
26
．若三棱锥
P
﹣
< br>ABC
中，
AB=AC=1
，<
/p>
AB
⊥
AC
，<
/p>
PA
⊥平面
ABC
，且直线
PA
与平面
PBC
所成角的正切值为，则三棱锥
P
﹣
ABC
的外接球的体积为（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
27<
/p>
．
已知正四棱锥
P
﹣
ABCD
的底面边长为，
体积为，
则此棱锥的内切球与外接球
的半径之比为（
）
A
．
1
：
2
B
．
2
：
5
C
．
1
：
3
D
．
4
：
5
28
．球
O
与锐二面角
α﹣
l
﹣β
的两半
平面相切，两切点间的距离为，
O
点到交
线
l
的距离为
2
，则球
O
的表面积为（
）
A
．
B
．4π
C
．12π
D
．36π
29
．
四面体
ABCD
的四个顶点都在球
O
的表面上，
AB
⊥平面
BCD
，
△
BCD
是边长为
3
的等边三角形．若
AB=2
，则球
O
的表面积为（
）
A
．8π
B
．12π
C
．16π
D
．32π
30
．已知在三棱锥
P
﹣
ABC
中，
V
P
﹣
ABC
=
，∠
APC=
，∠
BPC=
，
PA
⊥
AC
，
PB
⊥
BC
，且平
面
PAC
⊥平面
PBC
，那么三棱锥
P
﹣
ABC
外接球的体积为（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
关于外接球的表面积与体积问题（二）
参考答案与试题解析
一．选择题（共
30
小题）
1
．
（2017•全国模拟）已知△
EAB
所在的平面与矩
形
ABCD
所在的平面互相垂直，
EA
=EB=3
，
AD=2
，∠AEB=6
0°，则多面体
E
﹣
ABCD
的外接球的表面积为（
）
A
．4π
B
．9π
C
．12π
D
．16π
【分析】
设球心到平面
ABCD
的距离
为
d
，利用△
EAB
< br>所在的平面与矩形
ABCD
所
在
的平面互相垂直，
EA=EB=3
，∠AEB=60°，可得<
/p>
E
到平面
ABCD
的距离为，从而
R
=
（）
+d
=1
+
（﹣
d
）
，求出
R
=4
，即可求出多面体
E
﹣
ABCD
的外接球的表面
积．
【解答】
解：设球心到平面
ABCD
的距离为
d
，则<
/p>
∵△
EAB
所
在的平面与矩形
ABCD
所在的平面互相垂直，
EA=EB=3
，∠AEB=60°，
∴
E
到平面
ABCD
的距离为，
∴
R<
/p>
=
（）
+d
=1
+
（﹣
d
）<
/p>
，
∴
d=
，
R
2
=4
，
∴多面体
E
﹣
ABCD
的外接球的表面积为
4πR
2
=16π．
故选
D
．
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
【点评】
本题考查多面体
E
﹣
ABCD
的外接球的表面积，
考查学
生的计算能力，
正
确求出多面体
E
﹣
ABCD
的外接球的半径是关键．
2
．
（2017•大理州二模）已知三棱柱
ABC<
/p>
﹣
A
1
B
1
C
1
的侧棱垂直于
底面，各顶点都在
同一球面上，若该棱柱的体积为，
AB=2<
/p>
，则此球的体积等于（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
【分析
】
画出球的内接三棱柱
ABC
﹣
A
1
B
1
C
1
，
作出球的半径，<
/p>
然后可求球的表面积．
【解答】
解：设
AA
1
=h<
/p>
，则
∵棱柱的体积为，
AB=2
，
∴
∴
h=1
，
∵
AB=2
，
∴
BC==
，
如图，连接上下底面外心，
O
为
PQ
的中点，
OP
⊥
平面
ABC
，
AP==
则球的半径为
OA
，
由题意
OP=
，∴
OA==
，<
/p>
所以球的体积为：πR
3
=π
故选
B
．
【点评】
本题是基础题，解题思路是
：先求底面外接圆的半径，转化为直角三角
形，求出球的半径，这是三棱柱外接球的常用
方法；本题考查空间想象能力，计
算能力．
3
．
（2017•福州一模）
三棱锥
A
﹣
BCD
中，
△
ABC
为等边三角形，
AB=2
，
∠BDC=90°，
二面角
A
﹣
BC
﹣
D
的大小为
150°，
则三棱锥
A
﹣
BCD
的外接球
的表面积为
（
）
A
．7π
B
．12π
C
．16π
D
．28π
【分析】
由题意画出图形，通过求解直角三角形可得三棱锥
A<
/p>
﹣
BCD
的外接球的
半径，代入球的表面积公式得答案．
【解答】
解：设球心为
M
，
BC<
/p>
的中点为
P
，
∵三角形
BDC
满足∠BDC=90°
，∴
P
为三角形
BDC
的外心，
设△
ABC
的外心为
O
，∵△
A
BC
为等边三角形，
∴
MO
⊥平面
ABC
，
MP
⊥平面
BDC
，
∵二面角
A
﹣
BC
﹣
D
的
大小为
150°，∴∠OPM=60°，
在等边三角形
ABC
中，由
AB=
2
，得
AP=3
，
∴
OP=1
，在
Rt
△
MOP
中，可得
MO=
，
在
Rt
△
MOA
中，得
MA=
．
∴
三棱锥
A
﹣
BCD
的外接球的表面积为．
故选：
D
．
【点评】
本题考查球的表面积与体积
，
考查空间想象能力和思维能力，
属中档题．
< br>
4
．
（2017•香坊区校级一模）已知矩形
ABCD
中，
AB=6
，
BC=
4
，
E
，
F<
/p>
分别是
AB
，
C
D
上两动点，且
AE=DF
，把四边形
BCFE
沿
EF
折起，使平面
BCFE
⊥平面
ABC
D
，
若折得的几何体的体积最大，则该几何体外接球的体积为（
）
A
．28π
B
．
C
．32π
D
．
【分析
】
三棱柱
ABE
﹣
DCF
的底面积最大时，其体积最大．设
FC=x
，
DCF=6
﹣
x
，
s
△
DCF
===
．令
f
（<
/p>
x
）
=36x
2
﹣
12x
3
，
f′（
x
）
=72x
< br>﹣
36x
2
，令
f
（
x
）
=0
，可得
x=2
，
即当
x=2
时，
s
△
DCF
最大，此时
CF
，
CD
，
CB
两两垂直，可以把此三棱柱补成长方体，外接球的
半径为长方体对角线长的一半，得球半径
R
即可
．
【解答】
解：
将矩形
ABCD
沿
EF
折起，使得平面
ABCD
⊥平面
BC
FE
，可得直三棱柱
ABE
﹣
DCF
，
（如图）
<
/p>
三棱柱
ABE
﹣
DCF
的底面△
DCF
，△
ABE
是直角△，
AB
⊥
BE
，
FC
⊥
CD
三棱柱
ABE
﹣
DCF
的底面积最大时，其体
积最大．
设
FC=x
，
DCF=6
﹣
x
，
s
△
DCF
===
．
令
f
（
x
）
=36x
2
﹣
12x
3
，f′（
x
）
=72x
﹣
36x
2
，令
f
（
x<
/p>
）
=0
，可得
x
=2
∴当
x=2
时，
s
△
DCF
< br>最大
此时
< br>CF
，
CD
，
< br>CB
两两垂直，可以把此三棱柱补成长方体，外接球的半径为长方
体对角线长的一半
球半径
R
=
，∴几何体外接球的体积为，
故选：
D
．
【点评】
本题考查了折叠问题，及三棱柱的外接球，属于中档题
．
5<
/p>
．
（2017•贵州模拟）已知三棱锥
A
﹣
BCD
中，
，
，且各顶点均在同一个球面上，则
该球的体积为（
）
A
．
B
．4π
C
．2π
D
．
【分析】
由三棱锥的对边相等可得三棱锥
A
﹣
BCD
为某一长方体的对角线组成的
三棱锥，求出长方体的棱长
即可得出外接球的半径，从而计算出外接球的体积．
【解答】
解：补体为底面边长为
1
，高为的长方
体，外接球的球心为长方体体对
角线中点，所以球的半径
r=1
，球的体积，
故选
D
．
<
/p>
【点评】
本题考查了棱锥与外接球的位置关系，棱锥的体积计算，
转化思想，属
于中档题．
6
．
（20
17•临川区校级模拟）如图，将边长为
2
的正△
ABC
沿着高
AD
折起，使
∠
BDC=60°，
若折起后
A
、
B
、
C
、
D
四点都在球
O
的表面上，
则球
O
的
表面积为
（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
【分析
】
通过底面三角形
BCD
求出底面圆的
半径
DM
，判断球心到底面圆的距离
O
D
，求出球
O
的半径，即可求解球
O
的表面积．
【
解答】
解：△
BCD
中，
BD=1
，
CD=1
，∠B
DC=60°，
底面三角形的底面圆半径为：
DM=CM=
，
AD
是球的弦，
DA=
，∴
OM=
，
∴球的半径
OD==
．
该球的表面积
为：4π×
OD
2
=π；
故选：
B
．
【点评】
本题考查球的表面积的求法
，
球的内接体，
考查空间想象能力以及计算
能力．
7
．
（2017•贵阳一模）设
S
A
为球的直径，
B
、
< br>C
、
D
三点在球面上，且
SA
⊥面
BCD
，<
/p>
三角形
BCD
的面积为
< br>3
，
V
S
﹣
BCD
=3V
A
< br>﹣
BCD
=3
，则球的表面积为
（
）
A
．16π
B
．64π
C
．π
D
．32π
【分析】
利用
SA
⊥面
BCD
，三角形
BCD
的面积
为
3
，
V
S<
/p>
﹣
BCD
=3V
A
﹣
BCD
=3
，求出球的直
径，即可得出结论．
【解答】
解：设三棱锥
A
﹣
BCD
的高为
h
，则三棱
锥
S
﹣
BCD
的高为
3h
，球的直径
为
2R
，
∵三角形
BCD
的面积为
3
，<
/p>
V
A
﹣
BCD<
/p>
=1
，
∴
=1
，∴
h=1
，
∴
R=2
，
∴球的表面积为
4π•2
2
=16π，
故选
A
．
<
/p>
【点评】
本题考查球的表面积，考查三棱锥体积的计算，考查学生
的计算能力，
属于中档题．
8
．
（20
17•南岗区一模）已知四面体
A
﹣
B
CD
中，△
ABC
和△
BCD
都是边长为
6
的
正三角形，则当四面体的体积最大时，其外接球的表面积是（
）
A
．60π
B
．30π
C
．20π
D
．15π
【分析】
当四面体的体积最大时，
平面
ABC
⊥平面
BCD
，
取
AD
，
BC
中点分别为
E
，
F
，连接
EF
，
AF
，
DF
，求出
EF<
/p>
，判断三棱锥的外接球球心
O
在线段
EF
上，连接
OA
，
OC
，求出半径，然后求解三棱锥的外接球的表面积．
【解答】
解：当四面体的体积最大时，平面
ABC
⊥平面
BCD
< br>，
取
AD
，
BC
中点分别为
E
，
F
，连接
EF
，
AF
，
DF
，
由题意知
AF
⊥
DF
，
AF=CF
=3
，
∴
E
F=AD=
，
易知三棱锥的外接球球
心
O
在线段
EF
上，
连接
OA
，
OC
，有
R
=AE
+OE
，
R
=DF
+OF
，
∴
R
2
=
（）
2
+OE
2
，
R
2
=3
2
+
（﹣
OE
）
2
，
∴
R=
，
<
/p>
∴三棱锥的外接球的表面积为
4πR
2<
/p>
=60π．
故选
A
．
2
2
2
2
2
2
【点评】<
/p>
本小题主要考查球的内接几何体的相关计算问题，
对考生的空间想
象能
力与运算求解能力以及数形结合思想都提出很高要求，本题是一道综合题．
9
．
（2017•呼和浩特二模）在封闭直三棱柱
AB
C
﹣
A
1
B<
/p>
1
C
1
内有一个
体积为
V
的球，
若
AB
⊥
BC
，
AB=15
，
BC=8
，
AA
1
=5
，则
V
的最大值是（
）
A
．
B
．
C
．
D
．36π
【分析】
要使球的体积
V
最大，必须使
球的半径
R
最大．因为△
ABC
内切圆的半
径为
2
，
所以由题意易知球与直三棱柱的上、下底面都相切时，球的半径取得最
大值，求出三棱柱
ABC
﹣
A
1
B
1
C
1
内切球半径即可
【解答】
解：要使球的体积
V
最大，必须使球的半径
R
最大．
Rt
△
ABC
中，
AB
⊥
BC
，
AB=1
5
，
BC=8
，∴
AC=12
，△
ABC
内切圆的半
径为
r=3
，所
以由题意易知球与直三
棱柱的上、下底面都相切时，球的半径取得最大值为．
此时球
的体积为
πR
3
=
，
故选：
B
．
【点评】
本题考查了棱柱的内切球的体积，解题关键在于确定球
何时半径最大，
属于基础题．
10
．
（2
017•大东区一模）在正方体
ABCD
﹣
A
1
B
1
C
1
D
1
中，
M
是线段
A
1
C
1
的中点，若四
面体
M
﹣
ABD
< br>的外接球的表面积为
36π，则正方体棱长为（
）
A
．
2
B
．
3
C
．
4
D
．
5
【分析】
设
BD
的
中点
O′，
则球心
O
< br>在
MO′上，
利用四面体
M
﹣
ABD
的外接球表
面积为
36π，求出球的半径，利用勾股定理建立方程，求出正方体棱长．
【解答】
解：设
BD<
/p>
的中点
O′，则球心
O
< br>在
MO′上，
∵四面体
M
﹣
ABD
的外接球
表面积为
36π，
∴4πR
2
=36π，
∴
R=3
，
设正方体棱长为
2a
，则
O′A=a，
由勾股定理可得
3
2
=
（）
2
+
（
2a
﹣
3
）
2
，<
/p>
∴
a=2
，
∴正方体棱长为
2a=4
．
故选
C
．
<
/p>
【点评】
本题考查正方体棱长，考查四面体
M
﹣
ABD
的外接球表面积，确定球
心
的位置是关键．
11
．
（2
017•绵阳模拟）三棱锥
P
﹣
ABC
中，
PA
、
P
B
、
PC
互相垂直，
< br>PA=PB=1
，
M
是线段
BC
上一动点，
若直线
AM
与平面
PBC
所成角的正切的
最大值是，
则三棱锥
P
﹣
ABC
的外接球的表面积是（
）
A
．2π
B
．4π
C
．8π
D
．16π
【分析】
PA
、
PB
、
PC
互相垂直，
PA=PB=1
，
M
是线段
BC
上一动点，当
PM
最短时，
即
PM
⊥
BC
时直线
AM
与平面
PBC
所成角的正切的最大，最大值是，求出
PC=
，三
棱锥
P
﹣
ABC
扩充为长方体，
则长方体的对角线长为三棱锥
P
﹣
ABC
的外接球的直
径，即可得出结论．
【解答】
解：
M
是线段
BC
上一动点，连接
PM
，∵
PA
、
PB
、
PC
互相垂直，∴∠
AMP
就是直线
AM
与平面
PBC
所
成角，
当
PM
最短时，即
PM
⊥
BC
时直线
AM
与平面
PBC<
/p>
所成角的正切的最大．
此时，
PM=
，
在
Rt
△
PBC
中，PB
•PC=BC•PM
⇒
PC=
⇒
PC=
．
三棱锥<
/p>
P
﹣
ABC
扩充
为长方体，则长方体的对角线长为，
∴三棱锥
P
﹣
ABC
的外接球的半径为
R=1
，
∴
三棱锥
P
﹣
ABC
的外接球的表面积为
4πR
2
=4
π．
故选：
B
．
【点评】
题考查三棱锥
P
﹣
ABC
的外接球的体积
，考查线面垂直，线面角，考查
学生分析解决问题的能力，属于中档题
< br>
12
．
（2017•湖北模拟）
如图某空间几何体的正视图和俯
视图分别为边长为
2
的正
方形和正三角
形，则该空间几何体的外接球的表面积为（
）
A
．
B
．
C
．16π
D
．21π
【分析】
由几何体的三视图知该几何体是四棱锥
S
﹣
ABCD
，
其中
ABCD
是边长为
2
的
正主形，△
SBC
是边长为
2
的等边三角形，
AB
⊥平面
< br>SBC
，由此能求出该空间
几何体的外接球的表面积．<
/p>
【解答】
解：如图，由几何体的三视图
知该几何体是四棱锥
S
﹣
ABCD
，
其中
ABCD
是边长为
2
的正方形，△
SBC
是边长为
2
的等边三角形，
AB
⊥平面
SBC
，
取
BC
中点
F
，
AD
中点
E
，连结
SF
，
EF
，取
EF
中点
M
，则
MF=1
，
S
F=
，
设该几何体外接球的球心为<
/p>
O
，则
OM
⊥面
ABCD
，设
OM=x
，
过
O
作
OH
⊥
SF
，交
SF
于
H
，则
SH=
，
OH=MF=1
，
∴
OD
2
=OS
2
=R
2
，
即（）
2
+x
2
=1
2
+
（）
2
，
解得
x=
，
∴
R==
，
∴该空间几何体的外接球的表面积
S==
．
故选：
B
．
【点评】
本题考查空间几何体的外接
球的表面积的求法，
是基础题，
解题时要认
真审题，注意三视图的性质的合理运用．
13
．
（2
017•楚雄州一模）已知
P
，
A
，
B
，
C
是球
O
球面上的四点，△
ABC
是正三
角形，三棱锥
P
﹣
ABC
的体积为，且∠
APO=
∠
BPO=
∠CPO=3
0°，则球
O
的表面积
为（
）
A
．4π
B
．π
C
．16π
D
．12π
【分析】
设△
ABC
的中心为
S
，球
O
的半径为
R
，△
ABC
的边
长为
2a
，由已知条
件推导出
a=R
，
再由三棱锥
P
﹣
ABC
的体积为，
< br>求出
R=2
，
由此能求出球
O
的表面
积．
<
/p>
【解答】
解：如图，
P
< br>，
A
，
B
，
C
是球
O
球面上四点，△
ABC
是正三角形，
设△
ABC
的中心为
< br>S
，球
O
的半径为
R
，△
ABC
的边长为
2a
，