四年级奥数巧数长(正)方形的个数
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第
4
讲
巧数长（正）方形的个数
数图形
时要有次序、有条理，才能不遗漏、不重复，一般步骤应是：仔细观察，发现规律，应用
规律。
长方形是用“点”或者“线”来数的，而正方形是用“块”来数的。
数长方形的公式：
长边上的线段和×宽边上的线段和
数正方形的公式：
1
、
一个被划分成
m
×
n
的小正方形的长方形中共可
以数出的正方形的个数是：
m
×
n
＋（
m-1
）×（
n-1
）＋（
m-2
）×（
n-2
）＋…………………………＋
1
×【
n-
（
m-1
）
】
（其中
m
）
2
、
当
m=n
时
，即一个划分成
n
×
n=n
2
个小正方形的正方形中，共可以数出正方形的个数是：
< br>n
2
＋（
n-1
）
2
＋……………………＋
2
2
＋
1
2
典型例题：
1
、长方形的构成必须有长和宽，下图中有许多长方形，你能数出它们有多少个？
分析与解答
:
因为长方形的构成与长
的线段数有关，
也与宽的线段数有关，
所以数长方形的个数必须
要看长与宽
两个因素。
上图上长有<
/p>
6
条线段，即
3
＋
2
＋
1=6
（个）
宽边上有
3
条线段，即
2
＋
1=3
（个）
因此，根据数长方形公式：
< br>6
×
3=18
（个）
答：上图中共有
18
个
长方形。
2
、下图中共有多少个长方形？
分析与解答：
这道题比例
1
横竖都多了一条线，那么长方形的个数明显增多了，利用公式仍然要数出长边上的<
/p>
.
word
. .
.
. . . .
线段数和宽边上的线段数即
长边上的
线段和：
4
＋
3
＋
2
＋
1
＝
10
个
宽边上的线段和：
3+2+1=6
个
因此根据
数长方形公式：
10
×
6=60
个
答：上图中共有
60
个长方形。
3
、下图中共有多少个正方形？
分析与解答：
我们先来数一数：
只含一个正方形的有
9
< br>个
（即
3
×
3=9
）
；
含有
< br>4
个正方形的有
4
个
（即
2
×
2=4
）
；
含有
9
个正方形的有
1
个。
<
/p>
通过刚才的数，我们发现图中正方形的个数为
1
< br>×
1+2
×
2+3
×
3=1+4+9=14
个，以后我们碰到类
似的题目可以用这种方法数出正方形的个数。
4
、下图中共有多少个正方形？
分析与解答：
这道题显然与上题不一
样，虽然都是由基本小正方形组成，但长和宽里的个数不一样，即小正方
形拼接成了一个
长方形，那么方法也要有所改变。先看长边上小正方形的个数，有
5
个，再看宽边上
小正方形的个数，有
3
个，我们还用数的方法试试，只含有一个小正方形的有
3
×
5=15
个，含
4
个小
正方形的有（
3-1
）×（<
/p>
5-1
）
=8
个
，含
9
个小正方形的有（
3-2
）×（
5-2
）
=3
个，
通过刚才的数，我们发现图中正方形的个数为：
.
word
. .
.
. . . .
3
×
5
＋（
3-1
）×（
5-1
）＋（
3-2
）×（
5-2
）
=26
个
答：图中共有
26
个正方形。
5
、数一数，下图中共有多少个长方形？
分析与解答：
这道题和前
4
个题不同，
不是横竖规范的分割，
这道题意在提醒同学遇到问题不能思维定式，
不能按上面所讲的规律求解，
我们可以用枚举法找出个数，
灵活解决问题，
先给图
中每个基本图形编
上序号。
①
③
⑤
再分类数一数：
（
< br>1
）
、
6
个基本图形中有
4
个长方形：①、③、④、⑥
（
2
）
、由两个基本图形组成的长方形有
3
个：②
+
④、③
+
⑤、③
+
④
（
3
）
、由
3
< br>个基本图形组成的长方形有
2
个：①
+
③
+
⑤、②
+
④
+
⑥
（
4
）
、由<
/p>
6
个基本图形组成的长方形有
1
个：①
+
②
+
③
+
④
+
⑤
+
⑥
< br>所以上图中共有长方形：
4+3+2+1=10
个
答：上图中共有
10
个长方形。
②
④
⑥
基础练习：
1
、下图中共有多少个长方形？
.
word
. .