(1)正方形
-
19.2.3
正方形
一、教学目标
知识与技能:
1
.掌握正方形的概念、性质和判定,并会用它们进行有关的论证和计算.
2
.理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别。
过程与方法:
经历探索
正方形的有关性质、
判定重要条件的过程,
在观察中寻求新知,
在探索中发展
推理能力,逐步掌握说理能力。
< br>
情感态度与价值观:
通过正
方形与平行四边形、
矩形、
菱形的联系的教学对学生进行辩证唯
物主义教育,
提
高学生的逻辑思维能力.
二、重点、难点
1
< br>.教学重点:正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系.
2
.教学
难点:正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用.
三、课堂引入
1
.
做一做
:用一张长方形的纸片(如图所示)折出一个正方形.
学生在动手做中对正方形产生感性认识,并感知正方形与矩形
的关系.
问题:什么样的四边形是正方形?
正方形定义:有一组邻边相等
并且有一个角是直角
的平行四边形
叫做
正方形
.
......
.......
.....
指出:正方形是在平行四边形这个大前提下定义的,其定义
包括了两层意:
(
1
)有一组邻边相等的平行四边形
(菱形)
(
2
)有一个角是直角的平行四边形
(矩形)
2
.
【问题】正方形有什么性质?
由正
方形的定义可以得知,正方形既是有一组邻边相等的矩形,又是有一个角是直角
的菱形.
所以,正方形具有矩形的性质,同时又具有菱形的性质.
归纳:
(
1
)正方形四边相等,对边平行。
(
2
p>
)正方形的四个角都是直角。
(
3
p>
)正方形的对角线相等,并且互相平分,每一条对角线平分一组对角。
(
p>
4
)正方形既是中心对称图形,又是轴对称图形。
< br>
四、例题解析
例
1
(教材
P111
的例
4
)
求证:正方形的两
条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三
角形.
已知:
四边形
ABCD
是正方形,
对角线
AC
、
BD
相交于点
O
(如图)<
/p>
.
求证:
△<
/p>
ABO
、
△
BC
O
、
△
CDO
、
△
DAO
是全等的等腰直角三角形.
证明
:∵
四边形
ABCD
是正方形,
∴
AC=BD
,
AC
⊥
BD
,
AO=CO=BO=DO
(正方形的两条对角线相等,并且
互相垂直平分)
.
∴
△
ABO
、
△
BCO
、
△
CDO
、
△
DAO
都是等腰直角三角形,
并且
△
ABO
≌△
BCO
≌△
CDO
≌△
DAO
.
例
2 <
/p>
(补充)已知:如图,正方形
ABCD
中
,对角线的交点为
O
,
E
是
OB
上的一点,
DG
p>
⊥
AE
于
G
,
DG
交
OA
于
F
.
求证:
OE=OF
.
p>
分析:
要证明
OE=OF
< br>,只需证明△
AEO
≌△
DFO
,
由于正方形
的对角线垂直平分且相等
,
可以得到∠
AOE=
∠
DOF=90°
,
AO=DO
,
再由同角或等角的余角相等可以得到∠
EAO=
∠
FDO
,根据
ASA<
/p>
可以得到这两个三角形全
等,故结论可得.
证明:∵
四边形
ABCD
是正方形,
∴
p>
∠
AOE=
∠
DO
F=90°
,
AO=DO
(正方形的对
角线垂直平分且相等).
又
DG
⊥<
/p>
AE
,
∴
∠
p>
EAO+
∠
AEO=
∠
EDG+
∠
AEO=90°
.
∴
∠
EAO=
∠
FDO
.
∴
△
AEO
≌△
DFO
.
∴
OE=OF
.
例
3 <
/p>
(补充)已知:如图,四边形
ABCD
是
正方形,分别过点
A
、
C
两点作
l
1
∥
l
2
,作
BM
⊥
l
1
于
< br>M
,
DN
⊥
l
1
于
N
,直线
MB
、
DN
分别交
l
2
于
Q
、
P
点.
求证:四边形
PQMN
是正方形.
分析:由已知可以证出四边形
PQM
N
是矩形,再证△
ABM
≌
△
DAN
,证出
AM=D
N
,用同样的方法证
AN=DP
.即可
证出
MN=NP
.从而得出结论.
证明:
∵
PN
⊥
l
1<
/p>
,
QM
⊥
l
p>
1
,
∴
p>
PN
∥
QM
,∠<
/p>
PNM=90°
.
∵
PQ<
/p>
∥
NM
,
∴
四边形
PQMN
是矩形.
∵
四边形
ABCD
是正方形
∴
∠
BAD=
∠
ADC=90°
,
AB=AD=DC
(正方形的四条边都相等,
四个角都是直角)
< br>.