正方形几何综合专题---40道题目(含答案)
-
01
如图，在正方形
ABCD
< br>中，点
G
在对角线
BD
上
(
不与点
B
，
D
重合
)
，
GE
⊥
DC
于点
E
，
GF
⊥
BC
于点
F
，连接
AG
.
(1)<
/p>
写出线段
AG
，
GE
，
GF
长度之间的等量关系，并说
明理由；
(2)
若正方形
ABCD
的边长为
1
，<
/p>
∠
AGF
＝
10
5°
，
求线段
BG
的长．
解：
(1
)
AG
2
＝
G
E
2
＋
GF
2
；理由：如解图，连接
CG
，
∵四边形
ABCD
是
正方形，
∴∠
ADG
＝∠
CDG
＝
45°
，
AD
＝
CD
，
DG
＝
DG
，
∴△
ADG
≌△
CDG
，∴
AG
＝
CG
，
<
/p>
又∵
GE
⊥
DC
，
GF
⊥
BC
，∠
BCD
＝
90°
，
∴四边形
< br>CEGF
是矩形，∴
CF
＝
GE
，
在
Rt
△
GFC
中，由
勾股定理得，
CG
2
＝
GF
2
＋
CF
2
，
∴
AG
2
＝
GE
2
＋
GF
2
；
(2)
如解图，过点
A
作
AM
⊥
BD
于点
M
，
∵
GF
⊥
BC
，∠
ABG
＝∠
GBC
＝
45°
，
∴∠
BAM
＝∠
BGF
＝
45°
，
∴△
ABM
，△
BGF
都是等腰直角三角形，
∵
AB
＝
1<
/p>
，
2
∴
AM
＝
BM
＝
2
，
∵∠
AGF
＝
105°
，<
/p>
∴∠
AGM
＝
60°
，
A
M
∴
tan60
°＝
< br>GM
，
6
∴
GM
＝
6
，
2
6
3
2
＋
6
∴
BG
＝
BM
＋
GM
＝
2
＋
6
＝
.
6
02<
/p>
如图，正方形
ABCD
中，
AB
＝
6
，点
E
在
边
CD
上，
且
CD
＝
3
DE
．
将△
ADE
沿
AE
对
折至△
AFE
，
延长
EF
交边
BC
于点<
/p>
G
，
连结
AG<
/p>
、
CF
．下列结论：①△
ABG
≌△
AFG
；
②
BG
＝
GC
；③
AG
∥
CF
；④
S
△
FGC
＝
3
．其中
正确结
论的个数是
(
)
A
．
1
B
．
2
C
．
3
D
．
4
A
D
E
F
B
G
10
题图
C
考点
：
翻折变换（折叠问题）
；全等三角形的判定与性质；勾股定理
分析：
根据翻折变换的性质和正方形的性质可证△
ABG
≌△
AFG
；在直角
△
ECG
中，根据
勾股定理可证
BG
=
GC
；通过证
明∠
AGB
=
∠
AGF
=
∠
GFC
< br>=
∠
GCF
，由平行线的判定可
得
AG
∥
CF
；由于
S
△
FGC
=
S
△
GCE
﹣
S
△
FEC
，求得面积比较即可．
解答：
解
：①正确．因为
AB
=
AD
=
AF
，
AG
=
AG
，∠
B
=
∠
AFG
=90°
，∴△
ABG
≌△
AFG
；
②正确．因为：
EF
=
DE
=
错误！未找到引用源。
CD
=2
< br>，设
BG
=
FG
=
x
，则
CG
=6
﹣
x
．在直角
△
ECG
中，根据勾股定理，得（
6
﹣
x
）
+4
=
（
x
+2
）
，解得
x
=3
．所以
BG
=3=6
﹣
3=
GC
；
GFC
=
③正确．因
为
CG
=
BG
=
GF
，所以△
FGC
是等腰三角形，∠
D
∠
GC
F
．又∠
AGB
=
∠
AGF
，∠
AGB
+
∠
AGF
=180°
﹣∠
FGC
=
A
∠
E
GFC
+
∠
GCF
，
∴∠
AGB
=
∠
AGF
=
∠
GFC
=
∠
GCF
，∴
AG
∥
CF
< br>；
④错误．过
F
作
FH
⊥
DC
，
∵
BC
⊥
DH
，
< br>∴
FH
∥
GC
< br>，
∴△
EFH
∽△
EGC
，
∴
错误！未找到引用源。
F
B
G
10
题
C
2
2
2
FH
=<
/p>
错误！未找到引
GC
用
< br>源
。
EF
，
EG
EF
=
DE
=2
，
GF
< br>=3
，
∴
EG
=5
，
∴
EF
2
FH
=
错误！未找到引用源。
=
，
EG
5
GC
∴
S
△
FGC
=
S
△
GCE
﹣
S
△
FEC
=
错误！未找到引用源。
×
3×
4
﹣
错误！未找到引用源
。
×
4×
（
错
误！
未找到引用源。
×
3
）
=
错误！未找到引用源。
≠3
．
故选
C
．
点评：
本题综合性较强，
考查了翻折变换的性质和正方形的性质，
全等三角形的判定与性质，
勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算，有一定的难度．
03
如图
，
在一方形
ABCD
中．
E
为对角线
AC
上一点，<
/p>
连接
EB
、
ED
，
（
1
）求证：
△
BEC
≌△
DEC
：
（
2
）
延长
BE
交
AD
于点
F
，
若∠
DEB=140°
．
求∠
AFE
的度数．
考点
：正方形的性质；对顶角、邻补角；三角形内角和定理；全等三
角形的判定与性质。
专题
：证明题。
分析：
（
1
）
根据正方形的性质得出
CD=CB
，
∠
DCA=
∠
BCA
，
根据
SAS
即可证出结论；
（
2
）根据
对顶角相等求出∠
AEF
，根据正方形的性质求出∠
DAC
，根据三角形的内角和定
理求出即可．
解答：
（
1
）证明：∵四边形
ABCD
是正方形，
∴
CD=CB
，
∠
DCA=
∠
BCA
< br>，
∵
CE=CE
，
∴△
BEC
≌△
DEC
．
（
2
）解：∵∠
DEB
=140°
，
∵△
< br>BEC
≌△
DEC
，
∴∠
DEC=
∠
BEC=70°
，
∴∠
AEF=
∠
BEC=70°
，
∵∠
DAB=9
0°
，
∴∠
DAC=
∠
BAC=45°
，
∴∠
AFE=180°
﹣
70°
﹣
45°
< br>=65°
．
答：∠
AFE
的度数是
65°
．
点评：
本题主要考查对正方形的性质
全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，
对顶角等知识点的理解和掌握，能熟练
地运用这些性质进行推理是解此题的关键．
04
如图，点
E
是
正方形
ABCD
内一点，△
CDE
是等边三角形，连接
EB
、
EA
，延长
BE
交边
AD
于点
F
．
（
1
）求证：△
ADE
≌△
BCE
；
（
5
分）
（
2
）求∠
A
FB
的度数．
（
5
分）
【答案
】解：
（
1
）∵四边形
ABCD
是正方形，
∴∠<
/p>
ADC
=
∠
BC
D
=90
°，
AD
=
BC
．
∵△
CDE
是等边三角形，
∴∠
CDE
=
∠
DCE
=60
°，
DE
=
CE
．
∵∠
AD
C
=
∠
BCD
=90
°，∠
CDE
=
∠
DCE
=60
°，
∴∠
ADE
=
∠
BCE
=30
°．
∵
AD
=<
/p>
BC
，∠
ADE
=
∠
BCE
，
DE
=
CE
，
∴△
ADE
≌△
BCE
．
（
2
）∵△
ADE
≌△
BCE
，
∴
AE
=
BE
，
∴∠
BAE
=
∠
ABE
．
∵∠
BAE
+
∠
DAE
=90
°，∠
AB
E
+
∠
AFB
=90
°，
∠
BAE
< br>=
∠
ABE
，
< br>
∴∠
DAE
=
∠
AFB
．
∵
AD
=
CD
=
DE
，
< br>∴∠
DAE
=
∠
DEA
．
∵∠
ADE
=30
°，
∴∠
DAE
=75
°
，
∴∠
AFB
=75
°．
05<
/p>
如图，四边形
ABCD
是正方形，点
E
，
K
分别在
BC
，
AB
上，点
G
在
BA
的延
长线上，
且
CE
＝
BK
＝
AG
．
（
1
）求证：①
DE
＝
DG
；
②
DE
⊥
< br>DG
（
2
）尺规作图：以线段
DE
，
DG<
/p>
为边作出正方形
DEFG
（要求：只保留
作图痕迹，不写作
法和证明）
；
（
3
）连接（
2<
/p>
）中的
KF
，猜想并写出四边形
CEFK
是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想：
（
4
）当
S
CE
1
时
，请直接写出
正方形
ABCD
错误！未
找到引用源。
的值．
CB
n
S
正方形
DEFG
解答：
（
1
）证明：∵四边形
ABCD
是正方形，
∴
DC
＝
DA
，∠<
/p>
DCE
＝∠
DAG
＝
90°
．
又∵
CE
＝
AG
，
∴△
DCE
< br>≌△
GDA
，
∴
DE
＝
DG
，
∠
EDC
＝∠
GDA
，
又∵∠
ADE
＋∠
EDC<
/p>
＝
90°
，
<
/p>
∴∠
ADE
＋∠
GDA
＝
90°
，
∴
DE
⊥
DG
．
（
2
）如图．
（
3
）四边
形
CEFK
为平行四边形．
证明：设
CK
．
DE<
/p>
相交于
M
点，
∵四边形
ABCD
和四边形
DEFG
都是正方形，
∴
AB
∥
CD
，
AB
＝
CD
，
EF
＝
DG
，
EF
∥
DG
，
∵
BK
＝
AG
，
∴<
/p>
KG
＝
AB
＝<
/p>
CD
，
∴四边
形
CKGD
是平行四边形，
∴
CK
＝
DG
＝
EF
，
CK
∥
DG
，
∴∠
KME
＝∠
GDE<
/p>
＝∠
DEF
＝
9
0°
，
∴∠
KME
＋∠
DEF
＝
< br>180°
，
∴
CK
∥
EF
，
∴四边形
CEFK
为平行四
边形．
（
4
）
错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。
．
点评：
此题考查的知识点是正方形的性质．
全等三角形的判定和性质．
平行四边形的判定及
作图，解题的关键是先由正方形的性质通过证三角形全等得出结论，此题较复杂。
06
如图，
在正方形
ABCD
中，
点
O
为对角线
AC
的中
点，过点
O
作射线
O
M
、
ON
分别交
AB
、
BC
于
点
E
、
F
，
且∠
EOF
=90°
，
BO
、
EF
交于点
P
．则
下列结论中：
<
/p>
（
1
）图形中全等的三角形只有两对；<
/p>
（
2
）正方形
ABCD
的面积等于四边形
OEBF<
/p>
面积
的
4
倍；<
/p>
（
3
）
BE+BF
=
错误！未找到引用源。
OA
；
（
4
）
AE
2
+CF
2
=
2
OP•OB
，
正确的结论有
（
）
个．
A
、
1
B
、
2
C
、
3
D
、
4
<
/p>
考点
：
正方形的性质；全等三角形的判定
与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质。
分析：
本题考查正方形的性质，四边相等，四个角都是直角，对角线相等，垂直且互相
平分，且平分每一组对角．
解答：
< br>解：
（
1
）从图中可看出全等的
三角形至少有四对．故（
1
）错误．
（
2
）
△
OBE
的面积和
△
OFC
的面积相等，故正方形
ABCD
的面积等于四边形
OEBF
面积
的
4
倍，故（
2
）正
确．
（
3
）
BE+BF
是边长，故
< br>BE+BF
=
错误！未找到引用源。
OA
是正确的．
（
4
）因为
AE=BF
，
CF=BE
，故
AE
+CF
=2OP•OB
是正确的．
故选
C
．
<
/p>
点评：
本题考查了正方形的性质，
全等三
角形的判定和性质，
以及勾股定理和相似三角
形的判定和性质等
．
2
2
07
在正方形
A
BCD
的边
AB
上任取一点
E
，
作
EF
⊥
AB
交
BD
于点
F
，取
FD
的中点
G
，连接
EG
、
CG
，
如
图
（
1
）
，
易
证
EG
⊥
CG
EG=CG
且
．
（
1
）将△
BEF
绕点
B
逆时针旋转
90°
，如图（
2
）
，
则线段
EG
和
CG
有怎样的数量关系和位置关系？
请直接写出你的猜想．
（
2
）
将△<
/p>
BEF
绕点
B
逆
时针旋转
180°
，
如图
（
3
）
，
< br>则线段
EG
和
CG
又有怎样的数量关系和位置关
系？请写出你的猜想，并加以证明．
【考点】旋转的性质；全等三角形
的判定与性质；正方形的性质。
【分析】从图（
1
）中寻找证明结论的思路：延长
FE
交
DC
延长线于
M
，连
MG
．构
造出△<
/p>
GFE
≌△
GMC
．易得结论；在图（
2
）
、
（
3
）中借鉴此解法证明．
【解答】
解：
（
1
）
EG=CG
，
EG
⊥
CG
．
（
2
分）
<
/p>
（
2
）
EG=C
G
，
EG
⊥
C
G
．
（
2
分）
<
/p>
证明：延长
FE
交
DC
延长线于
M
，连
MG
．
∵∠
AEM=90°
，∠
EBC=90°
< br>，∠
BCM=90°
，
∴四边形
BEMC
是矩形．
< br>
∴
BE=CM
，∠
EMC=90°
，
又∵
BE=EF
，
∴
EF=CM
．
< br>∵∠
EMC=90°
，
FG=D
G
，
∴
MG
=
错误！未找到引用源。
FD=FG
．
∵
BC=EM
，
BC=CD
，
< br>∴
EM=CD
．
∵
EF=CM
，
∴
FM=DM
，
∴∠
F=45°
．
又
FG=DG
，
∠
CMG=
错误！未找到引用源。
∠
EMC=45°
，
< br>
∴∠
F=
∠
< br>GMC
．
∴△
GFE
≌△
GMC
．
∴
EG=CG
，∠<
/p>
FGE=
∠
MGC
．
（
2
分）
<
/p>
∵∠
FMC=90°
，
< br>MF=MD
，
FG=DG
，
∴
MG
⊥
FD
，
∴∠
FGE+
∠
EGM=90°
< br>，
∴∠
MGC+
∠
EGM=90°
，
即∠
EGC=90°
，
∴
EG
⊥
CG
．
（
2
分）
【点评】
此题综合考查了旋转的性质
及全等三角形的判断和性质，
如何构造全等的三角
形是难点，因
此难度较大．
08
如图①，在正方形
ABCD
中，
△
AEF
的顶点
E
，
F
分别在
BC
，
CD
边上，高
AG
与正方形的边长相
等，求∠
EAF
的度数．
（
2
）
如图②，
在
Rt
△
ABD
中，
∠
BAD
=90°
，
AB
=
AD
，
点
M
，
N
是
BD
边上的任意两点，且∠
MAN
=45°
，
将
△
ABM
绕点
A
逆时针旋转
90°<
/p>
至
△
ADH
位置
，
连
接
NH
，
试判断
MN
，
ND
，
DH
之间的数量关系，
并说明理
由．
（
3
）
在图①中，连接
BD
分别交
AE
，
AF
于点
M
，
N
，
若
EG
=4
，
GF
=6
，
BM
=3
错误！
未找到引用源。
，
求
AG
，
MN
的长．
考点
：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理。
分析：
（
1
）根据高
AG
与正方形的边长相等，证明三角
形相等，进而证明角相等，从而
求出解．
（
2
）用三角形全等和正方形的对角线平分每一组对角的知
识可证明结论．
（
3
）设出线段的长，结合方程思想，用数形结合得到结果．
解答：
（
1
）在
< br>Rt
△
ABE
和
Rt
△
AGE
中，
AB
AG
，
AE
AE
，
∴△
ABE
≌△
AGE
．
∴
BAE
GAE
．
同理，
GAF
D
AF
．
1
BAD
45
．
2
（<
/p>
2
）
MN
2
ND
2
DH
2
．
∵
BAM
DAH
，
BAM
DAN
45
，
∴
EAF
∴
HAN
DAH
DAN
45
．
∴
HAN
MAN
．
又∵
AM
AH
，
AN
AN
，
<
/p>
∴△
AMN
≌△
AHN
．
∴
MN
HN
．
∵
BAD
90
<
/p>
，
AB
AD<
/p>
，
∴
ABD
ADB<
/p>
45
．
∴
HDN
HDA
ADB
90
．
∴
NH
2
ND
2
DH
2
．
∴
MN<
/p>
2
ND
2
DH
2
．
（
3
）由（
1
）知，
BE
EG
，
DF
FG
．
A
设
AG
x
，则
CE
x
4
，
CF
x
6
．
∵
CE
2
CF
2
< br>
EF
2
，
B
M
E
G
C
（图①）
N
F
D
∴
(
x
4
)
2
(
x
6
)
2
10
2
．
解这个方程，得
x
1
12
，
x
2
2
（
舍去负根
）
．
∴
AG
12
．
∴
BD
AB
2
AD
2
< br>2
AG
2
12
2
．
在（
2
）中，
MN
< br>2
ND
2
DH
2
，
BM
DH
，
∴
MN
2
ND
2
B
M
2
．
设<
/p>
MN
a
，则<
/p>
a
2
(
12
2
3
2
a
)
2
(
3
< br>2
)
2
．
∴
a
5
2
．即
MN
5
2
．
点评：
本题考查里正方形的性质，四边相等，
对角线平分每一组对角，
以及全等三角形的判
定和性质，勾股
定理的知识点等．
09
如图
9
，点<
/p>
P
是正方形
ABCD
边
AB
上一点（不
与点
A
，
B
重合）
，连接
PD
并将线段
PD
绕点
P
顺
时针
方向旋转
90°
得到线段
PE
，
PE
交边
BC
于点
F
，
连接
BE
，
DF
.
（
1
）求证：∠<
/p>
ADP
＝∠
EPB
；
（
2
）
求∠
CBE
的度数；
（
3
）当
AP
的值等于多少时，△
PFD
∽△
BFP
？并
AB
说明理由
.
D
C
F
A
P
B
E
图
9
【答案】
（
1
）证明：∵四边形
ABCD
是正方形
∴∠
A<
/p>
＝∠
PBC
＝
9
0
°，
AB
＝
AD
，∴∠
ADP
＋∠
APD
＝
90
°
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
1
分
∵
∠
DPE
＝
90
°
∴
∠
APD
＋∠
EPB
< br>＝
90
°
∴∠
ADP
＝∠
EPB
.
·
·
·
·
·
·
·
< br>·
·
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< br>·
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< br>·
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·
2
分
（
2<
/p>
）过点
E
作
EG
⊥
AB
交
AB
的延长线于点
G
，则∠
EGP
＝∠
A
＝
90
°
·
·
·
·
3
分
D
C<
/p>
F
A
P
B
E
G
又∵∠
ADP
＝∠
EPB
，
PD
＝
PE
，
∴△
PAD
≌△
EGP
∴
EG
＝
< br>AP
，
AD
＝
< br>AB
＝
PG
，∴
AP
＝
EG
＝
BG
·
·
< br>·
·
·
·
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·
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·
·
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·
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·
·
< br>·
·
·
·
·
·
4
分
∴∠
CBE
＝∠
EBG
＝
45
°
. ·
·
·
·
·
·
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·
·<
/p>
·
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·<
/p>
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·
5
分
（
3<
/p>
）方法一：
当
AP
1
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< br>·
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·
< br>·
·
·
·
·
·
6
分
时，△
PFE
∽△
BFP
. ·
AB
2
∵∠
ADP
＝∠
FPB
，∠
A
＝∠
PBF
，∴△
ADP
∽△
BPF
·
·
< br>·
·
·
·
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·
·
·
·
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·
·
7
分
设
AD
＝
AB
＝
a<
/p>
，则
AP
＝
PB
＝
∴
PD
<
/p>
AD
2
AP<
/p>
2
∴
1
AP
1
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
< br>·
·
·
8
分
a
，∴
BF
＝
BP
·
a
·
2<
/p>
AD
4
5
5
a
，
PF
PB
2
BF
2
a
4
2
PB
BF
5
·
·
·
·
·
< br>·
·
·
·
·
·
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< br>·
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< br>·
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·
9
分
PD
PF
5
又∵∠<
/p>
DPF
＝∠
PBF
＝
90
°，∴△
ADP
∽△
BFP
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
< br>·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
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·
·
·
·
·
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·
·
10
分
方法二：
假设△
ADP
∽△
BFP
，则
PB
BF
. ·
·
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·<
/p>
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·
·
6
分
PD
PF
∵∠
ADP
＝∠
FPB
，∠
A
＝∠
PBF
，∴△
ADP
∽△
BPF
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
< br>·
·
·
7
分
∴
∴<
/p>
PD
AP
，
<
/p>
·
·
·
·
·
·
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·<
/p>
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·<
/p>
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·
·
·
·
·
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·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
8
分
PF
BF
P
B
AP
，
·
·
·
·
·
·<
/p>
·
·
·
·
·
·
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·
·
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·<
/p>
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·
·<
/p>
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
9
分
BF
BF
AP
1
时，△
PFE
∽△
BFP
.
AB
2
∴
PB
＝
AP
，
∴当
10
分
10
已知正方形
ABCD
，以
CD
为边作等边△
CD
E
，则∠
AED
的度数是
考点：
正方形的性质；三角形内角和
定理；等腰三角形的性
质；等边三角形的性质。
专题：
计算题。
分析：
当
E
在正方形
ABCD
内时，根据正方形
ABCD
，得到
AD
=
CD
，∠
ADC
=90°
，根
据等边△
CDE
，得到
CD
=
DE
，
∠
CDE
=60°
，推出
AD
=
DE
，得出∠
DAE
=
∠
AED
< br>，根据三角
形的内角和定理求出即可；
当
E
在正方形
ABCD
外时，根据等边三角形
CDE
，推出
∠
ADE
=150°
，
求出即可．
解答：
解：有两种情况：
当
E
在正方形
ABCD<
/p>
内时，
∵正方形
ABCD
，
∴
AD
=
CD
，∠
< br>ADC
=90°
，
∵等边△
CDE
，
∴
CD
=
DE
，∠
CDE
=60°
，
∴∠
ADE
=90°
﹣
60°
=30°
，
∴
AD
=
DE
，
∴∠
DAE
=
∠
AED
=
错误！未找到引用源。
（
180°
﹣∠
ADE
）
=75°
；
当
E
在正方形
AB
CD
外时，
∵等边三角形
CDE
，
∴∠
EDC
=60°
，
<
/p>
∴∠
ADE
=90°
+60°
=150°
，
∴∠
AED
=
∠
DAE
=
错误！未找到引用源。
（
180°
﹣∠
ADE
）
=15°
．
<
/p>
故答案为：
15°
或
75°
．
点评：
本题主要考查对正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内
角和定理等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．
11<
/p>
如图①，
在正方形
ABCD
中，
点
E
，
F
分别为
DC
，
BC
边上的点，
且满足∠
E
AF=45°
，
连接
EF
，求证
DE+BF=EF
．
A
D
E
感悟解
题方法，并完成下列填空：
1
2
3
将
△
ADE
绕点
A
顺时针旋转
90°
得到
△
ABG
< br>，此时
AB
与
AD
C
G
B
F
< br>（第
25
题）
①
重合，由旋转可得：
AB=AD,BG=DE,
∠
1=<
/p>
∠
2
，∠
ABG
=
∠
D=90°
,
< br>∴∠
ABG+
∠
ABF=90°
+90°
=180°
，
因此，点
G
，
B
，
F
在同一条直线上．<
/p>
∵∠
EAF=45°
∴∠
2+
∠
3=
∠
BAD-
∠
EAF=90°
-45°
=45°
．
∵∠
1=
∠
2
，
∴∠
1+
∠
3=45°
．即∠
< br>GAF=
∠
_________
．
又
AG=AE
，
AF=AF
∴△
GAF
≌
_______
．∴
_________=EF
，故
DE+BF=EF
．
⑵方法迁移：
如图②，将
Rt
ABC
沿斜边翻折
得到
△
ADC
，点
E
，
F
分别为
DC
，
BC
边上的点，且
∠
EAF=
1
∠
DAB
．试猜想
DE
，
BF
，
EF
之间有何数量关系，并证明你的猜想．
2
A
D
E
B
C
F
（第
25
题）
②
⑶问题拓展：
如图③，
在四边形
ABCD
中，
AB
=AD
，
E
，
F
分别为
DC,BC
上的点，
满足
EAF
1
DAB
,
2
试猜想当∠
B
与∠
D
满足什么关系时，
可使得
DE+BF=EF
．
请直接写出你的猜想
（不必说明
理由）
．
A
D
E
B
F
C
（第
25
题）
③
【答案】⑴
EAF
、
△
EAF
、
GF
．
⑵
DE+BF=EF
，理由如下：
假设∠
B
AD
的度数为
m
，
将
△
ADE
绕点
< br>A
顺时针旋转
m
得到
△
ABG
，
此时
AB
与
AD
重合，由旋转可得：
AB=AD,BG=DE,
∠
1=<
/p>
∠
2
，∠
ABG
=
∠
D=90°
,
< br>∴∠
ABG+
∠
ABF=90°
+90°
=180°
，
因此，点
G
，
B
，
F
在同一条直线上．<
/p>
∵∠
EAF=
1
1
1
m
<
/p>
∴∠
2+<
/p>
∠
3=
∠
BAD
-
∠
EAF=
m
m
m
2
2
2
1
m
．
2
∵∠
1=
∠
2
，
< br>∴∠
1+
∠
3=
即∠
GAF=
∠
EAF
又
AG=AE
，
A
F=AF
∴△
GAF
≌△
EAF
．
∴
GF=EF
，
又∵
GF=BG+BF=DE+BF
∴
DE+BF=EF
．
A
1
3
E
C
D
2
G
B
F
（第
25
题）②解得图
<
/p>
⑶当∠
B
与∠
D
互补时，可使得
DE+BF=EF
．<
/p>
12
已知：如图
1
，
O
为正方形
ABCD
的中心，分别延长
OA
到点
F
，
OD
到点
E
，使
OF
＝
2
OA
，
OE
＝
2
OD
，连结
EF
，
将△
FOE
绕点
O
逆时针旋转
α
角得到△
F
'
OE
'
（如图
2
）
.
（
1
）
探究
AE
′与
BF
'
的数量关系，并给予证明；
（
2
）
当
α
＝
30
°时，求证：△
AOE
′为直角三角形
.
【答案】
（
1
）
AE
′＝
BF
证明：如图
2
< br>，
∵在正方形
ABCD
中，
AC
⊥
BD
∴∠
F
'
OE
'
＝∠
AOD
＝∠
AOB
＝
90
°
即∠
AO
E
′＋∠
AOF
′＝∠
BOF
′＋∠
AOF
′<
/p>
∴∠
AOE
′
＝∠
BOF
′
又∵
OA
＝
OB
＝
OD
，
OE
′＝
2
OD
，
OF
′＝
2
OA
< br>
∴
OE
′＝
< br>OF
′
∴△
< br>OAE
′≌△
OBF
′
∴
AE
′＝
BF
（
2
）作△
AOE
′的中线
A
M
，如图
3
.
则
OE
′＝
2
OM
＝
2<
/p>
OD
＝
2
OA<
/p>
∴
OA
＝
OM
∵
α
＝
30
°
∴∠
AOM
＝
60
°
∴△
AOM<
/p>
为等边三角形
∴
MA
＝<
/p>
MO
＝
ME
′，
∠
AE
'
M
＝
∠
E
'
AM
又∵∠
AE
'
M
＋∠
E
'
A
M
＝∠
AMO
即
2
∠
AE
'
M
＝
60
°
∴∠
AE
'
M
＝
30
°
<
/p>
∴∠
AE
'
M<
/p>
＋∠
AOE
′＝
30
°＋
60
°＝
90
°
∴△
AOE
′为直角三角形
.
13
如图
1
，奖三
角板放在正方形
ABCD
上，使三角板的直角顶点
E
与正方形
ABCD
的顶点
A
重合，三角板的一边交
CD
于点
F
，另一边交
CB
的延长线于点
G
．
（
1
）求证：
EF
＝
EG
< br>；
（
2
）如图
2
，移动三角板，使顶点
E<
/p>
始终在正方形
ABCD
的对角线
AC
上，其他条件不
变．
（
1
）中的结论是否仍然成立？若成立，情给予证明；若不成
立，请说明理由；
（
3
）如图
3
，将（
2
）中的“正方形
ABCD
”改为“矩形
ABCD
”
，且使三角板的一边
经过点
B
，其他条件不变，若
AB
＝
a,
BC
＝
b
，求
EF
的值．
EG
图
1
图
2
图
3
（
1<
/p>
）证明：∵∠
GEB
＋∠
BEF
＝
90
°，∠
DEF
＋∠
BEF
＝<
/p>
90
°，
∴∠
DEF
＝
GEB
，„„„„„„„„„„„„„„„„„„（
1
分）
又∵
ED
＝
B
E
，
∴
Rt
△
FE
D
≌
Rt
△
G
EB
，„„„„„„„„„„„„„„„„（
2
分）
∴
EF
＝
EG
．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（
3
分）
(2)
成立．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（
4
分）
证明：如图，过点
E
分别作
BC
、
CD
的垂线，垂足分别为
< br>H
、
I
，
则
EH
＝
EI
，∠
HEI
＝
90
°，„„„„„„„„„„„„„（<
/p>
5
分）
∵∠
GEH
＋∠
HEF
＝
90
°，∠
IEF
＋∠
HEF
＝
90
°，
∴∠<
/p>
IEF
＝∠
GEH
，„„„„„„„„„„„„„„„„„（
6
分）
∴
Rt
△
FEI
≌
Rt
△
GEH,
∴
EF
＝
EG
．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„
„„（
7
分）
(3)
解：如图，过点
E
分别作
BC
、
CD
的垂线，垂足分别为
M
、
N
，
则∠
ME
N
＝
90
°，
EM
∥
AB
，
EN
∥
AD,
„„„„„„„„„（<
/p>
8
分）
EM
CE
EN
＝
＝
，
AB
CA
AD
EM
AB
a
∴
＝
＝
, <
/p>
„„„„„„„„„„„„„„„„（
9
分）
AD
b
EN
∴
∵∠
GEM
＋∠
MEF
＝
90
°，∠
FEN
＋
∠
MEF
＝
90
°，
∴∠
FEN
＝∠
GEM
，
∴
Rt
△
FEN
∽
Rt
△
GEM,
„„„„„„„„„„„„„„„„（
10
分）
∴
EF
EN
b
＝
＝
．„„„„
„„„„„„„„„„„„（
11
分）
EG
EM
a
14
已知
正方形
ABCD
的边长为
a
，两条对角线
AC
、
BD
相交于点
O
，
P
是射线
AB
上任意一
点，过
P
点分别做直线
AC<
/p>
、
BD
的垂线
P
E
、
PF
，垂足为
E
、
F
.
（
1
）如图
1
，当
P
点在线段
AB
上时，求
PE
+
PF
的值；
（
2
）如图
2
，当
P
点在线段
AB
的延长线上时，求
P
E
－
PF
的值
.
（
1
）∵四边形
ABCD
为正方形，∴
AC
⊥
BD
.
PF
⊥
BD
，∴
PF
//
AC
，同
理
PE
//
BD
.
PFOE
为矩形，故
PE
=
OF
.
【解】
∵
∴四边形
又∵∠
PBF
=45
°，∴
PF
=
BF
.
∴
PE
+
PF
=
OF
+
FB
=
OB
=
a
cos
45
2
2
a
.
（
2
）∵四边形
ABCD
为正方形，∴
AC
⊥
< br>BD
.
∵
PF
⊥
BD
，∴
PF
//
AC
，同理
PE
//
BD
.
∴四边
形
PFOE
为矩形，故
PE
=
OF
.
又∵∠
PBF
=45
°，∴
PF
=
BF
.
∴
PE
－
PF
=
OF
－
BF
=
OB
=
a
cos
45
2
2
a
.
15
如图
，点
G
是正方形
ABCD
对角线
CA
的延长线上任意一点，以线段
AG
为边作一个正
方形
A
EFG
，线段
EB
和
< br>GD
相交于点
H
．
（
1
）求证：
EB=GD
；
（
2
）判断
EB
与
GD
的位置关系，并说明理由；
（
3
）若
AB=2
，
AG=
错误！未找到引用源。
2
，求
EB
的长．
考点<
/p>
：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理。
分析：
（
1
）在
△
GAD
和
△
EAB
中，
∠
GA
D=90°
+
∠
EAD
，
∠
EAB=90°
+
∠
EAD
，得
到
∠
GAD=
∠
EA
B
从而
GAD
≌△
EAB
，即
EB=GD
；
（
2
）
EB
⊥
GD
，由（
1
）得∠
ADG=
∠<
/p>
ABE
则在
△
B
DH
中，∠
DHB=90°
所以
EB
⊥
GD
；
（
3
）设
BD
与
AC
交于点
O
，由
AB=AD=2
在
Rt
△
ABD
< br>中求得
DB
，所以得到结果．
解答：
（
1
）
证明：在
△
GAD
和
< br>△
EAB
中，∠
GAD=90°
+
∠
EAD
，
∠
EAB=90°
+
∠
EAD
，
∴∠
GAD=
∠
EAB
，
又∵
AG=AE
，
AB=AD
，
∴△
GAD
≌△
EAB
，
∴
EB=GD
；
（
2
）
EB
⊥
GD
，理由如下：连接
BD
，
由（
1
）得
：∠
ADG=
∠
ABE
，则在
△
BDH
中，
∠
DHB=180°
﹣
（
∠
HDB+
∠
HBD
）
=180°
﹣
90°
=90°
，
∴
EB
⊥
GD
；
（
3
）设
BD
与
AC
交于点
O
，
∵
AB=AD=2
在
Rt
△
AB
D
中，
DB=
错误！
< br>未找到
引用源。
AB
2
AD
2
2
2
，
∴
EB=GD=
错误！未找到引用源。
OG
2
OD
2
8
2
10
．
点评：
本题考查了正方形的性质，
考查了利用其性质证得三角形全等，
并利用证得的条件求
得边长
．
16<
/p>
如图，已知正方形
ABCD
的边长为
4
，对称中心为点
P
，点
F
为
BC
边上一个动点，点
E
在
AB
边上，且满足条件∠
EPF=45
°
，图中两块阴影部分图形关于直线
AC
成轴对称，
设它
们的面积和为
S
1
．
（
1
）求证：∠
APE=
∠
CFP
；
（
2
）设四边形
CMPF
的面积为
< br>S
2
，
CF=x
，
．
①
求
y
关于
x
的函数解析式和自变量
x
的取值范围，并求出
y
的最大值；
②
当图中两块阴影部分图形关于点
P
成中心对称时，
求
y
的值．
解答：
（
1
）证明：∵∠
EPF=45
°
，∴∠
APE+
∠
FP
C=180
°
﹣
45
< br>°
=135
°
；
而在
△
PFC
中，
由于
PF
为正方形
ABCD
的对角线，
则∠
< br>PCF=45
°
，
则∠
CFP+
∠
FPC=
180
°
﹣
45
°
=135
°
，∴∠
APE=
∠
CFP
．
（
2
）解：
①
∵∠
APE=
∠
CFP
，且∠
FCP=
∠
PAE=45
°
，
∴△
APE
∽△
CPF
，则
．
而在正方形
ABCD
中，
AC
为对角线，则
AC=
又∵
P
为对称中心，则
AP=CP=
，
∴
AE=
=
=
．
AB=
，
如
图，过点
P
作
PH
⊥
AB
于点
H
，
PG
⊥
BC
于点
G
，
P
为
AC
中点，则
< br>PH
∥
BC
，且
PH=
BC=2
，同理
PG=
2
．
S
△<
/p>
APE
=
=
×<
/p>
2
×
=
，
∵阴影部分关于直线
AC
< br>轴对称，∴△
APE
与
△
APN
也关于直线
AC
对称，
则
S
四边形
AEPN
=2S
△
APE
=
；而
S
2
=2S
△
PFC
=2
×
﹣
2x
，
=2x
，
∴
S
1
=S
正方
形
ABCD
﹣
S
四边形
AEPN
﹣
S
2
=16
﹣
∴
y=
=
=
+
< br>﹣
1
．
∵
E
在
AB
上运动，
F
在
BC
上运动，且∠
EPF=45
°
，∴
2
≤
x
≤
4
．
令
=a
，则
y=
﹣
8a
+8a
﹣
1
，当
a=
2
=
，即
x=2
时，
y
取得最大值．
而
x=2
在
x
的取值范围内，代入<
/p>
x=2
，则
y
最
大
=4
﹣
2
﹣
1=1
．
∴
y
关于
x
的函
数解析式为：
y=
+
﹣
1
（
2
≤
x
≤
4
）
，
y
的最大值为
1
．
②
图中两块阴影部分图形关于
点
P
成中心对称，
< br>而此两块图形也关于直线
AC
成轴对称，则阴影部分图形
自身关于直线
BD
对称，
则
EB=BF
，即
AE=
FC
，
∴
=
x
，解得
x=
，
代入
x=
，得
y=
﹣
2
．
17
如图，正方形
ABCD
中，
AB=6
，点
E
在边
CD
上
，且
CD=3DE
．将
△
ADE
沿
AE
对折
至
△
AFE
，延长
EF
交边
BC
于点
G
，连接
AG
、
CF
．则下列结论：
①
△
ABG
≌△
AFG
；
②
BG=CG<
/p>
；
③
AG
∥
CF
；
④
S
△
EGC
=S
△
AFE
；
⑤
∠
AGB+
∠
AED=145
°
．
其中正确的个数是（
）
A
．
2
B
．
3
C
．
4
D
．
5
解答：
解：
①
正确．
理由：
∵
A
B=AD=AF
，
AG=AG
，∠
B=
∠
AFG=90
°
，∴
Rt
△
ABG
≌
Rt
△
AFG
（
HL
）
< br>；
②
正确．理由：
EF=DE=CD=2
，设
BG=FG=x
，则
CG=6
﹣
x
．
2
2
2
在直角
△
ECG
中，根据勾股定理，得（
6
﹣
x
）
+4
=
（
x+2
）
，
解得
x=3
．∴
< br>BG=3=6
﹣
3=GC
；
③
正确．理由：
∵
CG=BG
，
BG=GF
，∴
CG=GF
，
∴△
FGC
是等腰
三角形，∠
GFC=
∠
GCF
．
又∵
Rt
△
ABG
≌
Rt
△
AFG
；
∴∠
AGB=
∠
AG
F
，∠
AGB+
∠
AGF=2
∠
AGB=180
°<
/p>
﹣
∠
FGC=
∠
GFC+
∠
GCF=2
∠
GFC=2
∠
GCF
，
∴∠
AGB=<
/p>
∠
AGF=
∠
G
FC=
∠
GCF
，∴
< br>AG
∥
CF
；
< br>
④
正确．理由：
∵
S
△
GCE
=GC
•
CE=
×
3
×
4=6
，∵
S
△
AFE
=AF
•
EF=
×
6
×
2=6
，∴
S
△
EGC
=S
△
AFE
；
⑤
错误．∵∠
BAG=
∠
FAG
，∠
DAE=
∠<
/p>
FAE
，
又∵
∠
BAD=90
°
，∴∠
GAF=45
°
，∴∠
AG
B+
∠
AED=180
°
﹣∠
GAF=135
°
．<
/p>
故选：
C
．
18<
/p>
如图，在正方形
ABCD
中，点
M
是
BC
边上的任一点
，连接
AM
并将线段
AM
绕
M
顺时
针旋转
90°
得到线段
MN
，在
CD
边上取点
P
使
CP
=
BM
，连接
NP
，
BP
< br>．
（
1
）求证：四边形
BMNP
是平行四边形；
（
2
）线段
MN
与
CD
交于点
Q
，连接
AQ
，若△
MCQ
∽△
AMQ
，则
BM
与
MC
存
在怎样的
数量关系？请说明理由．
解答：
（
1
）证明：在正方形
ABCD
中，
AB
=
BC
，∠
ABC
=
∠
B
，
在△
ABM<
/p>
和△
BCP
中，
，
∴△
AB
M
≌△
BCP
（
SAS
）
，
∴
AM
=
BP
，∠
BAM
=
∠
CBP
，
∵∠
< br>BAM
+
∠
AMB
=90°
，
∴∠
CBP
+
∠
AMB
=90°
，
∴<
/p>
AM
⊥
BP
，<
/p>
∵
AM
并将线
段
AM
绕
M
顺
时针旋转
90°
得到线段
MN
，
∴
AM
⊥
MN
，且
AM
=
MN
，∴
MN
∥
BP
，
∴四边形
BMNP
是平行四边形；
（
2
）解：
BM
=
M
C
．
理由如下：∵∠
BAM<
/p>
+
∠
AMB
=9
0°
，∠
AMB
+
∠
CMQ
=90°
，
∴∠
BAM
=
∠
CMQ
，
又∵∠
B
=
∠
C
=90°
，
∴△
ABM
∽△
MCQ
，
∴
=
，
∵△
MCQ
∽△
A
MQ
，
∴△
AMQ
∽△
ABM
，
< br>
∴
∴
=
=
，
，
∴
BM
=
M<
/p>
C
．
19
如图，正方形
< br>ABCD
的对角线相交于点
O
，
∠
CAB
的平分线分别交
BD
，
BC
于点
E
，
F
，
作
BH
⊥
AF
于点
H
，分别交
AC
，
CD
于点
G
，
P
，连接
GE
，
GF
．
（
1
）求证：
△
OAE
≌△
OBG
；
（
2
）试问：四边形
< br>BFGE
是否为菱形？若是，请证明；若不是，请说明理由；
（
3
）试求：
< br>的值（结果保留根号）
．
．
解答：
（
1
）证明：∵四边形
ABCD
是正方形，
∴
OA=OB
，∠
AOE=
∠
BOG=90
°
．
∵
BH
⊥
AF
，∴∠
AHG=90
°
，
∴∠
GAH+
∠
AGH=90
°
=
∠
OBG+
∠
AGH
，<
/p>
∴∠
GAH=
∠
OBG
，即∠
OAE=
∠
OBG
．
∴在
△
OAE
与
△
OBG
中，
∴△
OAE
≌△
OBG
（
ASA
）
；
（
2
）四边
形
BFGE
是菱形，理由如下：
∵在
△
AHG
与<
/p>
△
AHB
中，
∴△
AHG
≌△
AHB
（
ASA
）
< br>，∴
GH=BH
，
∴
AF
是线段
BG
的垂直平分线，∴
EG=EB
，
FG=FB
．
∵∠
BEF=
∠
BAE+
∠
ABE=67.5
°
，∠
BFE=90
°
﹣∠
BA
F=67.5
°
∴∠
BEF=
∠
BFE
∴
EB=FB
，∴
EG=EB=FB=FG<
/p>
，∴四边形
BFGE
是菱形；
（
3
）设
OA=OB=OC=a
，菱形
GEBF
的边长为
b
．∵四边形
BF
GE
是菱形，
∴
GF
∥
OB
，∴∠
CGF=
∠
COB=90
°<
/p>
，∴∠
GFC=
∠
GCF=45
°
，∴
CG=GF=b
，
（也可由
△
OAE
≌△
OBG
< br>得
OG=OE=a
﹣
b
，
OC
﹣
CG=a
﹣
b
，得
CG=b
）
∴
OG=
OE=a
﹣
b
，在
Rt
△
GOE
中，由勾股定理可得
：
2
（
a
﹣<
/p>
b
）
=b
，求得
a=
∴
AC
=2a=
（
2+
∴
=
=
）
b
，
AG=AC
﹣
CG=
（
1+
=
2
< br>2
，
b
）
b
∵
PC
∥
AB
，∴△
CGP
∽△
AGB
，
﹣
1
，由（
1
）
△
OAE
≌△
OBG
得
AE=GB
，
∴
=
=
﹣
1
，即
=
﹣
1
．
20
如图，正方形
AEFG
的顶点
E
、
G
在正方形
ABCD
的边
AB
、
AD
上，连接
BF<
/p>
、
DF
．
（
1
）求证：
BF
=
DF
；
<
/p>
（
2
）连接
CF
，请直接写出
BE
：
< br>CF
的值（不必写出计算过程）
．
考点
：
正
方形的性质；全等三角形的判定与性质．
分析：
（
1
）根据正方形的性质得出
BE
=
DG
，再利用△
BEF
≌△
DGF
求得
BF
=
DF
，
< br>（
2
）由
BF
< br>=
DF
得点
F
< br>在对角线
AC
上，再运用平行线间线段的比求解．
解答：
（
1
）证明：∵四边形
ABCD
和
AEFG
都是正方形，
<
/p>
∴
AB
=
AD<
/p>
，
AE
=
AG<
/p>
=
EF
=
FG<
/p>
，∠
BEF
=
∠
DGF
=90°
，
∴
BE
=
AB
﹣
AE
，
DG
=
AD
﹣
AG
，∴
BE
=
DG
，
在△
BEF
和△
DGF
中，
∴△
BEF
≌△
DGF
（
SAS<
/p>
）
，
∴
BF
=
DF
；
（
2
）解：∵
BF
=
DF
∴点
F
在对角线
A
C
上
∵
AD
∥
EF
∥
BC
∴
BE
：<
/p>
CF
=
AE
：<
/p>
AF
=
AE
：<
/p>
∴
BE
：
CF<
/p>
=
．
AE
=
点评：
本
题
主要考查正方形的性质及三角形全等的判定和性质，要熟练掌握灵活应用．