人教版八年级初二数学第二学期平行四边形单元 易错题综合模拟测评学能测试试卷
-
人教版八年级初二数学第二学期平行四边形单元
易错题综合模拟测评学能测
试试卷
一、解答题
1
．
综合与探究
< br>（
1
）如图
1
< br>，在正方形
ABCD
中，
E
是
AB
上一点，
F
是
AD
延长线上一点，且
DF
BE
．
CE
和
CF
之间有怎样的关
系．请说明理由．
（
2
）如图
2
，在正方形
ABC
D
中，
E
是
A
B
上一点，
G
是
AD
上一点，如果
GCE
45
，请你利用（
1
）的结论证明：
GE
BE
CD
．
（
3
）运用（
1
）（
2
）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图
3
在直
角梯形
ABCD
中，
AD
/
/
BC
(
BC
AD
)
，
B
90
，
AB
BC
12
，
E
是
AB
上一点，且
DCE
45
，
BE
4
，求
DE
的长
．
2
．
如图，在正方形
ABCD
中，点
M
是
B
C
边上任意一点，请你仅用无刻度的直尺，用连
线的方法，分别
在图（
1
）、图（
2
< br>）中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）
.
（
1
）在如
图（
1
）的
AB
边上求作一点
N
，连接
CN
，使
CN
AM
；
（
2
）在如图（
2
）的
AD<
/p>
边上求作一点
Q
，连接
< br>CQ
，使
CQ
AM
.
3
．
< br>如图，在长方形
ABCD
中，
A
B
8,
AD
6
．
动点
P
、
Q
分别从
点
D
、
A
同时
出发向
点
C
、
B
运动，点
P
的运动速度为每秒
2
个单位，点
Q
的运
动速度为每秒
1
个单位，当点
P
运动到点
C
时，两个点都停止运动，设运动的
时间为
t
s
．
（<
/p>
1
）请用含
t
的
式子表示线段
PC
、
BQ
的长，则
PC
________
，
BQ
________
．
（
2
）在运动过程中，若存在某时刻使得
BPQ
是等腰三角形，求相应
t
的值．
4
．
如图①，已知正方
形
ABCD
中，
E
，
F
分别是边
AD
，
CD
上的点
(
点
E
，
F
< br>不与端点重合
)
，
且
AE=DF
，
BE
，
AF
交于点
P
，过
点
C
作
CH
⊥
BE
交
BE
于
点
H
．
（
1
）求证：
AF
∥
C
H
；
（<
/p>
2
）若
AB=2
3
，
AE=2
，试求线段
PH
的长；
（
3
）如图
②，连结
CP
并延长交
AD
于点
Q
，若点
H
是
BP
的中点，试求
CP
的值．
PQ
5
．
如图
，
M
为正方形
ABCD
的对角线
BD
上一点
.
过
M
作
BD
的垂线交
AD
于
E
，连
BE
，取
BE
中点
O
．
<
/p>
（
1
）如图
1<
/p>
，连
AO
、
MO
，试证明
AOM
90
；
（
2
）
如图
2
，连接
AM
、
AO
，并延长
AO
交对角线
BD
于点
N
，试探究线段
DM
、
MN
、
NB
之间的数量关系并证明；<
/p>
（
3
）如图<
/p>
3,
延长对角线
BD
至
Q
延长
DB
至
P
,
连
CP
,
CQ
若
PB
2,
PQ
9
,
且
PCQ
135
，则
PC
．（直接写出结果）
6
．
猜想与证明：如图①摆放矩形纸片
ABCD
与矩形纸片
ECGF
，使
B
，
C
，
G
三点在一条直
线上，
CE
在边
CD
上．连结
AF<
/p>
，若
M
为
AF<
/p>
的中点，连结
DM
，
ME
，试猜想
DM
与
ME
的
数量关系，并证明你的结论．
拓展与延伸：
(1)
若将“猜想与证明”中的纸片换成正方形纸片
ABCD
与正方形纸片
ECGF
，其他条件不
变，则
DM
和
ME
的关系为
__________________
；
(2)
如图②摆放正方形纸片
ABCD
与正方形纸片
ECGF
，使点
F
在边
CD
上，点
M
仍为
AF<
/p>
的
中点，试证明
(1)
< br>中的结论仍然成立．
[
提示：直角三角形斜边上的中线等
于斜边的一半
]
①
②
7
．
如图
1
，点
E
为正方形
ABCD
的边
AB
上一点，
EF
EC
，且
EF
EC
，连接
AF
，过点<
/p>
F
作
FN
垂直于
BA
的延长线于点
N
< br>．
（
1
）求
EAF
的度数；
（
2
）如图
2
，连接
FC
交
BD
于
M
，交
AD
于
P
，试证明：
BD
BG
DG
AF
2
DM
．
8
．
如图<
/p>
1
，在矩形
ABCD
中，对角线
AC
与
BD
相交于点
O
，过点
O
作直线
EF
⊥
BD
，且交
AC
于点
E
，交
BC
于点
F
，连接
BE
、
< br>DF
，且
BE
平分∠
ABD
.
（
1
）①求证：四边形
B
FDE
是菱形；②求∠
EBF
的度数．
（
2
）把（
1
）中菱形
BFDE
< br>进行分离研究，如图
2
，
G
，
I
分别在
BF<
/p>
，
BE
边上，且
BG
=
BI
，
连接
GD
，
H
为
GD
的中点，连接
FH
，并延长
FH
交
ED
于点
J
，连接
IJ<
/p>
，
IH
，
IF<
/p>
，
IG
．试探究
线段
IH
与
FH
之间满足的数量关系，并说明理由；
（
3
）把（
1
）中矩形
ABCD
进行特殊化探究，如图
3
< br>，矩形
ABCD
满足
AB
=
AD
时，点
E
是
对角线
AC
上一
点，连接
DE
，作
EF
⊥
DE
，垂足为点
E
，交
AB
于点
F
，连接
DF
，交
AC
于点
G
．请直接写出线段
AG
，
GE
，
EC
三者之间满足的数量关系．
< br>9
．
如图，正方形
ABCD
的对角线
AC
，
B
D
相交于点
O
，点
E
是
AC
的一点，连接
EB
，过点
A
做
AM
⊥
BE
，垂足为<
/p>
M
，
AM
与
BD
相交于点
F
．
（
1
）猜想：如图（
1
）线段
< br>OE
与线段
OF
的数量关系为<
/p>
；
（
2
）拓展：如图（
< br>2
），若点
E
在
AC
的延长线上，
AM
⊥
BE
于点
M
，
AM
、
DB
的延长
线相
交于点
F
，其他条件不变，（
1
）的结论还成立吗？如果成立，请仅就图（
2
）给出证明；
如果不成立，请说明理由．
< br>
10
．
点
E
在正方形
ABCD
的边
BC
上，点
F
在
AE
上，连接
FB
，
FD
，∠
ABF=
∠
AFB
．
（
1
）如图
1
，求证：∠
AFD=
∠
ADF
；
（
2
）如图
2
，过点
F
作垂线交
AB
于
G
，交
DC
的延长线于
< br>H
，求证：
DH=2
AG
；
（
3
）在（
2
）的条件下，若
EF=2
，
CH=3
，求<
/p>
EC
的长．
【参考答案】
***
试卷处理标记，请不要删除
一、解答题
1
．
（
1
）
CE=CF
且
CE
⊥
CF
，
理由见解析；（
2
）见解析；（
3
）
10
【分析】
（
1
）根据正方形的性质，可证明△
CBE
≌△
CDF
（
SAS
），从而得出
CE=CF
，
∠
BCE=
∠
DCF
，再利用余角的性质得到
CE
⊥
C
F
；
（
2<
/p>
）延长
AD
至
M
，使
DM=BE
，连接
CM
，由△
BEC
≌△
DFC
，可得∠
BCE=
∠
DCF
，即可求
∠
GCF=
∠
GCE=45°
，且
GC=GC
，
EC=CF
可证△
ECG
≌△
GC
F
（
SAS
），则结论可求．
（
3
）过点
C
作
CF
⊥
AD
于
F
，可证四边形<
/p>
ABCF
是正方形，根据（
2
）的结论可得
DE=DF+BE=4+DF
，根据
勾股定理列方程可求
DF
的长，即可得出
DE
．
【详解】
解：（
1
）
CE=CF
且
CE
⊥
CF
，
证明：如图
1
，
∵四边形
ABCD<
/p>
是正方形，
∴
BC=CD
，∠
B=
∠
CDF=90°
，
又∵
BE=DF
，
∴
△
CBE
≌△
CDF
< br>（
SAS
），
∴
CE=CF
，∠
BCE=<
/p>
∠
DCF
，
<
/p>
∵∠
BCD=
∠
BCE+
∠
ECD=90°
，
∴∠
ECD+
∠
DCF=90°
，即
CE
< br>⊥
CF
；
（
2
）延长
AD
< br>至
M
，使
DM=BE
，连接
CM
，
∵∠
GCE=45°
，
∴∠
BCE+
∠
GCD=45°
，
∵△
BEC
≌△
DFC
，
∴∠
BCE=
∠
DCF
，
∴
∠
DCF+
∠
GCD=45°
，即∠
GCF=45°
，
∴∠
GCE=
∠
< br>GCF
，且
GC=GC
，
CE=CF
，
∴△
GCE
≌△
GCF
（
SAS
），
< br>∴
GE=GF
，
∴
GE=GD+DF=BE+GD
；
（
3
）如图：过点
C
作
CF
⊥
AD
于
F
，
∵
AD
∥
BC
，∠
B=90°
，
∴∠
A=90°
，
∵∠
A=
∠
B=90°
，
FC
⊥
AD
，
∴四边形
ABCF
是矩形，且
AB=BC=12
，
∴四边形
ABCF
是正方形，
<
/p>
∴
AF=12
，
由（
2
）可得
DE=DF+BE
，
∴
DE=4+DF
，
在△<
/p>
ADE
中，
AE
2
+DA
2
=DE
2
．
∴（
12-4
）
2
+
（
12-DF
）
2
=
（
4+DF
）
2
．
∴
DF=6
，
∴
DE=4+6=10
．
【点睛】
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，四边< p>
形的面积，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
2
．
（
1
）
见解析；（
2
）见解析
.
【分析】
（
1
）连接
BD
，
BD
与
AM
交于点
O
，连接
CO
并延
长交于
AB
，则
CO
< br>与
AB
的交点为点
N
．可先证明△
AOD
≌△
COD
，再证明△
MOB
≌
NOB
，从而可得
NB
=
MB
；
（<
/p>
2
）连接
MO
并
延长与
AE
交于点
Q
< br>，连接
QC
，则
CQ
∥
AM
．理由如下：由正方形的性质
以及平行线等分线段可证
QO
=
MO
，从而可知四边形
AQCM
为
平行四边形，从而可得
CQ
∥
AM
．
【详解】
<
/p>
解：（
1
）如图（
1
），
连接
BD
，
BD
与
AM
交于点
O
，连接
CO
并延长交于
AB
，则
CO
与
AB
的交点为点
N
，则
CN
为所作．
理由：在
△
AOD
与
△
COD
中，
AD
＝
CD
∵
ADO
＝
CDO
，
OD
＝
OD
∴△
AOD
≌△
COD
（
SAS<
/p>
），
∴∠
OA
D
=
∠
OCD
，
∴∠
B
AM
=
∠
BCN
．
在
△
A
BM
与
△
CBN
中，
BAM
＝
BCN
∵
AB
＝
CB
，
ABM
＝
CBN
∴△
ABM
≌△
CBN
（
ASA
），
∴
CN
=
AM
．
（
2
）如图
2
连接
AC
、
BD
交与
O
点，连接
MO
并延长与
AE
交
于点
Q
，连接
QC
，则
CQ
为
所求的线段
.
在正方形
ABCD
中，
OA
=<
/p>
OB
=
OC
=<
/p>
OD
，
AD
∥<
/p>
BC
，
∴
QO
=
MO
∴
四边形
AQCM
为平行四边形，
∴
QC
∥
AM
【点睛】
本题考查了作图
-
基本作图，解决此题的关键是利用正方形的性质求解．
< br>
3
．
（
1
）
8-2t
，
8-t
；（
2
）
< br>【分析】
（
1
）根据
P
、
Q
的运动速度以及
AB
和
CD<
/p>
的长即可表示；
（
2
）分
PQ=PB
、
BP=BQ
和
QP=QB
三
种情况进行分析即可．
【详解】
<
/p>
解：（
1
）由题意可得：
DP=2t
，
AQ=t
，
∴
PC=8-
2t
，
BQ=8-t
，
故答案为：
8-2t
，
8-t
；
（
2
）当
PQ=PB
时，
如图①，
QH=BH
，
则
t+2t=8
，
解得，
t=<
/p>
8
7
或
3
4
8
，
3
当
PQ=BQ
时，
（
2t-t<
/p>
）
2
+6
2
=
（
8-t
）
2
，
解得，
t=
7
，
4
当
BP=BQ
时，
（
8-2t
）
2
+6
2
=
（
8-t
）
2
，
方程无解；
8
7
或
时，△
BPQ
< br>为等腰三角形．
3
4
【点睛】
∴当
t=
本题考查的是矩形的性质、等
腰三角形的判定，掌握性质并灵活运用性质是解题的关键，
注意分情况讨论思想的应用．
4
．
（
1
）见解析；（
2
）
PH= 3-
3
；（
3
）
【分析】
（
1
）先证△
ABE
≌△
DAF
，然后通过角度转化，可得
AF
⊥
BE
，从而
证平行；
（
2
）先在
Rt
△
ABE
中利用勾股定理求得
BE
的长，在利用
△
ABE
的面积，求得
AP<
/p>
的长，最
后利用
PH=BP
－
BH
求得
PH
的长；
（
3
）设
QP=a
，
CP=b
，可推导出在
Rt
△
< br>APE
中，
QE=QA=QP
，
然后分别用
a
、
b
表示
CP
和
PQ
< br>代入可求得．
【详解】
（
1
）证明：在正方形
ABCD
中，
AB=DA
，∠
EAB=
∠
D=90°
又∵
AE=DF
∴△
ABE
≌△
DAF(SAS)
∴∠
ABE=
∠
DAF
又∵∠
< br>DAF+
∠
FAB=
∠
EAB=90°
∴∠
ABE+
∠
FAB=90°
∴∠
APB=90°
∴
AF
⊥
BE
又∵
CH
⊥
BE
∴
AF
∥
CH
（
< br>2
）解：在正方形
ABCD
中，
∠
EAB=90°
，
AB=2
3
，
AE= 2
∴
BE=
CP
=4
．
PQ
AB
2
AE
2
<
/p>
2
3
2
2
2
=4
从而由
S
△
ABE
=
1
1
AB·
AE=
BE·
AP
得：
AP=
3
2
2
∴在
Rt
△
ABP
中，
BP=
AB
2
AP
2
2
3
2
3
2
=3
又容易得：
△
ABP
≌△
BCH
∴
BH=AP=
3
∴
PH=BP-BH=BP-AP=3-
3
（
3
）解：在正方形
ABCD
中，
AB=BC
，
AD
∥
BC
∵
CH
⊥
BP
，
PH=B
H
∴
CP=BC
∴∠
CB
P-=
∠
CPB
而∠
CPB=
∠
QPE
∠
CBP=
∠
QEP
∴∠
QPE=
∠
QEP
∴在
Rt
△
APE
中
< br>
∠
QAP=
∠
QPA
∴
QE=QP=QA
在四边形
QABC
中，设
QP
=a CP=b
则
AB=BC=b
，
AQ=a
，
QC=a+b
∴
b²
+(b-a)
2
=(a+b)
2
∴
b²
=4ab
即
b=4a
即
CP
b
=4
．
PQ
a
【点睛】
本题考查正方形的性质、
全等的证明、勾股定理的应用和直角三角形斜边中线的性质，第
（
3
）问的解题关键是推导得出
QE=QA=QP
．
5
．
< br>（
1
）见解析；（
2
）
MN
2
BN
2
DM
2
，理由见解析；（
3
）<
/p>
3
2
【分析】
（
1
）由直角三角形的性质得
AO=MO=
1
BE=BO=EO
，得∠
ABO=
∠
BAO
，∠
OBM=
∠
OMB
，
< br>2
证出∠
AOM=
∠
AOE+
∠
MOE=2
∠
ABO+2
∠
MBO=2
∠
ABD=90°
即可；
（
2
）在
AD
上方作
AF
⊥
AN
，使
AF=AN
，连接
DF
、
MF
，证△
ABN
≌△
ADF
（
SAS
），得
BN=DF
，∠
DAF=
∠
ABN=4
5°
，则∠
FDM=90°
，证△
NAM
≌△
FAM
（
SAS
），得
MN=MF
，在
Rt
△
FDM
中，由勾股定理得
FM
2
=DM
2
+FD
2
，进而得出结论；
（
3
）作
P
关于直线
C
Q
的对称点
E
，连接
< br>PE
、
BE
、
< br>CE
、
QE
，则△
PCQ
≌△
ECQ
，
∠
ECQ=
∠
PCQ
=135°
，
EQ=PQ=9
，得∠<
/p>
PCE=90°
，则∠
BCE=
∠
DCP
，△
PCE<
/p>
是等腰直角三角
形，得
CE=CP=
2
PE
，证△
BC
E
≌△
DCP
（
SAS
），得∠
CBE=
∠
CDB=
∠
CBD=45°
，则
2
∠
EBQ=
∠
PBE=90°
，由勾股定理求出
< br>BE=
4
2
，
< br>PE=6
，即可得出
PC
的长．
【详解】
解：（
1
）证明：
四边形
ABCD
是正方形，
ABC
B
AD
90
，
ABD
ADB
45
，
ME
BD
，
BME
90
，
O
是
BE
的中点，
1
AO
MO
BE
BO
EO
，
2
ABO
BAO
，
OBM
OMB
，
AOM
AOE
< br>
MOE
< br>2
ABO
< br>2
MBO
< br>2
ABD
< br>90
；
（
2
）
MN
2
BN
2
DM
2
，理由如下：
在
AD
上方作
AF
AN
，使
AF
AN
，连接
DF
、
MF
，如图<
/p>
2
所示：
则<
/p>
NAF
90
，
四边形
ABCD
是正方形，
AB
AD
，
BAD
NAF
90
，
BAN
DAF
，
NAM
45
，
FAM
45
NAM
，
AB
AD
在
ABN
和
ADF
中，
BAN
DAF
，
AN
AF
ABN
ADF
(
SAS
)
，
BN
DF
，
DAF
ABN
45
，
FDM
ADB
ADF
90
<
/p>
，
NAM<
/p>
45
，
FAM
<
/p>
45
NAM
，
AN
AF
在
NAM
和
FAM
中，
<
/p>
NAM
<
/p>
FAM
，
<
/p>
AM
AM
<
/p>
NAM
FAM
(
SAS
)
，
M
N
MF
，
在
Rt
FD
M
中，
FM
2
DM
2
F
D
2
，
即<
/p>
MN
2
BN<
/p>
2
DM
2
；
（
3
）作
P
关于直线
CQ
的对称点
E
，
连接
PE
、
BE
、
CE
、
QE
，如图
3
所示：
< br>则
PCQ
< br>
ECQ
，
< br>ECQ
PCQ
135
，
EQ
PQ
9
，
PCE
360
PCQ
ECQ
90
，
BCE
DCP
，
PCE
是等腰直
角三角形，
CE
< br>
CP
2
PE
，
2
BC
DC
在
BCE
和
DCP
中，
BCE
DCP
，
CE
CP