六年级相遇和追及问题(含答案)
-
相遇和追及问题
知识框架
一、
相遇
甲从
A
地到
B
地，乙从
B
地到
A
地，然后两人在途中相遇，实质上是甲和乙一起走了
A,B
之间这段
路程，如果两人同时出发，那么
相遇路程＝甲走的路程
+
乙走的路程＝甲的速度
×
相遇时间
+
乙的速度
×
相遇时间<
/p>
＝（甲的速度
+
乙的速度）
×
相遇时间＝速度和
×<
/p>
相遇时间
.
一般地，相遇问题的关系式
为：速度和
×
相遇时间
=
路程和，即
S
和
=
V
和
t
二、
追及
有两个人同时行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间
就能追上他
.
这就产生了
“
追及问题
”.
实质上，要算走得快的人在某一段时
间内，比走得慢的人多走的路程，也就是要计
算两人走的路程之差（追及路程）
.
如果设甲走得快，乙走得慢，在相同的时间（追及时间）内：
追及路程＝甲走的路程
-
乙走的路程＝甲的速度
×
追及时间
-
乙的速度
×
追及时间
＝（甲的速度
-
乙的速度）
×
追及时间
＝速度差
×
追及时间
.
一般地，追击问题有这样的数量关系：追及路程
=
速度差
×
追及时间，即<
/p>
S
差
=
V
差
t
三、
在研究追及和相遇问题时，一般都隐含以下两种条件：
(1)
在整个被研究的运动过程中，
2
个物体所运行的时间相同
(2)
在整个运行过程中，
2
个物体所走的是同一路径。
相遇
路程
=
速度和
相
遇
速度和
=
路程
相遇
相遇
=
路程
速度和
=
追及路程
速度差
< br>追及
追及路程
=
速度差
追及
速度差
=
追及路程
追及
追及
六年级奥数
.
行程
.
相遇与追及（
ABC
级）
.
学生版<
/p>
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重难点
能够解决行程中复杂的相遇与追及问题
能够画出多人相遇和追及的示意图并将问题转化多个简单相遇和追及环节进行解题
能够利用柳卡图、比例解决多次相遇和追及问题
例题精讲
一、相遇和追及
【例
1
】
在一条
笔直的高速公路上，前面一辆汽车以
90
千米
< br>/
小时的速度行驶，后面一辆汽车以
108
千米
/
小时的速度行驶．后面的汽车刹车突然失控，
向前冲去
(
车速不变
)
．在它鸣笛示警后
5
秒钟撞上
了前面的汽车．在这辆车鸣笛时两车相距多少米？
【巩固】
乙二人同时从
A
地去
B
地，甲每分钟行
60
米，乙每分钟行
< br>90
米，乙到达
B
地后立即返回
，并与
甲相遇，相遇时，甲还需行
3
分
钟才能到达
B
地，
A
< br>、
B
两地相距多少米？
【例
2
】
甲、乙
二人分别从山顶和山脚同时出发，沿同一山道行进。两人的上山速度都是
20
米
/
分，下山
的速度都是
30
米
/
分。
甲到达山脚立即返回，乙到达山顶休息
30
分钟后返回，两人在
距山顶
480
米处再次相遇。山道长
米。
六年级奥数
.
行程
.
相遇与追及（
ABC
级）
.
学生版
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【巩固】
小张和小王早晨
8
点整同时从甲地出发去乙地，小张开车，速度是每小时
< br>60
千米．小王步行，速
度为每小时
4
千米．如果小张到达乙地后停留
1
小时立即沿原路返回，恰好在
10
点整遇到正在前往乙
地的小王．那么甲、乙两地之间的距离是
千米．
【例
3
】
如图，
A
、
B
是一条道路的两端点，亮亮在
A
点，明明在
B
点，两人同时出发，相向而行
．他
们在离
A
点
100
米的
C
点第一次相遇．亮亮到
达
B
点后返回
A
点，明明到达
A
点后返回
B
点，
两人在离
B
点
80
米的
D
点第二
次相遇．
整个过程中，
两人各自的速度都保持不变．
求
A
、
B
间
的距离．要求写出关键的推理过程．
【巩固】
甲、乙二人同时分别从
A
、
B
两地出发，
相向匀速而行．甲到达
B
地后立即往回走，乙到达
A
地
后也立即往回走．已知他们第一次相遇在离
A
，
B
中点
2
千米处靠
B
一侧，
第二次相遇在离
A
地
4
千
米处．
A
、
B
两地相距多少千米？
【例
4
】
（这道
题就是之前介绍过的苏步青教授利用巧妙方法解决过的一个问题，
当时苏步青教授在德国
访问，
一位有名的德国数学家在电车上给他出了这道题）
甲和乙分别从东西两地同时出发，
相对
而行，
两地相距
100
里，甲每小时走
6
里，乙每小时走
4
里．如果甲带一只狗，和
甲同时出发，
狗以每小时
10
里的速度
向乙奔去，遇到乙后即回头向甲奔去，遇到甲后又回头向乙奔去，直到
甲乙两人相遇时狗
才停住．这只狗共跑了多少里路？
【巩固】
在一次宴会上，
一位客人给著名的数学大师、
“计算机之父”
冯·
诺伊曼先生出了一个蜜蜂问题：
六年
级奥数
.
行程
.
相遇与追及（
ABC
级）
.
学生版
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两列火车相距
100
英里，在同一轨道上相向行驶，速度都是每小时
50
英里．火车
A
的前端有一只蜜蜂
以每
小时
100
英里的速度飞向火车
B
，遇到火车
B
以后．立即回头以同样的速度
飞向火车
A
，遇到火
车
A
后，又回头飞向火车
B
，速
度始终保持不变，如此下去，直到两列火车相遇时才停止．假设蜜蜂
回头转身的时间忽略
不计，那么，这只蜜蜂一共飞了多少英里的路？
【例
5
】
甲、<
/p>
乙两地之间有一条公路．
李明从甲地出发步行去乙地，
同时张平从乙地出发骑摩托车去甲地，
80
分钟后
两人在途中相遇．张平到达甲地后马上折回往乙地，在第一次相遇后又经过
20
分钟在
途中追上李明．张平到达乙地后又马上折回往甲地，这样一直下去
．问：当李明到达乙地时，张
平共追上李明多少次？
【巩固】
一辆汽车和一辆摩托车同时
从甲乙两地相对开出，摩托车每小时行
54
千米．汽车每小时行
48
千
米．两车相遇后又以原来的速度
继续前进，摩托车到乙地立即返回．汽车到甲地立即返回．两车在距
离中点
108
千米的地方再次相遇，那么甲乙两地的路程是多少千米？
二、多人相遇和追及
【例
6
】
甲、乙
、丙三人，他们的步行速度分别为每分钟
480
、
540
、
720
米，甲、乙
、丙
3
人同时动身，
甲、乙二人从
A
地出发，向
B
地
行时，丙从
B
地出发向
A
地行进，丙首先在途中与乙相遇，
3
分钟后又与甲相
遇，求甲、乙、丙
3
人行完全程各用多长时间？
【巩固】
甲乙丙三人沿环形林荫道行走，同时从同一地点出发，甲、乙按顺时针方向行走，丙按逆时针方
< br>向行走。已知甲每小时行
7
千米，乙每小时行
5
千米，
1
小时后甲、丙
二人相遇，又过了
10
分钟，丙
与乙相
遇，问甲、丙相遇时丙行了多少千米？
六年级奥数
.
行程
.
相遇与追及（
ABC
级）
.
学生版
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【例
7
】
甲、乙
、丙三人，甲每分钟走
40
米，丙每分钟走
60
米，甲、乙两人从
A
、
B
地同时出发相向而
行，他们出发
15
分钟后，丙从
B
地出
发追赶乙。此后甲、乙在途中相遇，过了
7
分钟甲又和丙
相遇，又过了
63
分钟丙才追上乙，那么
A
、
B
两地相距多
少米？
【巩固】
甲、乙两人从相距
490
米的
A
、
B
两地同时步行出发，相向而行，丙与甲同时从
A
出发，在甲、
乙二人之间来回跑步
(
遇到乙立即返回，遇到甲也立即返回
)
．已知丙每分钟跑
240
米，甲每分钟走
40
米，当丙第一次折返回来并与甲相遇时，甲、乙二人相距
210
米，那么乙每分钟走
________
米；甲下
一次遇到丙时，甲、乙相距
________
米．
【例
8
】
张、李
、赵
3
人都从甲地到乙地．上午
6
时，张、李两人一起从甲地出发，张每小时走
5
千米，
李每小时走
4
千米．赵上午
8
时从甲地出发．傍晚
6
时，赵、张同时达到乙地．那么赵追上李的
时间是几时
?
【巩固】
甲、乙、丙三辆车同时从
A
地出发到<
/p>
B
地去，出发后
6
分甲车超过了一名长跑运动员，
2
分后乙
车也超过去了，
又过了
2
分丙车也
超了过去。
已知甲车每分走
1000
米
，
乙车每分走
800
米，
丙车每分
钟走多少米？
六年级
奥数
.
行程
.
相遇与追及（
ABC
级）
.
学生版
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【例
9
】
甲、乙
、丙三车同时从
A
地沿同一公路开往
B
地，途中有个骑摩托车的人也在同方向行进，这
三辆车分别用<
/p>
7
分钟、
8
分钟
、
14
分钟追上骑摩托车人。已知甲车每分钟行
1000
米，丙车每分
钟行
8
00
米，求乙速车的速度是多少？
【巩固】
快、中、慢
3
辆车同时从同一地点出发
，沿同一公路追赶前面的一个骑车人．这
3
辆车分别用
6
分钟、
10
分钟、<
/p>
12
分钟追上骑车人．现在知道快车每小时走
24
千米，中车每小时走
20
千米
，那么，
慢车每小时走多少千米
?
【例
10
】
快、
中、慢三辆车同时同地出发，沿同一公路去追赶前面一骑车人，这三辆车分别用
6
分、
9
分、
12
分追上骑车人。已知快、慢车的速度分别为
60
千米／时和
40
千米／时，求中速车的速
< br>度。
【巩固】
A
，
B
两地相距
105
< br>千米，甲、乙两人分别骑车从
A
，
B
两地同时相向出发
,
甲速度为每小
时
40
千米，出发后
1
小时
45
分钟相遇，然后甲、乙两人继续沿各自方向往
前骑．在他们相遇
3
分钟后，甲
与迎面
骑车而来的丙相遇，而丙在
C
地追上乙．若甲以每小时
20
千米的速度，乙以每小时比原速度
快
2
千米的车速，两人同时分别从
A
，
B
出发相向而行，则甲、乙二人在
C
点相遇，问丙的车速是多
少
?
六年级奥数
.
行程
.
相遇与追及（
ABC
级）
.
学生版
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三、多次相遇和追及
【例
11
】
甲、
乙两名同学在周长为
300
米圆形跑道
上从同一地点同时背向练习跑步，
甲每秒钟跑
3.5
米，
乙每秒钟跑
4
米，问
：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？
【巩固】
甲、乙两人从
400
米的环形跑道上一点
A
背向同时出发，
8
分钟后两人第五次相遇，已知每秒钟
甲比乙多走
0.1
米，那么两人第五次相遇的
地点与点
A
沿跑道上的最短路程是多少米
?
【例
12
】
甲、
乙两车同时从
A
地出发，
不停的往返行驶于
A
，
B<
/p>
两地之间。
已知甲车的速度比乙车快，
并
且两车出发后第一次和第二次相遇都在途中
C
地。问：甲车的速
度是乙车的多少倍？
【巩固】
A
、
B
是圆的直径的两端，甲在
A
点，乙在
B
点同时出发反向而行，两人在
C
点第一次相遇，在
D
点第二次相遇．已知
C
离
A
有
75
米，
D
离
B
有
55
米，求这个圆的周长是多少米？
【例
13
】
甲、
乙两车分别同时从
A
、
B
两地相对开出，第一次在离
A
地
95
千米处相遇．相遇后继续
前进到达目的地后又立刻返回
，第二次在离
B
地
25
千米处相遇．求
A
、
B
两地间的距离是多少
千米？
【巩固】
甲、乙二人以均匀的速度分
别从
A
、
B
两
地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离
A
地
4
千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距
B
地
3
千米处第二次相
遇，求两次相
遇地点之间的距离
.
六年级奥数
.
行程
.
相遇与追及（
ABC
级）
.
学生版
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【例
14
】
每天
中午有一条轮船从哈佛开往纽约，且每天同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛．轮船
在
途中均要航行七天七夜．试问：某条从哈佛开出的轮船在到达纽约前（途中）能遇上几艘从纽
约开来的轮船？
【巩固】
一条电车线路的起点站和终
点站分别是甲站和乙站，
每隔
5
分钟有
一辆电车从甲站发出开往乙站，
全程要走
15
< br>分钟．
有一个人从乙站出发沿电车线路骑车前往甲站．
他
出发的时候，
恰好有一辆电车到
达乙站．
在路上他又遇到了
10
辆迎面开来的电车．
< br>到达甲站时，
恰好又有一辆电车从甲站开出．
问他
从乙站到甲站用了多少分钟？
【例
15
】
如图
,
学校操场的
400
< br>米跑道中套着
300
米小跑道
,
大跑道与小跑道有
200
米路程相重．
甲以
每秒
6
米的速度沿大跑道逆时针方
向跑
,
乙以每秒
4
米的速度沿小跑道顺时针方向跑
,
两人同时从
两跑道的交点
A
处出发
,<
/p>
当他们第二次在跑道上相遇时
,
甲共跑了
多少米
?
甲
乙
A
乙
甲
【巩固】
下图中有两个圆只有一个公共点
A
，大圆直径
< br>48
厘米，小圆直径
30
厘米。
两只甲虫同时从
A
点
出发，按箭头所指
的方向以相同速度分别沿两个圆爬行。问：当小圆上甲虫爬了几圈时，两只甲虫首
次相距
最远？
六年级奥数
.
行程
.
相遇与追及（
ABC
级）
.
学生版
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课堂检测
【随练
1
】
自行车队出发
12
分钟后，
通信员骑摩托车去追他们，
在距出发点
9
千米处追上了自行车队，
然后通信员立即返回出发点；随后又返回去追自
行车队，再追上时恰好离出发点
18
千米，求自
行车队和摩托车的速度．
【随练
2
】
甲、乙二人从相距
60
千米的两地同时相向而行，
6
时后相遇。如果二人的
速度各增加
1
千
米／时，那么相遇地点
距前一次相遇地点
1
千米。问：甲、乙二人的速度各是多少？<
/p>
【随练
3
】
甲、乙两车同时从
A
、
B
两地相对亦开出，
两车第一次距
A
地
32
千米处相遇，
相遇后两车继
续行驶，各自达到
B
、
A
两地后，立即沿原路返回，第二次在距
A
地
64
千米处相遇，则
A
、
B
两地间
的距离是
__________
千米。
【随练
4
】
小明和小红两人在长
100
米的直线跑
道上来回跑步，
做体能训练，
小明的速度为
6
米
/
秒，
小
红的速度为
4
米
< br>/
秒．他们同时从跑道两端出发，连续跑了
12
分钟．在这段时间内，他们迎面相
遇了多少次？
六年级奥数
.
行程
.
相遇与追及（
ABC
级）
.
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家庭作业
【作业
1
】
池塘周围有一条道路．
A
、
B
、
C
三人从同一地点同
时出发．
A
和
B
往逆时针方向走，
C
往
顺时针方向走
．
A
以每分钟
80
米、
B
以每分钟
65
米的速度行走．
C
在出发后的
20
分钟遇到
A
，
< br>再过
2
分钟，遇到
B
．请问，池塘的周长是几米？
C
A
B
【作业
2
】
一条路上有东、西两镇．一天，甲、乙、丙三人同时出发，甲、乙从东镇向西而行，丙从
西
镇向东而行，当甲与丙相遇时，乙距他们
20
千米，当乙与丙相遇时，甲距他们
30
千米．当甲到<
/p>
达西镇时，丙距东镇还有
20
千米，那么
当丙到达东镇时，乙距西镇
千米．
【作业
3
】
A
、
B
两地间
有条公路，甲从
A
地出发，步行到
B<
/p>
地，乙骑摩托车从
B
地出发，不停地往返
于
A
、
B
两地之间，他们同时出发，
80
分钟后两人
第一次相遇，
100
分钟后乙第一次追上甲，
< br>问：当甲到达
B
地时，乙追上甲几次？
< br>
【作业
4
】
甲、
乙两人分别从
A
< br>、
B
两地同时出发相向而行，
乙
的速度是甲的
2
，
二人相遇后继续行进
，
3
甲到
B
地
、
乙到
A
地后立即返回．
已知两人第二次相遇的地点距第三次相遇的地点是
100
千米，
那么，
A
、
B
两地相距
千米．
【作业
5
】
小王、小李二人往返于甲、乙两地，小王从甲地、小李从乙地同时出发，相向而行，两人
第
一次在距甲地
3
千米处相遇，第二次
在距甲地
6
千米处相遇
(
追上也算作相遇
)
，则甲、乙两地的
距离为
千米．
六年级奥数
.
行程
.
相遇与追及（
ABC
级）
.
学生版
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【作业
6
】
A
，
B
两地相
距
540
千米。甲、乙两车往返行驶于
A
，
B
两地之间，都是到达一地之后立
即
返回，乙车较甲车快。设两辆车同时从
A
地出发后第一次和第二次相遇都在途中
P
地。那么到
两车第三次相遇为止，乙车共走了多少千米？
【作业
7
】
甲、乙两人在一条长为
30
米的直路上
来回跑步，甲的速度是每秒
1
米，乙的速度是每秒
0.6
米．如果他们同时分别从直路的两端出发，当他们跑了
10
分钟后，共相遇几次？
【作业
8
】
A
、
B
两地位
于同一条河上，
B
地在
A
地下游
100
千米处．甲船从
A
地、乙船从
B
地同时出
发，相向而行，甲船到达
B
地、乙船到达
A
地后，都立即按原来路线返航．水速为
2
米
/
秒，且
两船在
静水中的速度相同．如果两船两次相遇的地点相距
20
千米，那
么两船在静水中的速度是
米
/
秒．
【作业
9
】
A
、
B
两地相
距
2400
米，甲从
A
地、乙从
B
地同时出发，在
A
、
B
间往返长跑。甲每分钟跑
300
米，乙每分钟跑
240
< br>米，在
30
分钟后停止运动。甲、乙两人在第几次相遇时
A
地最近？最
近距离是多少米？
【作业
10
】
A
、
B
两地相
距
950
米。甲、乙两人同时由
A
地出发往返锻炼半小时。甲步行，每分钟走
40
米；乙跑步，每分钟行
150
米
。则甲、乙二人第
___
__
次迎面相遇时距
B
地最近。
六年级奥数
.
行程
.
相遇与追及（
A
BC
级）
.
学生版
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○特别满意
○满意
○一般
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家长签字：
相遇和追及问题
知识框架
四、
相遇
甲从
A
地到
B
地，乙从
B
地到
A
地，然后两人在途中相遇，实质上是甲和乙一起走了
A,B
之间这段
路程，如果两人同时出发，那么
相遇路程＝甲走的路程
+
乙走的路程＝甲的速度
×
相遇时间
+
乙的速度
×
相遇时间<
/p>
＝（甲的速度
+
乙的速度）
×
相遇时间＝速度和
×<
/p>
相遇时间
.
一般地，相遇问题的关系式
为：速度和
×
相遇时间
=
路程和，即
S
和
=
V
和
t
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< br>六年级奥数
.
行程
.
相遇与追及（
ABC
级）
.
学生版
五、
追及
有两个人同时行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间
就能追上他
.
这就产生了
“
追及问题
”.
实质上，要算走得快的人在某一段时
间内，比走得慢的人多走的路程，也就是要计
算两人走的路程之差（追及路程）
.
如果设甲走得快，乙走得慢，在相同的时间（追及时间）内：
追及路程＝甲走的路程
-
乙走的路程＝甲的速度
×
追及时间
-
乙的速度
×
追及时间
＝（甲的速度
-
乙的速度）
×
追及时间
＝速度差
×
追及时间
.
一般地，追击问题有这样的数量关系：追及路程
=
速度差
×
追及时间，即<
/p>
S
差
=
V
差
t
六、
在研究追及和相遇问题时，一般都隐含以下两种条件：
(1)
在整个被研究的运动过程中，
2
个物体所运行的时间相同
(2)
在整个运行过程中，
2
个物体所走的是同一路径。
路程
=<
/p>
速度和
相遇
速度和
=
路
程
相遇
相
遇
=
路程
速
度和
=
追及路程
速度差
追及
< br>
追及路程
=
速度差
追及
速度差
=
追及路程
追及
相遇
追及
重难点
能够解决行程中复杂的相遇与追及问题
能够画出多人相遇和追及的示意图并将问题转化多个简单相遇和追及环节进行解题
能够利用柳卡图、比例解决多次相遇和追及问题
例题精讲
一、相遇和追及
【例
16
】
在一
条笔直的高速公路上，
前面一辆汽车以
90
千米
/
小时的速度行驶，
后面一辆
汽车以
108
千
米
/
小时的速度行驶．后面的汽车刹车突然失控，向前冲去
(
车速不变
)
．在它鸣笛示警后
5
秒钟撞
上了前面的汽车．在这辆车鸣笛时两车
相距多少米？
【考点】行程问题
【难度】
2
星
【题型】解答
【关键词】第二届，走美杯
【解析】
这
是一道“追及问题”
．根据追及问题的公式，追及时间
路程差
时间差．由题意知，追及时
间为
5
秒钟，
也就是<
/p>
5
小时，
两车
相距距离为路程差，
速度差为
108
90
18
(
千米
/
时
)<
/p>
，
（
60
60
）
六年级奥
数
.
行程
.
相遇与追及（
ABC
级）
.
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35
也就是
18
1000
米
/
< br>时，所以路程差为：
18
10
00
5
（
60
60
）
90000
3600
25
(
< br>米
)
，所以，
在这辆车鸣笛时两
车相距
25
米．
【答案】
25
米
【巩固】
乙
二人同时从
A
地去
B
地，甲每分钟行
60
米，乙每分钟行
90
米，乙到达
B
地后立即返回，并与
甲相遇，相遇时，甲还需行
3
分钟才能到达
B
地，
A
、
B
两地相距多少米？
【考点】行程问题
【难度】
2
星
【题型】解答
【解析】
相
遇时甲走了
AB
距离减去
60
3
180
(
米
)
，乙走了
AB
距离加上
180
米，乙比甲多走了
360
米，
这个路程
差需要
360
（
90
60
）
12
(
分钟
)
才能达到，这
12
分钟两人一共行走了
12
（
90
60
）
1800
米．所以
AB
距离为
1800
2
900
米．<
/p>
【答案】
900
米
【例
17
】
甲、
乙二人分别从山顶和山脚同时出发，沿同一山道行进。两人的上山速度都是
20
米
/
分，
下山的速度都
是
30
米
/
分
。
甲到达山脚立即返回，
乙到达山顶休息
30
分钟后返回，
两人在距山顶
48
0
米处再次相遇。山道长
米。
【考点】行程问题
【难度】
3
星
【题型】解答
【关键词】
2008
年，第六届，走美杯，决赛
【解析】
甲
、乙两人相遇后如果甲继续行走
480
20
24
（分钟）后可以返回山顶
，如果乙不休息，那么
这个时候乙应该到达山脚，所以这个时候乙还需要
30
分钟到达山脚，也就是距离山脚还有
，所以山顶到
山脚的距离为
900
24
。
30
30
900
（米）
（
20
30
）
900
1200
210
0
（米）
【答案】
2100
米
【巩固】
小
张和小王早晨
8
点整同时从甲地出发去乙地，小张开车，速度是
每小时
60
千米．小王步行，速
度为每
小时
4
千米．如果小张到达乙地后停留
1
小时立即沿原路返回，恰好在
10
点
整遇到正在前
往乙地的小王．那么甲、乙两地之间的距离是
千米．
【考点】行程问题
【难度】
2
星
【题型】填空
【关键词】北京市，
2006
年，迎春杯
【解析】
因
为小张和小王相遇时恰好经过了两个甲地到乙地的距离，而这个过程中小张开车
1
个小时，小
王步行
2
个小时，他们一共所走的路程是：
60
1
4
2
68
(
千米
)
，所以甲、乙两地之间的距离
是：<
/p>
68
2
34
(
千米
)
．
【答案】
34
千米
<
/p>
六年级奥数
.
行程
.
相遇与追及（
ABC
级）
.
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【例
18
】
如图，
A
、
B
是一条道路的两端点，
亮亮在
A
点，
明明在
B
点，
两人同时出发，
相向而行．
他
们在离
A
点
100
米的
C
点第一次相
遇．亮亮到达
B
点后返回
A
点，明明到达
A
点后返回
B
点，
两人在离
B
点
80
米的
D
点第二次相遇．
整个过程中，
两人各自的速度都保持不变．
求
A
、
B
间
的距离．要求写出关键的推理过程．<
/p>
100
米<
/p>
A
C
第
4
题
D
80
米
B
【考点】行程问题
【难度】
3
星
【题型】解答
【关键词】第九届，中环杯
【解析】
第
一次相遇，两人共走了一个全程，其中亮亮走了
100
米，从开
始到第二次相遇，两人共走了三
个全程，则亮亮走了
100
3
300
(
米
)
．亮亮共走
的路程为一个全程多
80
米，所以道路长
．
300
80
220
（米）
【答案】
220
米
【巩固】
甲
、乙二人同时分别从
A
、
B
两地出发，相向匀速而行．甲到达
B
地后立即往回走，乙到达
A
地
后也立即往回走．
已知他们第一次相遇在离
A
，
B
中点
< br>2
千米处靠
B
一侧，
第二次相遇在离
A
地
4<
/p>
千米处．
A
、
B
两地相距多少千米？
甲
A
4
2
B
< br>乙
【考点】行程问题
【难度】
3
星
【题型】解答
【关键词】
2007
年，第五届，走美杯，初赛
【解析】
如
图所示，
两人第一次相遇，
合走一个全程，
两人第二次相遇，
合走三个全程．
而两人速度不变，
这说明第二次相遇所用的时间是第一次相遇所用时间的
3
倍．因此，甲在第二次相遇所走的路程
是第一次相遇所走路程的
3
倍．第一次相遇时，甲走了半全程多
2
千米，那么，第二次相遇时，
他应该走了
3
个半个全程多
6
千米，
而实际他走了
2
个全程差
4
千米，
即
4
个半个全程
差
4
千米．
因
此，半个全程长
6
4
10
(
千米
)
，
A
、
B
两地相距
10
2
20
(
< br>千米
)
．
【答案】
20
千米
【例
19
】
（这
道题就是之前介绍过的苏步青教授利用巧妙方法解决过的一个问题，当时苏步青教授在
德
国访问，一位有名的德国数学家在电车上给他出了这道题）甲和乙分别从东西两地同时出发，
相对而行，两地相距
100
里，甲每小时走
6
里，乙每小时走
4
里．如果
甲带一只狗，和甲同时出
发，狗以每小时
10
< br>里的速度向乙奔去，遇到乙后即回头向甲奔去，遇到甲后又回头向乙奔去，
六年级奥数
.
行程
.
相遇与追及（
ABC
级）
.
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直到甲乙两人相遇时狗才停住．这只狗共跑了多少里路？
【考点】行程问题
【难度】
2
星
【题型】解答
【解析】
只
从狗本身考虑，光知道速度，无法确定跑的时间．但换个角度，狗在甲乙之间来回奔跑，狗从
开始到停止跑的时间与甲乙二人相遇时间相同．
由此便能求出答案．
狗一共跑了
100
6
4
10
（小时）所以狗跑的距离为
10
10
100
（千米）
注：
有时我们遇到的应用题往往无法用直接的方法列式解决，
甚至看起来好
像条件不足．
这个时
候我们就需要停下来问问自己：
是否应该换个角度思考？尝试这样思考，
一方面能让我们对一些
原本无法解答的题目豁然开朗，更可以让自己的头脑在锻炼中变得越来越聪明．
【答案】
100
千米
【巩固】
在
一次宴会上，
一位客人给著名的数学大师、
“计算机之父”
冯·
诺伊曼先生出了一个蜜蜂问题：
两列火
车相距
100
英里，在同一轨道上相向行驶，速度都是每小时<
/p>
50
英里．火车
A
的前端有一只
蜜蜂以每小时
100
英
里的速度飞向火车
B
，
遇到火车
B
以后．
立即回头以同样的速度飞向火车
A
，
遇到火车
A<
/p>
后，
又回头飞向火车
B
< br>，
速度始终保持不变，
如此下去，
直到两列火车相遇时才停止．
假
设蜜蜂回头转身的时间忽略不
计，那么，这只蜜蜂一共飞了多少英里的路？
【考点】行程问题
【难度】
3
星
【题型】解答
【解析】
因
为两列火车相距
100
英里，以每小时
50
英里的速度相向而行．所以，他们相遇时所经过的时间
是<
/p>
1
小时，而蜜蜂在这段时间内，不停地在两列火车之间往返飞行，
蜜蜂飞行的全部时间正好是
两行火车相遇的时间，所以，蜜蜂在这
1
小时内，正好飞行了
100
英里．
【答案】
100
英里
【例
20
】
甲、
乙两地之间有一条公路．李明从甲地出发步行去乙地，同时张平从乙地出发骑摩托车去
甲
地，
80
分钟后两人在途中相遇．张平到达甲地后马上折回往乙
地，在第一次相遇后又经过
20
分钟在途中追上李明．张平到达
乙地后又马上折回往甲地，这样一直下去．问：当李明到达乙地
时，张平共追上李明多少
次？
【考点】行程问题
【难度】
3
星
【题型】解答
【解析】
我
们希望知道二人的速度，或至少是二人各自走完全程的时间，进而确定整个过程的进展，并得
到答案．但知道这些并不够．应先分析什么是“追上”
．如图，当两人经过
80
分钟相遇时，两人
所走的路程之和恰是甲乙
两地指间的距离，因此两人才能相遇．如图所示：
六年级奥数
.
行程
.
相遇与追及（
ABC
级）
.
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甲
A
相遇
第一次追上
D
C
乙
B
张平
李明
第一次追上就是张平比李明多走了一个甲、乙两地距离．这用了
80
20
100
分钟．以此类推，
第二次相遇的情况从图上
可以看出来，使张平比李明多走了
3
个甲、乙之间距离；第三次
相遇，
是张平比李明多走了
5
个甲乙之
间距离……所以，知道了张平的速度是李明的几倍，也就知道在
李明走完一个甲乙之间距
离的时候，张平走了几个甲乙之间距离，他比李明多走了几个．这样就
可求出当李明到达
乙地时，
张平追上了他几次．
C
是两人
相遇地点，
D
是张平第一次追上李明的
地点．要分析如何求出两人速度的倍数关系．在从相遇到第一次追上这
20
分钟内，张平从
C
走
到
A
再走到
D
，即<
/p>
CA
AD
．<
/p>
CA
也就是
AC
，是李明相遇前的路程，即李明
80
分钟走的；
AD
是李明第一次被追上时已走的路程，即他
80
20
100<
/p>
分钟走的．因此，张平
20
分钟走的路程
AC
AD
，
是李明
80
100
< br>
180
分钟走的，也就是说，张平的速度是李明的
9
倍．当李明从甲到
乙时，
张平走了
9
个这样的距离，
即
比李明多走了
8
个从甲到乙的距离．
比
李明多走
1
个
AB
时，
张平第一次追上李明；多走
3
个时，第二次追上；多走
5
个时，第三次追上；多走
7
个时，第四
次追上．综上所述，在李明从甲到乙
的过程中，一共被张平追上
4
次．
<
/p>
【答案】追上
4
次
【巩固】
一
辆汽车和一辆摩托车同时从甲乙两地相对开出，摩托车每小时行
54
千米．汽车每小时行
48
千
米．两
车相遇后又以原来的速度继续前进，摩托车到乙地立即返回．汽车到甲地立即返回．两车
在距离中点
108
千米的地方再次相遇，那么甲乙两地的路程是
多少千米？
【考点】行程问题
【难度】
3
星
【题型】解答
【解析】
第
二次相遇距中点
108
千米，说明两车共有
108
2
216
(
千米
)
< br>的路程差，由此可知两车共行驶
了：
216
（
54
48
）
36
(
小时
)
．又因为第二次相遇
两车共走了三个全程，所以走一个全程用
36
3
12
(
< br>小时
)
．这样可以求出甲乙两地的路程是：
（
54
48
）
12
1224
(
千米
)
．
【答案】
1224<
/p>
千米
二、多人相遇和追及
【例
21
】
甲、
乙、丙三人，他们的步行速度分别为每分钟
480
、
540
、
720
米，甲、
乙、丙
3
人同时动
身，
甲、
乙二人从
A
地出发，
向
B
地行时，
丙从
B
地出发向
A
地行进，
丙首先在途中与乙相遇，
3
分
钟后又与甲相遇，求甲、乙、丙
3
人行完全程各用多长时间？<
/p>
六年级奥数
.
行程
.
相遇与追及（
ABC
级）
.
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