解析行程问题—“多次相遇”
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解析行程问题—“多次相遇”
行程问题是行测
数学运算中必考题型。同时也是相对较难解决的一种题型。而路程
=
速度×
时间是行程问题中最基本公式。
这个基本公式中暗含
着的正反比关系也是考生在复习过程中需要
重点注意的地方。正因如此，比例思想是我们
解决行程问题的常用方法。
其次，
数形结合也是不
可或缺的工具。即对于行程问题，最主要的是根据题干信息画出行程图，理清路程、速度、时间
三者之间的关系，进而解题。
行程问题实际
上还包含很多小的模块，
比如：
简单的相遇和追及、
多次相遇问题、
流水行船、
时钟问题、牛吃草问题
等等。在此，
中公教育
专家宋丽娜将对于比较难以掌握的多次相
遇问题
详细的阐述下其中蕴含的原理、公式及考题。
(1)
最基本的多次相遇问题是指两人同时从不同的地点同时相向而行，
在第一次相遇后没停，
继续向前走到打对方终点后返回再次相遇
，如此循环往返的过程是多次相遇问题。
基本模型如下：从出发开始到
等等依次类推到第
n
次相遇。
在此运动过程中，基本规律如下：
(1)
从出发开始，到第
n
次相遇：每一次相遇会比前一次夺走
2
个全程
< br>;
即：路程和具有的特
点是
1<
/p>
：
2
：
2
：
2
：„„，含义是第一次走
1
个全程，第二次开始都增加
2
个全程
;
(2)
由于二者在运动过
程中，速度和是不变的，故每次相遇所用时间和路程和成正比，若设
第一次相遇的时间为
t
，
则第一次到第二次所用时间为
2t
，
依次类推，
每次相遇所用的时间关系
也为
1
：
2;2
：
2
„„，
含义是第一次相遇用时间
t
，第二次开始相遇时间都会增加
2t
的时间
;
(
3)
各自所走路程也满足这个关系。设第一次相遇甲走路程为
S
0
，则从第二次相遇开始甲走
的路程会增加
2S0
，即关系式仍为
1
：
2
：
2
：
2
„„。
例题
1
：甲从
A
地、乙从<
/p>
B
地同时以均匀的速度相向而行，第一次相遇离
< br>A
地
6
千米，继续
前进，到达对方起点后立即返回，在离
B
地
3
千米处第二次相遇，则
A
、
B
两地相距多少千米
?
A.10 B.12 C.18 D.15
【答案】
D
。
解析：
直线多次相
遇问题。
第一次相遇时，
两人走的总路程为
A
、
B
之间的路程，
即
1
个
AB
全程。第二次相遇时，甲、乙两人共走了
3
个全程，即
两人分别走了第一次相遇时各
自所走路程的
3
< br>倍。
故第一次相遇甲走了
6
千米
，
第二次相遇时甲共走过了
6
×
3=18
千米，
此时
甲距离
B
地
3
千米，所以两地相距
18-3=15
千米。
例题
2.
甲、乙两人分别从
A
，
B
两地同时出
发，相向而行，乙的速度是甲的
2/3
，两人相遇
后继续前进，
甲到达
B
地，
乙到达
A
地立即返回。
已知两人第二次相遇的地点距离第一次相遇的
地点
30
00
米，求
A
，
B
两地的距离是
(
)
米。
A.6000 B.6500
C.7000 D.7500
【答案】
D
。解析：甲、乙速度比为
3
∶
2<
/p>
，设全程长度为
5
份。第一次相遇甲、乙
共走一个
全程，乙走了
2
份
(
距离
B
地
2
份
);
从第一次相遇到第
二次相遇甲、乙共走两个全程，乙走了
4
份。因此第二次相遇时
乙共走了
6
份，相当于到达甲地后又往回走了
< br>1
份路程
(
距离
B
地
4
份
)
。
两次相遇地点相隔
2
份，总路程为
3000
÷
2
×
5=7500
米。
(2)
若甲乙二人同时从相同地点出发，乙比甲块
，乙到终点后返回与甲第一相遇，然后继续
走第二次相遇，如此反复的运动过程，具有什
么规律呢
?
其实，
无非就是第一相遇
二者走的路程和变为了
2
个全程而已，
之后和最基本的多次相遇问
题没有变化。只是上述所有的比例关系变为
< br>2
：
2
：
2
：
2
：„„而已。
例题
3
：
< br>A
、
B
两地相距
540
千米，甲乙两车往返于
A
、
B
两地，都是到达一地后离地返回，
乙车较甲车块。
设两辆车同时同
A
第
出发第一次和第二次相遇都在途中
P
点，
那么到两辆车第三
次相遇为止，乙车共走了多少千米
?
【答案】
2160
千米。解析：第一次相遇
甲乙共走了
2
个全程，从出发到第二次相遇，甲乙
共走了
4
个全程，乙块，相遇在
P
点，
且从第一次相遇到第二次相遇，
乙走的路程与第一次相遇
走的路程相同。
又从第一次相遇到
第二次相遇乙从
P
点又回到
P
点，
则设全程为
3
分，
第一次相
遇甲走了
2
< br>份，乙走了
4
份。到第二次相遇，乙又走了
4
份，到第三次相遇，乙又夺走
4
< br>份。
4
份路程共
(540
÷
3)
×
4=720
千米，到第三次相遇走了
720
×
3=2160
千米。
上述两种多次相遇模型是常考点。
只要区分二者的区别与联系，
就可快速解决多次相遇问题。
深度剖析“多次相遇问题”解题技巧
教育中国
-
中国网
时间：
2012-09-12
16:05
责任编辑
:
刘昌
随着近几年公务员考试“高烧不
退”的现象持续升温，
国考
试题的难度也越来越大。行程问题做
为
一种每年必考的题型，在试题的创新性上有很大的出题空间。综观几年的真题，常规题
型虽是每年考试
的“主力”
，但更加复杂的“多次相遇”问题已
在这两年里初试锋芒。笔者通过归纳总结，对多次相遇问
题可能在今后考试中出现的几种
模型一一向大家进行展示，
希望对备考的广大考生起到抛砖引玉的作用。
“多次相遇”问题有直线型和环型两种模型。相对来讲，直线型出题的模型更
加复杂。环型只是单
纯的周期问题。现在我们分开一一进行讲解。首先，来看直线型多次
相遇问题。
一、直线型
直线型多次相遇问题宏观上分“两岸型”和“单岸型”两种。
“两岸型”是
指甲、乙两人从路的两端
同时出发相向而行；
“单岸型”
是指甲、
乙两人从路的一端同时出发同向而行。
现在分开向大家一一介绍：
（一）两岸型
两岸型甲、乙两人相遇分两种情况，可以是迎面碰头相遇，也可以是背面追及相遇。题干如果没有明
确说明是哪种相遇，
考生
对两种情况均
应做出思考。
1
、迎面碰头相遇：
如下图，甲、乙两人从
A
、
B
两地同时相向而行，第一次
迎面相遇
在
a
处，
（为清楚表示两人走的路
程，将两人的路线分开画出）则共走了
1
个全
程，到达对岸
b
后两人转向第二次迎面相遇在
< br>c
处，共走
了
3
个全程，则从第一次相遇到第二次相遇走过的路程是第一次相遇的
2
倍。之后的每次相遇都多走了
2
个全程。所以第三
次相遇共走了
5
个全程，依次类推得出：
第
n
次相遇两人走的路程和为（
2n
-1
）
S
，
S
为全程。
而第二次相遇多走的路程是
第一次相遇的
2
倍，分开看每个人都是
2
倍关系，经常可以用这个
2
倍
关系
解题
。即对于甲和乙而言从
a
到
c
走过的路程是从起点
到
a
的
2
倍。
相遇次数
全程个数
再走全程数
1
1
1
2
3
2
3
5
2
4
7
2
„
„
„
n
2
n
-
1
2
2
、背面追及相遇
< br>与迎面相遇类似，背面相遇同样是甲、乙两人从
A
、
B
两地同时出发，如下图，此时可假设全程为
4
份，甲
1
分钟走
< br>1
份，乙
1
分钟走
5
份。则第一次背面追及相遇在
a
< br>处，再经过
1
分钟，两人在
b<
/p>
处迎
面相遇，到第
3
分钟，甲走
3
份，乙走
15
份，两人在
c
处相遇。我们可以观察，第一次
背面相遇时，两
人的路程差是
1
个全程
，第二次背面相遇时，两人的路程差为
3
个全程。同样第二次相
遇多走的路程是
第一次相遇的
2
倍，单
看每个人多走的路程也是第一次的
2
倍。依次类推，得：
第
n
次背面追及相遇两
人的路程差为（
2n-1
）
S
。
（二）单岸型
单岸型是两人同时从一端出发，与两岸型相似，单岸型也有迎面碰头相遇和背面追及相遇两种情况。
1
、迎面碰头相遇：
如下图，假设甲、乙两人同时从
A
端出发，假设全程为
3
份，甲每分
钟走
2
份，乙每分钟走
4
份，则
甲乙第一次迎面相遇在
a
处，此时甲走了
2
份，乙走了
4<
/p>
份，再过
1
分钟，甲共走了
4
份，乙共走了
8
份，在<
/p>
b
处迎面相遇，则第二次相遇多走的跟第一次相遇相同，依次类推
，可得出：
当第
n
次碰头相遇
时，两人的路程和为
2ns
。
< br>
2
、背面追及相遇
与迎面相遇相似，假设全程为
3
份，甲每分钟走
1
份，乙每分钟走<
/p>
7
份，则第一次背面相遇在
a
处，
2
分钟后甲走了
2<
/p>
份，乙走了
14
份，两人在
b
处相遇。第一次相遇，两人走的路程差为
2S
，第二次相遇
两人走的路程差为
4S
，依次类推，可以得出：
当第
n
次追及相遇时，两人的路程差为
2ns
。
“直线型”总结（熟记）
①两岸型：
第
n
次迎面碰头相遇，两人的路程和是
（
2n-1
）
S
。
第
n
次背面追及相遇，两人的路程差是（
2n-1
）
S
。
< br>
②单岸型：
第
n
次迎面碰头相遇，两人的路程和为
2ns
。
第
n
次背面追及相遇，两人的路程差为
2ns
。
下面列出几种今后可能会
考到的直线型多次相遇问题常见的模型：
{
< br>模型一
}
：根据
2
倍关系求
AB
两地的距离。
【例
1
】甲、乙两人在
A
、
B
两地间往返散步，甲从
A
，乙从
B
同
时出发，第一次相遇点距
B
60
米
，当乙从
A
处返回时走了
10
米第二次与甲相遇。
A
、
B
相距多少米？
A
、
150
B
、
170
C
、
180
D
、
200
【答案及解析】
B
。
如下图，第一次相遇在
a
处，第二次相遇在
b
处，
aB
的距离为
60
，
Ab
的距离为
10
。
以乙为研究对象，根据
2
倍关系
，乙从
a
到
A
，再到
b
共走了第一次相遇的
2
倍，即为
60
×
2=
120
米，
Ab
为
10
，则
Aa
的距离为
120-10=110
米，则
AB
距离为
110+60=170
米。
{
模型二
}
：告诉两人的速度和给定时间，求相遇次数。
【例
2
】甲、乙两
人在长
30
米的泳池内游泳，甲每分钟游
37.5
米，乙每分钟游
52.5
米
。
两人同时分别从泳池的两端出发
，触壁后原路返回，如是往返。如果不计转向的时间，则
<
/p>
从出发开始计算的
1
分
< br>50
秒内两人共相遇多少次？
A
、
2
B
、
3
C
、
4
D
、
5
【答案及解析】
B
。
题目没说是迎面还是背面，所以两种相遇的次数
都应该计算。分开讨论，如是是迎面
相遇，则走的全程的个数为
个，根据迎面相遇
n
次，走的全程为
2
n-1=5
，求得
n=3
；如果是背面
相遇，则走的全程数为
，故在
1
分
50
秒内，不能背面相遇。所以共相遇
3<
/p>
次。
{
模型三
}
：告诉两人的速度和任意两次迎面相遇的距离，求
AB
两地的距离。
【例
3
】甲、乙两车分别从
A
、
B
两地同时出发，在
A<
/p>
、
B
间不断往返行驶。甲车每小时行
20
千米，乙车每小时行
50
千米，已知两车第
10
次与第
18
次迎面相遇的地点相距
60
千米，
则
A
、
B
相距多
少千米？
A
、
95
B
、
100
C
、
105
D
、
110
【答案及解析】
C
。
走相同时间内，甲乙走的路程比为
20
：
50=2
：
5
。将全程看成
7
份，则第一次相遇走
1
个全程时，甲走
2
份，乙走
5
份。以甲为研究对象（也
可以以乙）
，第
10
次迎面相遇走的全
程数为
2
×
10-1=19
个，甲走
1
个全程走
2<
/p>
份，则走
19
个全程可走
19
×
2=38
份。
7
份是一个全程，则
38
份共有
38
÷
7=5
„
3
份（当商是偶数时从甲的一端数，
0
也是偶数；当商是奇数时从乙的一端数，比如第
1<
/p>
个全
程在乙的一端，第
2
个全程在甲的一端）从乙端数
3
份。同理当第
18
次相遇，甲走的份数为（
2
×
18-1
）
×
2=70
份。共有
70
÷<
/p>
7=10
个全程，
10
< br>为偶数在甲的端点。如下图：