多次相遇问题
-
“
多次相遇问题
”<
/p>
剖析
一、直线型
直线型多次相遇问题宏观上分“两岸型”和“单岸型”两种。
“两岸型”是指甲、
乙两人从路的两端同时出发相向而行；
“单
岸型”是指甲、乙两人从路的一端同时出发
同向而行。现在分开向大家一一介绍：
(
一
)
两岸型
两岸型甲、
乙两人相遇分两种情况，
可以是迎面碰头相遇，
也可以是背面
追及相遇。
题干如果没有明确说明是哪种相遇，考生对两种情况均应做出思考。
1
、迎面碰头相遇：
如下图，甲、乙两人从
A
、
B
两地同时相向而行
，第一次迎面相遇在
a
处，
(
为清楚
表示两人走的路程，将两人的路线分开画出
)
则共走了
1
个全程，到达对岸
b
后两人转
向第二次迎面相遇在
c
处，
共走了
3
个全程，
则从第一次相遇到第二次相遇走过的路程
是第一次相遇的
2
倍。
之后的每次相
遇都多走了
2
个全程。所以第三次相遇共走了
< br>5
个
全程，依次类推得出：第
n
次相遇两人走的路程和为
(2n-1)S
，
S
为全程。
而第二次相遇多走的路程是第一次
相遇的
2
倍，分开看每个人都是
2
倍关系，
经常
可以用这个
< br>2
倍关系解题。
即对于甲和乙而言从
a
到
c
走过的路程是从起点到
a
的
2
倍。
相遇次数
全程个数
再走全程数
1
1
1
2
3
2
3
5
2
4
7
2
…
…
…
n
2n-1
2
2
、背面追及相遇
与迎面相遇类似，背面相遇同样是
甲、乙两人从
A
、
B
< br>两地同时出发，如下图，此
时可假设全程为
4
份，甲
1
分钟走
1
份，乙
1
分钟走
5<
/p>
份。则第一次背面追及相遇在
a
处，再经
过
1
分钟，两人在
b
< br>处迎面相遇，到第
3
分钟，甲走
3
份，乙走
15
份，两人
在
c
处相遇。我们可以观察，第一次背面相遇时，两
人的路程差是
1
个全程，第二次背
面相
遇时，
两人的路程差为
3
个全程。
同样第二次相遇多走的路程是第一次相遇的
2
倍，
单看每个人多走的路程也是第一次的
2
< br>倍。依次类推，得：第
n
次背面追及相遇两人的
路程差为
(2n-1)S
。
(
二
)
单岸型
单岸型是两人同时从一端出发，与
两岸型相似，单岸型也有迎面碰头相遇和背面追
及相遇两种情况。
1
、迎面碰头相遇：
如下图，假设甲、乙两人同时从<
/p>
A
端出发，假设全程为
3
份，甲每分钟走
2
份，乙
每分
钟走
4
份，则甲乙第一次迎面相遇在
a
处，此时甲走了
2
份，乙走了
4
份，再过
1
分钟，甲
共走了
4
份，乙共走了
8
份，在
b
处迎面相遇，则第二次相遇多走的跟第一次
相遇相同，依次类推，可得出：当第
n
次碰头相遇时，两人的路程和为
2ns
。
2
、背面追及相遇
与迎面相遇相似，假设全程为
3
份，甲每分钟走
1
份，乙每分钟走
7
份，则第一次
背面
相遇在
a
处，
2
分钟后甲走了
2
份，乙走了
14
份，两人在
b
处相遇。第一次相遇，
两人走的路程差为
2S
，
第二次相遇两人走的路程差为
4S
，
依次类推，
可以得出：当第
n
次追及
相遇时，两人的路程差为
2ns
。
“直线
型”总结
(
熟记
)
①两岸型：
第
n
次迎面
碰头相遇，两人的路程和是
(2n-1)S
。
< br>
第
n
次背面追及相遇，两人的路程差是
(2n-1)S
。
②单岸型：
第
n
次迎面
碰头相遇，两人的路程和为
2ns
。
第
n
次背面追及相遇，两人的路程差为
2ns
。
下面列
出几种今后可能会考到的直线型多次相遇问题常见的模型：
{
模型一
}
：根据
2
倍关系求
AB
两地的距离。
【例
1
】甲
、乙两人在
A
、
B
两地间往返散步，甲从
A
，乙从
B
同时出发，第一次相
遇点距
B
60
米，当乙从
A
处返回时走了
10
米第二次与甲相遇。
A
、
B
相距多少米？
A
、
150
B
、
170
C
、
180
D
、
200
【答案及解析】
< br>B
。如下图，第一次相遇在
a
处
，第二次相遇在
b
处，
aB
的距离为
60
，
Ab
的距离为
10
。以乙为研究对象，根据
2
倍关系，乙从
a
到
A
，再到
b
共走了第一
次相遇的
2
倍，即为
60×2=120
米，
Ab
< br>为
10
，则
Aa
的距离为
120-10=110
米，则
AB
距
离为
110+60=1
70
米。
{
模型二
}
：告诉两人的速度和给定时间，求相遇次数。
【例
2<
/p>
】甲、乙两人在长
30
米的泳池内游泳，
甲每分钟游米，乙每分钟游米。
两人同时分别从泳池的两端出
发，触壁后原路返回，如是往返。如果不计转向的时
间，则
<
/p>
从出发开始计算的
1
分
< br>50
秒内两人共相遇多少次？
A
、
2
B
、
3
C
、
4
D
、
5
{
模型三
}
：告诉两人的速度和任意两次迎面
相遇的距离，求
AB
两地的距离。
【例
3<
/p>
】甲、乙两车分别从
A
、
B
两地同时出发，在
A
、
B
间不断往返行驶。甲车每
小时行
20
千米，乙车每小时行
50
千米，已知两车第
10
次与第
18
次迎
面相遇的地点相距
60
千米，
则
A
、
B
相距多少千米？
A
、
95
B
、
100
C
、
105
D
、
110
【答案及解析】
< br>C
。走相同时间内，甲乙走的路程比为
20
：
50=2
：
5
。将全程看成
7
份，
则第
一次相遇走
1
个全程时，
甲走
2
份，
乙走
5
份。
以甲为研究对象
(
也可以以乙
)
，
第
10
次迎面相遇走的全程数为
2×10
-1=19
个，甲走
1
个全程走<
/p>
2
份，则走
19
个全程
可走
19×2=38
份。
7
份是一个全程，则
38
份共有
38÷7=5…3
份
(
当商是偶数时从甲的
一端数，
0
也是偶数；当商是奇数时从乙的一端数，比如第
1
个全程在乙的一端，第
2
个全程在甲的一端
)
从乙端数
3
份。
同理当第
18
次相遇，
甲走的
份数为(2×18
-
1)×2=70
份
。共有
70÷7=10
个全程，
10<
/p>
为偶数在甲的端点。如下图：
则第
10
次相遇与第
18
次相遇共有
4
份为
60
千米，所以<
/p>
AB
长为(60/4)×7=105
千<
/p>
米。
点评：对于给定任意两次的距离，主要是根据速度转化为全程的份数，找一个为研
究对象，看在相遇次数内走的全程数，从而转化为份数，然后根据一个全程的份数，将
研究对象走的总份数去掉全程的个数看剩余的份数，
注意由全程的个数决定剩
余的份数
从哪一端数。
【例
4
】甲
、乙两车分别从
A
、
B
两地同时出发，在
A
、
B
间不断往返行驶。甲车每
小时行
45
千米
，
乙车每小时行
36
千米，已知两车第
2
次与第
3
次
迎面相遇的地点相距
40
千米，
则
A
、
B
相距多少千米？
A
、
90
B
、
180
C
、
270
D
、
110
【答案及解析】
< br>A
。法一：同上题。相同时间，甲、乙路程比为
45
：
36=5
：
4<
/p>
，则将
全程分成
9
份。则一个全程时甲走
5
份，乙走
4
份。以甲为研究对象，第
2
次相遇，走
的全程数为
2×2
-1=3
个，则甲走的份数为
3×5=15
份，一个全程为
9
份，则第
2
次相
遇甲走的份数转化为全程的个数为
15÷9=1…6
份，则从乙端数
6
份。第
3
次相遇走的
份数为(2×3
-<
/p>
1)×5=25
份，转化为全程的个数为
25÷9=2…7，则从甲端数
7
份。如下
图：
由图第
2
次
和第
3
次相遇之间共有
4
份为
40
千米，则
AB
相距(40/4)×9=90
千米。
法二：
在
此引入“沙漏模型”。
利用沙漏模型解题的前提是题干中已知两人的速度。
将速度转化为相同路程的条件下两人的时间比，则以时间为刻度，画出两人到达对岸的
路线图，两人走的路线图相交的点即为两人相遇的地点。
s-t
图中的路线因像古代记时
间的沙漏故称为“沙漏模型”。本题中，甲、乙走到端
点用的时间比为
36
：
45=4
：
5
。
如下图：