相遇问题应用题
-
相遇问题
我们把研究路程、
速度、
时间以及这三者之间
关系的一类问题，
总称
为行程问题
.
在对小学数学的学习中，
我们已经接触过一些简单的行程应用题，
并
且已
经了解到：
上述三个量之间存在这样的基本关系：
路程＝速度×
时间
.
因此，
在这一讲中，
我们将在前面学习的基础上，
主要来研究行程问题中
较为复杂的一类问题——反向运动问题，
也即在同一道路上的两个运动物
体作方向相反的运动的问题
.
它又包括相遇问题和相
背问题
.
所谓相遇问
题，
指的就是上述两个物体以不同的点作为起点作相向运动的问题；
所谓
相背问题，指的就是这两个运动物体以同一点作为起点作背向运动的问
题
，下面，我们来具体看几个例子
.
例
1
甲、乙二人分别从相距
30
千米的两地同时出发相向而行，甲每小时
走
6
千米，乙每小时走
4
千米，问：二人几小时后相遇？
分析
出发
时甲、
乙二人相距
30
千米，
以后两人的距离每小时都缩短
6
＋
4
＝
10
（千米），即两人
的速度的和（简称速度和），所以
30
千米里
< br>有几个
10
千米就是几小时相遇
.
解：30÷（
6
＋
4
）
＝30÷10
＝
3
（小时）
答：
3<
/p>
小时后两人相遇
.
例
1
是一个
典型的相遇问题
.
在相遇问题中有这样一个基本数量关
系：
路程＝速度和×时间
.
例
2
一列货车早晨
< br>6
时从甲地开往乙地，平均每小时行
45
千米，一列客
车从乙地开往甲地，平均每小时比货车快
15
千米，已知客车比货车迟发
2
小时
，中午
12
时两车同时经过途中某站，然后仍继续前进，问：当
客
车到达甲地时，货车离乙地还有多少千米？
分析
<
/p>
货车每小时行
45
千米，客车每小时比货
车快
15
千米，所以，
客车速度为每小
时（
45
＋
15
）千米；中午
12
点两车相遇时，货车已行了
（
12
—
6
< br>）小时，而客车已行（
12
—
6
－
2
）小时，这样就可求出甲、乙两<
/p>
地之间的路程
.
最后，再来求当客车行完
全程到达甲地时，货车离乙地的
距离
.
解：①甲、乙两地之间的距离是：
45×（
12
—
6
）＋（
45
＋
15
）×（
< br>12
—
6
—
2
）
＝45×6＋60×4
＝
510
（
千米）
.
②客车行完全程所需的时间是：
510÷（
45
＋
15
）
＝510÷60
＝
8.5
（
小时）
.
③客车到甲地时，货车离乙地的距离：
510
—45×（
8.5
＋
2
）
＝
510
－
472.5
＝
37.
5
（千米）
.
答：客车到甲地时，货车离乙地还有
37.5
千米
.
例
3
两列火车相向而行，甲车每小时
行
36
千米，乙车每小时行
54
千米
.
两车错车时，
甲车上一乘客发现：
从乙车车头经过他的车窗时开始到乙车
车尾
经过他的车窗共用了
14
秒，求乙车的车长
.
分析
首先应统一单位：
甲车的速度是每秒钟
36000÷3600＝
10<
/p>
（米）
，
乙车的速度是每秒钟
54000÷3600＝
15
（米）
.
本题中，甲车的运动实际
上可以看作是甲车乘客以
每秒钟
10
米的速度在运动，乙车的运动则可以
看作是乙车车头的运动，
因此，
我们只需研究下面这样
一个运动过程即可：
从乙车车头经过甲车乘客的车窗这一时刻起，
乙车车头和甲车乘客开始作
反向运动
14
秒，每一秒钟，乙车车头与甲车乘客之间的距离都增大（
10
＋
15
）米，因此，
14
秒结束时，车头与乘客之间的距离为（
10
＋
15
）×14
＝
3
50
（米）
.
又因为甲车乘客最后看到
的是乙车车尾，所以，乙车车头与
甲车乘客在这段时间内所走的路程之和应恰等于乙车车
身的长度，
即：
乙
车车长就等于甲、乙
两车在
14
秒内所走的路程之和
.
解：（
1
0
＋
15
）×14
＝
350
（米）
答：乙车的车长为
350
米
.
我们也可以把例
3
< br>称为一个相背运动问题，
对于相背问题而言，
相遇
问题中的基本关系仍然成立
.
例
4
甲、乙两车同时从
A
、
B
两地出发相向而行，
两车在离
B
地
64
千米
处第一次相遇
.
相遇后两车仍
以原速继续行驶，
并且在到达对方出发点后，
立即沿原路返回，
途中两车在距
A
地
48
千米处第二次相遇，问两次相遇
点相距多少千米？
分析
<
/p>
甲、乙两车共同走完一个
AB
全程时，乙
车走了
64
千米，从上
图可以看出：它
们到第二次相遇时共走了
3
个
AB
全程，因此，我们可以
理解为乙车共走了
3
个
64
千米，
再由上图可知：
减去一个
48
千米后，
正
好等于一个
AB
全程
.
解：①
AB
间的距离是
64×3－
48
＝
192
－
48
＝
144
（千米）
.
②两次相遇点的距离为
144
—
48
－
64
＝
32
（千
米）
.
答：两次相遇点的距离为
32
千米
.
例
5
甲、
乙
二人从相距
100
千米的
A
、
B
两地同时出发相向而行，
甲骑车，
乙步行，在行走过程中，甲的车发生故障，修车用了
1
小时
.
在出发
4
小
时后，甲、乙二人相遇，又已知甲的速度为乙的
2
倍，且相遇时甲的车已
修好，那么，甲、乙
二人的速度各是多少？
分析
甲的速度为乙的
2
倍，因此，乙走
4
小时的路
，甲只要
2
小时
就可以了，因此，甲走
100
千米所需的时间为（
4
—
1
＋4÷2）＝
5<
/p>
小时
.
这样就可求出甲的速度
.
解：甲的速度为：
100÷（
4
－
1
＋4÷2）
＝10O÷5＝
< br>20
（千米
/
小时）
.
乙的速度为：2
0÷2＝
10
（千米
/
小时）
.
答：甲的速度为
20
千米
/
小时，乙的速度为
10
千米
/
小时
.
例
6
某列车通过
250
米长的隧道用
25
秒，
通过
210
米长的隧道用
< br>23
秒，
若该列车与另一列长
1
50
米
.
时速为
72
千米的列车相遇，
错车而过需要几
秒钟？
分析
解这类应用题，首先应明确几个
概念：列车通过隧道指的是从
车头进入隧道算起到车尾离开隧道为止
.
因此，这个过程中列车所走的路
程等于车长加隧道长；<
/p>
两车相遇，
错车而过指的是从两个列车的车头相遇
算起到他们的车尾分开为止，
这个过程实际上是一个以车头的相遇点为起
点的相背运动问题，
这两个列车在这段时间里所走的路程之和就等于他
们
的车长之和
.
因此，错车时间就等于
车长之和除以速度之和
.
列车通过
250
米的隧道用
< br>25
秒，
通过
210
米长的隧道用
23
秒，
所
以
列车行驶的路程为（
250
—
210
）米时，所用的时间为（
25
—
23
）秒
.
由此
可求得列车的车速为（
250
—
210
）÷（
25
—
23
）＝
20
（米
/
秒）
.
再根据前
面的分析可知：列车在
25
秒内所走的路程等于隧道长加上车长，因此，
这个列车的车长为
20×25—
250
＝
250
（米），从而可求出错车时间
.
解：根据另一个列车每小时走
72
千米，所以，它的速度为：
72000÷3600＝
20
（米
/
秒），
某列车的速度为：
（
25O
－
210
）÷（
25
－
23
）＝40÷2＝
20
（米
/
秒）
某列车的车长为：
20×25
-250
＝
500-250
＝
250<
/p>
（米），
两列车的错车时间为：
（
250
＋
150
）÷（
20
＋
20
）＝400÷40＝
10<
/p>
（秒）
.
答：错车时间为
10
秒
.
例
7
甲、乙、丙三辆车
同时从
A
地出发到
B
< br>地去，甲、乙两车的速度分
别为每小时
60
千米和
48
千米，
有一辆迎
面开来的卡车分别在它们出发后
的
5
小
时
.6
小时，
8
小时先后与甲、乙、丙三辆车相遇，求丙车的速度
.
分析
甲车
每小时比乙车快
60-48
＝
12
（千米）
.
则
5<
/p>
小时后，甲比乙
多走的路程为
12×5＝
60
（千米）
.
也即在卡车与甲相遇时，卡车与乙的
距离为
60
千米，又因为卡车与乙在卡车与甲相遇的
6-5
＝<
/p>
1
小时后相遇，
所以，可求出卡车的速度
为
60÷1
-48
＝
< br>12
（千米
/
小时）
卡车在与甲相遇后
，再走
8-5
＝
3
（小时）才能与丙相遇，而此时丙
已走了
8
个小时，
因此，
卡车
3
小时所走的路程与丙
8
小时所走的路程之
和就等于甲
5
小时所走的路程
.
由此，丙的速度也可求得，应为：
（60×5
-
12×3）÷8＝
33
（千米
/
小时）
.
解：卡车的速度：
（
60-
48
）×5÷（
6
－
< br>5
）－
48
＝
< br>12
（千米
/
小时），
丙车的速度：
（60×5－12×3）÷8＝
33
（千米
/
小时），
答：丙车的速度为每小时<
/p>
33
千米
.
注：在本讲中出现的“米
/
秒”、“千米
/
小时”等都是速度单位，如
5
米
/
秒表示为每
秒钟走
5
米
.
习题六
1.
甲、
乙两车分别从相距
240
千米的
A
、
B
两城同时出发，
相向而行，
已知甲车到达
B
城需
4
小时，
乙车到达
A
城
需
6
小时，
问：
两车出发后多
长时间相遇？
2.
东、
西
镇相距
45
千米，
甲、
乙二人分别从两镇同时出发相向而行，
甲比乙每小时多行
1
千米，
5
小时后两人相遇，问两人
的速度各是多少？
3.
甲、乙二人以均匀的速度分别从
A
、
B
两地同时出发，相向而行，
他们第一次相遇地点离
A
地
4
千米，
相遇后二人继续前进，
走到对方出发
点后立即返回，
在距
B
地
3
千米处第二次相遇，
求两
次相遇地点之间的距
离
.
4.
甲、乙二人从相距
100
千米的
A
、
B
两地出发相向而行，甲先出发
1
小时
.
他们二人在乙出后的
4
小时相遇，
又已知甲比乙每小时快
2
千米，
求甲、乙二人的速度
.
5.
一列
快车和一列慢车相向而行，
快车的车长是
280
米，
慢车的车长
为
385
米，坐在快车上的人看见慢车驶过的时间是
11
秒，那么坐在慢车
上的人看见快车驶过的时间是多少？
6.
前进
钢铁厂用两辆汽车从距工厂
90
千米的矿山运矿石，现有甲、<
/p>
乙两辆汽车，
甲车自矿山，
乙车自钢铁厂
同时出发相向而行，
速度分别为
每小时
40
千米和
50
千米，到达目的地后立
即返回，如此反复运行多次，
如果不计装卸时间，
且两车不作任
何停留，
则两车在第三次相遇时，
距矿
山多少千米？
习题六解答
1.
解：
240÷（240÷4＋240÷6）＝
2.4
（小时）
.
2.
解：①甲、乙的速度和
45÷5＝
9
（千米
/
小时）
.
②甲的速度：（
< br>9
＋
1
）÷2＝
5
（千米
/
小时）
.
③乙的速度：<
/p>
9
—
5
＝
4
（千米
/
小时）<
/p>
.
3.
解：①A、
B
两地间的距离：
4×3—
3
＝
9
（千米）
.
②两次相遇点的距离：
9
－
< br>4
－
3
＝
2
（千米）
.
4.
解：①乙的速度为：
［
100
—
2×（
4
＋
1
）］÷（4×2＋
1
）＝
10
（千米
/
小时）
.
②甲的速度为：
< br>10
＋
2
＝
12
（千米
/
小时）
.
提示：甲比乙每小时快
2
千米，则（
< br>4
＋
1
）小时快
2×（
4
＋
1
）＝
10
（千米），因此，相当于乙走
100
—
10
＝
90
千米的路需（4×2＋
1
）＝
9
（小时）
.
5.
解：
280÷（385÷11）＝
8
（秒）
.
提示：在这个过程中，对方的
车长＝两列车的速度和×驶过的时间
.
而速度和不变
.
6.
解：①第三次相遇时两车的路程和为：
90
＋90×2＋90×2＝
450
（千米）
.
②第三次相遇时，两车所用的时间：
450
÷（
40
＋
50
）＝
5
（小时）
.
③距矿山的距离为：40×5—2
×90＝
20
（千米）
.
四年级下
第七讲
行程问题
在本讲中，
我们研究两个运动物体作方向相同的运动时，
路程、
速度、
时间这三个基本量之间有什么样
的关系
.
例
1
下午放学时，
弟弟以每分钟
40
米
的速度步行回家
.5
分钟后，
哥哥以<
/p>
每分钟
60
米的速度也从学校步行回家，
哥哥出发后，经过几分钟可以追
上弟弟？
（假定从学校到家有足
够远，
即哥哥追上弟弟时，
仍没有回到家）
.
分析
若经过
5
分钟，
弟弟已到了
A
地，
此时弟弟已走了
40×5=200
（米）
；
哥哥每分
钟比弟弟多走
20
米，几分钟可以追上这
200
米呢？
解：
40×5÷（
< br>60-40
）
=200÷20
=10
（分钟）
答：哥哥
10
分钟可以追上弟弟
.
我们把类似例
1
这样的题，称之为追及问题
.
如果我们把开始时刻前
后两物体（或人）的距离称为路程差（如例
1
中的
200
米），从开始时刻
到后者追
上前者路程差这一段路程所用的时间称为追及时间，则从例
1
容
易看出：追及问题存在这样的基本关系：
路程差
=
速
度差×追及时间
.
如果已知其中的两个量，那么根据上式就很容易求出第三个量
.
例
2
甲、
乙
二人练习跑步，
若甲让乙先跑
10
米，
则甲跑
5
秒钟可追上乙；
若甲让乙先跑
2
秒钟，则甲跑
4
秒钟就能追上乙
.
问：甲、乙二人
的速度
各是多少？
分析
若甲让乙先跑
< br>10
米，则
10
米就是甲、乙二
人的路程差，
5
秒就是
追及时间，据此
可求出他们的速度差为
10÷5=2（米
/
秒）；若甲让乙先
跑
2
秒，则甲跑
4
秒可追上乙，在这个过程中，追及时间为
4
秒，因此路
程差就等于
2×4=
8（米），也即乙在
2
秒内跑了
8
米，所以可求出乙的
速度，也可求出甲的速度
.
综合列式计算如下：
解：
乙的速度为：10÷5×4÷2
=4（米
/
秒）
甲的速度为：10÷5+4=6（
米
/
秒）
答：甲的速度为
6
< br>米
/
秒，乙的速度为
4
米
/
秒
.
例
3
某人沿着一条与铁路平行的笔直
的小路由西向东行走，这时有一列
长
520
米的火车从背后开来，此人在行进中测出整列火车通过的时间为
42
秒，而在这段时间内，他行走了
68
米，则这列火车的
速度是多少？
分析
整列火车通过的时间是
42
秒，
这句话的意思是：
从火车的车头追上
行人时开始计时，直到车
尾超过行人为止共用
42
秒，因此，如果我们把
火车的运动看作是车尾的运动的话，
则本题实际上就是一个车尾与人的追
及问题，
开始时刻，
它们的路程差就等于这列
火车的车长，
追及时间就等
于
42
秒，因此可以求出它们的速度差，从而求出火车的车速
.
解：
520÷42+68÷42
=
（
520
+68
）÷42
=588÷42
=14
（
米
/
秒）
答：火车的车速为
14
米
/
秒
.
例
4
幸福村小学有一条
200
米长的环形跑道，冬冬和晶晶同时从起跑线
起
跑，
冬冬每秒钟跑
6
米，
晶晶每秒钟跑
4
米，
问冬冬
第一次追上晶晶时
两人各跑了多少米，第
2
次追上晶晶时两人各跑了多少圈？
分析
这是一道封闭路线上的追及问题
，冬冬与晶晶两人同时同地起跑，
方向一致
.
< br>因此，当冬冬第一次追上晶晶时，他比晶晶多跑的路程恰是环
形跑道的一个周长（
200
米），又知道了冬冬和晶晶的速度，于是，根据
追及问题的基本关系就可求出追及时间以及他们各自所走的路程
.
解：
①冬冬第一次追上晶晶所需要的时间：
200÷（
6-4
）
=100
（秒）
②冬冬第一次追上
晶晶时他所跑的路程应为：6×100=600（米）
③晶晶第一次被追上时所跑的路程：
4×100=400（米）
④冬冬第二次追上晶晶时所跑的圈数：
（600×2）÷200=6（圈）
⑤晶晶第
2
次被追上时所跑的圈数：
（400×2）÷200=4（圈）
答：略
.
解答封闭路线上的追及问题，
关键是
要掌握从并行到下次追及的路程
差恰是一圈的长度
.
例
5
军事演习中，
< br>“我”
海军英雄舰追击
“敌”
军
舰，
追到
A
岛时，
“敌”
舰已在
10
分钟前逃离，<
/p>
“敌”舰每分钟行驶
1000
米，
“我”海军英雄舰
每分钟行驶
1470
米，在距离“敌”舰
600
米处可开炮射击，
问“我”海
军英雄舰从
A
岛出发经过多
少分钟可射击敌舰？
分析
“我”
舰追到
A
岛时，
“敌”舰已逃离
10
分钟了，
因此，
在
A
岛时，
“我”舰与“敌”舰的距离为
10000
米
（=1000×10）
.
又因为“我”
舰在
距离“敌”舰
600
米处即可开炮
射击，
即“我”舰只要追上“敌”舰
9400
< br>（
=10000
米
-600
米）即可开炮射击
.
所以，在这个问题中，
不妨把
9400
当作路程差，根据公式求得追及时间
.
解：
（1000×
10
-600
）÷（
1470-100
0
）
<
/p>
=
（
10000-600
）÷470
=9400÷470
=20
（分钟）
答：经过
20
分钟可开炮射击“敌”舰
.
例
6
在一条直的公路上，甲、乙两个
地点相距
600
米，张明每小时行
4<
/p>
公里，李强每小时行
5
公里
.8
点整，张李二人分别从甲、乙两地同时出
发相向
而行，
1
分钟后他们都调头反向而行，再经过
< br>3
分钟，他们又调头
相向而行，依次按照
1
，
3
，
5
，„（连续奇数）分钟数调头行走，那么张、
李二人相遇
时是
8
点几分？
分析
无论相向还是反向，张李二人每
分钟都共走
4000÷60+5000÷60=150
（米）<
/p>
.
如果两人一直相向而行，
那么从出发经
过
600÷15
0=4
（分钟）
两人相遇
.
显然，
按
现在的走法，
在
16
分钟
（
=1+3+5+7
）
之内
两人不会相遇
.
在这
16
分钟之内，他们相向走了
6
分钟（
< br>=1+5
），反
向走了
10
分钟（
=3+7
），此时两人相距
600+[150×（
3+7-1-5
）
]=1200
米，因此，再相向行走，经过
1
200÷150=8（分钟）就可以相遇
.
解：
600+150×（
3+7-1-5
）
=1200
（米）
1200÷（4000÷60+5000÷60）
=8
（分
钟）