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2021年2月22日发(作者：汤匙餐厅)

数

列

一、知识导学< /p>

§

4.1

等差数列的通项与求和

1.

数列：按一定次序排成的一列数叫做数列

.

2.

项：

数列中的每一个数都叫做这个 数列的项，

各项依次叫做这个数列的第

1

项

（或首

项）

，第

< br>2

项，„，第

n

项，„

.

3.

通项公式：一般地，如果数列｛

a

n

｝的第ｎ项与序号ｎ之间的关系可以用一个 公式来

表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式

.

4.

有穷数列

:

项数 有限的数列叫做有穷数列

.

5.

无穷 数列

:

项数无限的数列叫做无穷数列

6 .

数列的递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项）及相邻两项（或几项）间关系< /p>

可以用一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的递推公式

.

递推公式是给出数列的一

种重要方法，其关健是先求出

a

1

,a

2

< p>
,

然后用递推关系逐一写出数列中的项

.

7.

等差数列

:

一般地 ，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等

于同一个常数，

那么这个数列就叫做等差数列，

这个常数叫做等差数列的公差，

公差通常用

ｄ表示．

8.

等差中项

:

如果ａ，

< p>
Ａ，

ｂ这三个数成等差数列，

那么Ａ＝

< p>
叫做ａ和ｂ的等差中项．

二、疑难知识导析

a



b

a



b

．

我们把Ａ＝

2

2

1.

数列的概 念应注意几点：

（

1

）

数列中的数是按一定的次序排列的，

如果组成的数相同

而排列次序不同，则就是不同的数列；

（

2

）同一数列中可以出现多个相同的数；

（

3

）数列看

做一个定义域为正整数集或其有限子集

(

｛

1

，

2

，

3

，„，

n

｝

)

的函数

.

2.

一个数列的通项公式通常不是唯一的

.



S

1

a



3.

数列｛

a

n

｝的前

n

项的和< /p>

S

n

与

a

n

之

间的关系：

n< /p>





S

n



S

n



< p>
1

a

n

(n>2),

则

a

n

不用分段形 式表示，切不可不求

a

1

而直接求

a

n

.

(

n



1

),

< p>
(

n



2

).

若

a

1

< br>适合

4.

从函数的角度考查等差数列的通项公式：

a

n

= a

1

+(n-1)d=d

·

n+ a

1

-d, a

n

是关于

n

的

一次式；从图像上看， 表示等差数列的各点（

n,

a

n

）均匀排列在一条直线上，由两点确定

一条直线的性质，不难得出，任 两项可以确定一个等差数列

.

5

、对等 差数列的前

n

项之和公式的理解：等差数列的前

n

项之和公式可变形为

S

n< /p>



d

2

d

d

d

n



< p>
(

a

1



)

n

，若令

A

＝

，

B

＝

a

1

－

，则

S

n

＝

An

2

+Bn.

2

2

2

2

6

、在解决等差数列问题时，如 已知，

a

1

，

a

n

，

d

，< /p>

S

n

，

n

中任意三个，可求其余两个。

三、经典例题导讲

[

例

1]

已知数列

< br>1

，

4

，

7

，

10

，„，

3n+7,

其中后一项比前一项大

3,

指出这个数列的通项公

式；

[

例

2]

已知数列

< br>

a

n



的前

n

项之和为①

S

n



2

n



n

②

S

n



n



n



1

2

2

4

求数 列



a

n

< /p>

的通项公式。

[

例

3]

已知等差数列



a

< p>
n



的前

n

项之和记为

S

n

，

S

10

=10

，

S

30

=70

，则

S

40

等于

。

[

例

4]< /p>

等差数列



a

n



、



b

n



的前

n

项和为

S

n

、

T

n

.

若

< p>
a

S

n

7

n



1



(

n



N



),

求

7

；

b

7

T

n

4

n



27

|

a

n

|

< p>


的前

n

项和；

[

例

5]

已知一个等差 数列



a

n



的通项公式

a

n

=25

－

5n

，求数列



[

例

6]

已知一个等差数列的前

10

项的和是

< br>310

，前

20

项的和是

1220

，

由此可以确定求其前

n

项和的公式吗？

[

例

7]

已知：

a

n< /p>



1024



l g

2

1



n< /p>

（

lg

2



0

.

3010< /p>

）

n



N



（

1

）

问前多少项之和为最

大？（

2

）前多少项之和的绝对值最小？

[< /p>

例

8]

项数是

2

n

的等差数列，

中间两项为

< p>
a

n

和

a

n



1

是方程

x



px



< br>q



0

的两根，

求证此

数列的和

S

2

n

是方程

lg

x



(lg

n



lg

p

)

lg

x



(lg

n



lg

p

)



0

的根。

（

S

2

n



0

）

< br>2

2

2

2

2

§

4.2

等比数列的通项与求和< /p>

一、知识导学

1.

等比数列：

一般地，

如果一个数列从第２项起，

每一项与它 的前一项的比都等于

同

一

个

常

数，

那

么

这

个

数

列

就

叫

做

等

比

数

列，

这个 常数叫做等比数列的公比，

公比通常用字母ｑ表示．

2.

等比中项：若ａ，Ｇ，ｂ成等比数列，则称Ｇ

为ａ

和ｂ

的等比中项．



n



a

1



3.

等比数列的前

n

项和公式：

S

n





< p>
a

1

(

1



q

n

)

a

1



a

n



q



1< /p>



q



1



q



(

< p>
q



1

)

(

q



1

)

二、疑难知识导析

1.

由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不为

0

，因此

q

也不为

0.

2.

对于公比

q

，要 注意它是每一项与它前一项的比，防止把相邻两项的比的次序颠倒

.

3.

“从第

2

项起”是因为首项没 有“前一项”

，同时应注意如果一个数列不是从第

2

< p>
项

起，

而是从第

3

项或第

4

项起每一项与它前一项的比都是同一 个常数，

此数列不是等比数列，

这时可以说此数列从

< p>
.

第

2

项或第

3

项起是一个等比数列

.

n-1

4.

在已知等比数列的

a

1

和

q

的前提下， 利用通项公式

a

n

=a

1

q

,

可求出等比数列中的任

一项

.

n-m

5.

在已知等比数列中任意两项的前提下，使用

a

n

=a

m

q

可求等比数列中任意一项

.

4

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