(完整版)等差数列的性质以及常见题型
-
学辅教育
成功就是每天进步一点点！
等差数列的性质以及常见题型
上课时间：
上课教师：
上课重点：掌握等差数列的常见题型，准确的运用等差数列的性质
上课规划：掌握等差数列的解题技巧和方法
一
等差数列的定义及应用
1.
已知数列
a
n
的通项公式为
a
n
3
n
2
，试问该数列是否为等差数列。
2.
已知：
,
,
成等差数列，求证：
思考题
型
;
已知数列
a
n
的通项公式为
a
n
pn
< br>2
qn
（
p
,
q
R
,
且
p,q
为常数）
。
（
1)
当
p
和
q
满足什么条件时，数列
a
n
是等差数列？
<
/p>
（
2)
求证：对于任意实数
p
和
q
，数列
a
n
< br>1
a
n
是等差数列。
1
1
1
x
y
z
y
z
z
x
x
< br>
y
,
,
也成等差数列。
x
y
z
学海无涯多歧路
“学辅”相伴行万里！
1
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二
等差数列的性质考察
（一）熟用
a
n
a
1
(
n
1
)
d
< br>
a
m
(
n
m
)
d
，
d
a
n
a
m
问题
n
m
（注意：知道等差数列中的任意项和公差就可
以求通项公式）
1
、等差数列
a
n
中，
a
3
50
，
a
5
30
，则
a
9
.
2
、等差数列
< br>
a
n
中，
a
3
a
5
24
，
a
2
3
，则
a
6
.
3
、
已知等差数列
a
n
< br>
中，
a
2
与
a
6
的等差中项为
5
，
a
3
< br>与
a
7
的等差中项为
7
，
则
a
n
.
4
、
一个等差数列中
a
15
= 33
，
a
25
= 66<
/p>
，则
a
35
=_
_______________
．
5
、已知等差数列
a
n
中，
a
< br>p
q
，
a
q
p
，
则
a
p
q<
/p>
____
．
（二
)
公差
d
的巧用
（注意：等差数列的项数）
1
、已知等差数列共有
10
项，其中奇数项之和
为
15
，偶数项之和为
30
，则
其公差等于
_____
2
、等差数列
a
1
,
a
2
,
a
3
,
L
,
a
n
的公差为
d
，则数列
5
a
1
,5
a
2
,5
a
3
,
L
A
．公差为
d
的等差数列
C
．非等差数列
2
,5
a
n
是（
）
B
．公差为
5
d<
/p>
的等差数列
D
．以上都不对
a
99
60
，则
a
1
a
2
L
a
100
3
、等差数列
{
a
n
}
中
，已知公差
d
1
，且
a
1
a
3
L
A
．
170
则
B
．
150
C
．
145
D
．
120
4.
已知
x
y
，且两个数列
x
,
< br>a
1
,
a
2
,
a
m
,
y
与
x
,
b
1
,
b
2
,
< br>b
n
,
y
各自都成等差数列，
a
2
a
1
等于
（
）
b
2
b
1
m
m
1
n
n
< br>1
A
B
C
D
n<
/p>
m
n
1
m
1
5.
一个首项为
23
，公差为整数的等差数列中，前
6
项均为正数，从第
7
项起为负数，则公差
d
为（
）
A
-2
B -3
C -4
D
-5
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（三）
m
n
s
t
a
m
a
n
a
s
a
< br>t
性质的应用
（注意：角标的数字）
1.
等差数列
a
n
中，若
a
3
a
4
a
5
a
6
a
7
< br>
450
，则
a
2
a
8
_____
。
2.
等差数列
a
n
中，若
a
4
a
5
a
6
a
7
450
，则
S
10
_____
。
3.
等差数列
a
n
中，若
S
13
20
。则
a
7
_______
。
4.
等差数列
a
n
中
，若
a
11
10
，则
S
21
_______
。
5.
在等差数列
a
n
中
a
3
a
11
40
，则
a
4
a
5
< br>
a
6
a
7
a
8
a
9
a
10
_
_
_
_
_
_
_
。
6.
等差数列
a
n
中
,
a
1
a
< br>2
a
3
24,
a
18
a
19
a
20
78
,
则
S
2
0
_____
。
7.
在等差数列
a
n
中，
a
4
a
5
12
，那么它的前
8
项和
S
8
等于
_
_
_
_
_
_
_
。
8.
如果等差数列
a
n
中，
a
3
< br>a
4
a
5
12
，那么
a
1
a
2
L
a<
/p>
7
_
_
_
_
_
_
_
。
9.
在等差数列
a
n
中，已知
a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
20
，那么
a
< br>3
等于
_
_
_
_
_
_
_
。
10.
等差数列
a
n
中
,
它的前
5
项和为
34,
最后
5
项和
146,
所有项和为<
/p>
234,
则
a
7
_______
.
11.
已
知
数
列
｛
a
n
｝
的
前
n
项
和
S
n
=<
/p>
n
2
+3
n
+1
，
则
a
1
+
a
3
+
a
5
+
…
+
a
21
< br>=
_
_
_
_
_
_
_
。
12.
｛
a
n
｝为等差数列，
a
< br>1
+
a
2
+
a<
/p>
3
=15
，
a<
/p>
n
+
a
n
-1
+
a
n
-2
=78
，
S
n
=155
< br>，
则
n
=
_
_
_
_
_
_
_
。
（四）方程思想的运用
（注意：联立方程解方程的思想）
1
.
已知等差数列
{
a
< br>n
}
中，
S
3
=21
，
S
6
=24
，求数列
{
a
n
}
的前
n
项和
S
n
< br>
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3
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2.
已知等差数列
< br>{
a
n
}
中，
a
3
a
7
16
,
a
4
a
6
0
,
求数列
{
a
n
}
的前
n
项和
S
n
（五
)
S<
/p>
n
,
S
2
n
S
n
,
S
3
n
S
2
n
也成等差数列的应用
1
、等差数
列前
m
项和是
30
，前
2
m
项和是
< br>100
，则它的前
3
m
项和
_
_
_
_
_
_
_
。
2
、
等差数列
{
a
n
< br>}
的前
n
项的和为
40
，
前
2
n
项的和为
120
，
求它的前
3
n
项
的和为
_
_
_
_
_
_
_
。
3.
已知等差数列<
/p>
{
a
n
}
中，
S
3
4
,
S
9
12
,
求
S
15
的值
.
4.
已知等差数列
{
a
n
}
中，
a
1
a
2
a
3
2
,
a
4
a
5
a
6
4<
/p>
,
则
a
16
a
17
a
18
的值
5.
a
1
，
a
2
，
a
3
，……
a
2
n
+1
为
等差数列，奇数项和为
60
，偶数项的和为<
/p>
45
，求该数列的项数
.
6.
若一个等差数列前
3
项的和为
34
，最后
3
项的和为
146
，且所有项的
和为
390
，则这个数列
有
_
_
_
_<
/p>
_
_
_
。
7.
在等差数列
{
a
n
}
中，<
/p>
S
4
＝
1
，
S
8
＝
3
，
则
a
17
＋
a
18
＋
a
19
＋
< br>a
20
的值是
_
_
_
_
_
_
_
。
(
六）
a
n
S
2
n
1
的运用
2
n
1
1.
设
S
n
和
T
n
分别为两个等差数列
a
n
,<
/p>
b
n
的前
n
项和，若对任意
n
N
*
，
都有
S
n
a
7
n
1
，则
11
= ________
。
b
11
T
n
4
n
27
2.
设
S
n
和
T
n
分别为两个等差数
列
a
n
<
/p>
,
b
n
的前
n
项和，若对
任意
n
N
*
，都有
3
n
1
s
n
a
=
，则
7
=
________
。
T
n
4
n
3
b
7
T
n
，
3.
有两个等差数列
a
n
，
其前
n
项和分别为
S
n
，
若对
n
N
有
S
n
b
n
，
T
n
7
n
2
2
n
3
学海
无涯多歧路
“学辅”相伴行万里！
4
学辅教育
成功就是每天进步一点点！
成立，求
a
5
=
（
）
。
b
5
（七）
a
n
与
S
n
的关系问题
;
1.
数列
a
n
的前
n
项和
S
n<
/p>
＝
3
n
n
2
，则
a
n
＝
___________
< br>
2.
数列
< br>a
n
的前
n
项和
S
n
＝
n
2
n
1
，则
a<
/p>
n
＝
___________
3.
数列
a
n
的前
n
项和
S
n
＝
n
2
n
2
，则
a
n
＝
___________
4.
数列
a
n
的前
n
项和
S
n
＝
3
n
2
4
n
，则
a
n
＝
___________
5.
数列
a
n
的前
n<
/p>
项和
S
n
＝
2
n
1
，则
a
n
＝
___________
6.
< br>数列
{
4
n
2
}
的前
n
项和
S
n
＝
______.
7.
数列
{
4
n
8
}
的前
n
项和
S
n
＝
______.
8.
数列
{
a
n<
/p>
}
的前
n
项和<
/p>
S
n
＝
8n
2
-10.
则
a<
/p>
n
______
（八）
巧设问题；
一般情况
,
三
个数
成等差数列可设
:
a
d
,
a
,
a
d
;
四个数成等差数
列可
设
:
a
3
d<
/p>
,
a
d
,
a
d
,
a
3
d
.
1.
三个数成等差数列
,
和为
18,
积为
66,
求这三个数
.
2.
三个
数成等差数列
,
和为
18,
平方和为
126,
求这三个数
.
3
.
四个数成等差数列
,
和为
26,
第二个数和第三
个数的积为
40,
求这四个数
.
学海无涯多歧路
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5
学辅教育
成功就是每天进步一点点！
4.
四个数成等差数列
,
中间两个数的和为
13,
首末两个数的积为
22,
求这四
个数
.
5.
一个等差数列的前
12
项之和为
354
，
前
12
项中偶数项与奇数项之比为
32
：
27
，求公差<
/p>
(
九）
．最值问题
:
；
1.
在等差数列
{
a
n
}
中
,
a
1
<
/p>
80
,
d
6
,
求
S
n
的最大值
.
2.<
/p>
在等差数列
{
a
n
}
中
,
a<
/p>
1
80
,
d
5
,
求
S
n
的最大值
.
3.
在等差数列
{
a
n
}
中
,
a
1
<
/p>
80
,
d
6
,
求
S
n
的最小值
.
4.<
/p>
在等差数列
{
a
n
}
中
,
a<
/p>
1
80
,
d
5
,
求
S
n
的最小值
.
学海无涯多歧路
“学辅”相伴行万里！
6