高中数学等差数列性质总结大全
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等差数列的性质总结
1.
等差数列的定义：
a
n
a
< br>n
1
d
（
d
为常数）
（
n
2
）
；
2
．等差数列通项公式：
a
n
a
1
(<
/p>
n
1)
d
dn
a
1
d
(
n
N
*
)
，
首项
:
a
1
，公差
:d
，末项
:
a
n
推广：
a
n
a
m
(
n
m
)
d
．
从而
d
3
．等差中项
（
1
）如果
a
，
A
，
b
成
等差数列，那么
A
叫做
a
与
b
的等差中项．即：
A<
/p>
a
b
2
a
n
a
m
n
m
；
或
2
A
a
b
（
2<
/p>
）等差中项：数列
a
< br>n
是等差数列
2
a
n
< br>a
n
-
1
a
n
1
(
n
2
)
2
a
n
1
a
n
a
< br>n
2
4
．
等差数
列的前
n
项和公式：
S
n
n
(
a
1
a
n
)
2
<
/p>
na
1
n
(
n
1)
2
d
d
2
n
(
a
1
2
1
2
d
)
n
An
B
n
2
（其中
A
、
B
是常数，所以当
d
≠
0
时，
< br>S
n
是关于
n
< br>的二次式且常数项为
0
）
特别地，当项数为奇数
2
n
1
时，
a
< br>n
1
是项数为
2n+1
的等差数列的中间项
S
2
n
1
2
n
1
a
1
a
2
n
1
< br>
2
2
n
1
a
n
1
（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）
5
．
等差数
列的判定方法
（
1
）
定义法：若
a
n
a
n
1
d
或
a
n
1
a
n
d
< br>(
常数
n
N
)
a
n
是等差数列．
（
2
）
等差中项：数列
a
n
是等差数列
< br>2
a
n
a
n
-
1
a
n
1
(
n
2
)
2
a
n
1
< br>a
n
a
n
2
．
⑶数列
a
n
是等差数列
a
n
kn
b
（其中
k
,
b
是常数）。
2
（
4
）数列
a
n
是等差数列
S
n
An
Bn
,
（其中
A
、
B
是常数）。
6
．
等差数列的证明方法
定义法：若
a
n
a
n
1
d
或
a
n
1
a
n
d
(
常数
n
N
)
a
n
是等差数列．
7.
提醒
：
（
1
）
等差数
列的通项公式及前
n
和公式中，涉及到
5
个元素：
a
1
、
d
、
n
、
a
n
及
S
n
，其中
a
1
、
d
称作为
基本元
素。只要已知这
5
个元素中的任意
3<
/p>
个，便可求出其余
2
个，即知
3
求
2
。
（
2
）设项技巧：
①一般可设通项
a
n
a
1
(
n
1)
d
②
奇数个数成等
差，可设为„，
a
2
d
,
a
d
,
a
,
a
d
,
a<
/p>
2
d
„（公差
为
d
）
；
<
/p>
③
偶数个数成等差，可设为„，
a
3
d
,
a
d
,
a
d
,
a
3
d
,
„（
注意；公差为
2
d
）
8..
等差数列的性质：
（
1
）当公差
d
0
时，
等差数列的通项公式
a
n
a
1
(<
/p>
n
1)
d
dn
a
1
d
是关于
n
的一次函数，且斜率为公差
d
；
前
n
< br>和
S
n
na
1
n
(
n
1)
2
d
d
2
n
(
a
1
2
d
2
)
n
是关于
n
的二次函数且常数项为
0.
（
2
）若公
差
d
0
，则
为递增等差数列，若公差
d
0
，则为递减等差数列，若公差
d
0
，则为常数列。
<
/p>
（
3
）当
m
n
p
q
时
,
则有
a
m
a
n
a
p
a
q
，特别地，当
m
n
< br>
2
p
时，则有
a
m
a
n
2
a
p
.
注：
a
1
a
n
<
/p>
a
2
a
n
1
a
3
a
n
2
，