等差数列常见结论
-
等差数列常见结论
1
，
判断给
定的数列
{
a
n
}
是等差数列的方法
*
（
1
）
定义法：
a
n
1
a
n
< br>
d
是常数
(
< br>n
N
)
数列
{
a
n
}
是等差数列；
（
2
）
通项公式法：
a
n
kn
b
(
k
,
b
是常数
)
数列
{<
/p>
a
n
}
是等差数
列；
（
3
）
前
n
项和法：数列
{
a
n
}
的前
n
项和
S<
/p>
n
An
2
Bn
(
A
,
B
是常数
,A
2
B
2
0)
数列
{
a
n
}
是等差数列；
*
（
4
）
等差中项法：
a
n
a
n
2
2
a
n
1
(
n
< br>N
)
数列
{
a
n
}
是等差数列；
2
，
等差数列的通项公式的推广和公差的公式：
< br>a
n
a
m
(
n
m
)
d
(
n
,
m
N
*
)
d
3
，
< br>
4
，
5
，
6
，
7
，
a
n
a
m
(
n
,
m
N
*
,
< br>n
m
)
；
n
m
若
A
是
a
与
b
的等差中项
2
A
a
b
若
数
列
{
a
n
}
，
{
< br>b
n
}
都
是
等
差
数
列
且
项
数
相
同
，
则
{
kb
n
},{
a
n
b
n
},{
a
n
b
n
},{
pa
n
qb
n
}
都是等差数列；
等差
数列
{
a
n
}
中，若项数成等差数列，则对应的项也成等差数列；
等差数列
{
a
n
}
中，隔相同的项抽出一项所得到的数列仍为等差数列；
若数列
{
a
n
}
是等差数列，且项数
m
,
n
,
p
,
q
(
m
,
n
,
p
,
q
N
< br>)
满足
m
n
p
q
，则
*
a
m
a
n
a
p
a
q
，反之也成立；当
p
q
时，
a
m
a
n
2
a
p
，即
a
p
是
a
m
和
a
n
的
8
，
等差中项；
若数列
< br>{
a
n
}
是等差数列的充要条件是前
n
项和公式
S
n
f
(
n
)
，是
n<
/p>
的二次函数或
2
2
2
一次函数且不含常数项，即
S
n<
/p>
An
Bn<
/p>
(
A
,
B
是常数
,A
B
0)
；
2
若数列
{
a
n
}
的前
n
项和
s
n
An
Bn
C
(
A
,
B
是常数
,C
0
)
，则数列
{
a
n
}
从第
9
，
二项起是等差数列；
10
，
若数
列
{
a
n
}<
/p>
是等差数列，前
n
项和为
S
n
，则
{
< br>首项相同，公差是
{
a
n
}
公差的
11
，
12
，
13
，
S<
/p>
n
}
也是等差数列，其首项和
{
a
n
}
的
n
1
；
2
a
n
S
2
n
1<
/p>
；
b
n
T
2
n
1
若数列
{
a
n
}
，
{
b
n
}
都是等差数列，其前
n
项和分别为
S
n
,
T
n<
/p>
，则
若三个数成等差数列，
则通常可设这
三个数分别为
x
d
< br>,
x
,
x
d
；
若四个数成等差
数列，则通常可设这四个数分别为
x
3
d
,
x
< br>
d
,
x
d
,
x
3
d
；
等差数列
{
a
n<
/p>
}
的前
n
项和为
S
n
，且
S<
/p>
m
,
S
2
m
,
S
3
m
,
S
4
m
分别为数列
{
a
n
}
的前<
/p>
m
项
,2m
项<
/p>
,3m
项
,4m
项
,
……的和，则
S
< br>m
,
S
2
m
S
m
,
S
3
m
S
2
m
,
成等差数列（等
差数列的片段和性
质）
；
等差数列
{
a
n
}
中，若项数
n
为奇数，设奇数项的和和偶数项的和分别为
S
奇
，
S
偶
，
14
，
a
n
S
< br>奇
S
奇
n
1
2
；
则
；若项数
n
为偶数，
S
偶
a
n
1
S
偶
n
1
2
15
，
16
，
在等差数列
{
a
n
}
中，若公差
d
0
，则等差数列
{
a
n
}
为递增数列；若公差
d
0
，
则等差数列
{
a
n
}
为递减数列；若公差
d
0
，则等差数列
{
a
n
}
为常数列；
有关等差数列
{
a<
/p>
n
}
的前
n
项和为
S
n
的最值
问题：
（
1
）
何时存在最大值和最小值
①
若
a
1
0,
d
0
，则前
n
项和为
S
n
存在最大
值
②
若<
/p>
a
1
0,
d
0
，则前
n
项和为
S
n
存在最小值
（
2
）
如何求最值
a
n
0
①
方法一：
（任何数列都通用）通过<
/p>
解出
n
可求前
n
项和为
S
n
的最大值；
a
n
1
0
a
n
0
通过
解出
n
可求前
n
项和为
S
n
的最小值；
a
0
n
1
②<
/p>
方法二：
利用等差数列前
n
项和
S
n
的表达式为关于
n
的二次函数且常数项为
0
（
若
为一次函数，数列为
常数列，则前
n
项和
S
n
不存在最值）
,
利用二次函
数求最值的
方法进行求解；有以下三种可能：
若对称轴
n
正好取得正整数，则此时
< br>n
就取对称轴；若对称轴不是正整数，而是
靠近对称轴的
相邻的两个整数的中点值，则
n
取这两个靠近对称轴的相邻的两
个
整数；若对称轴即不是正整数，又不是靠近对称轴的相邻的两个整数的中点值，
则
n
就取靠近对称轴的那个正整数；
③
利用等差数列的相关性质求解
17<
/p>
，用方程思想处理等差数列中求相关参数问题，对于
a
n
,
n
,
S
n
,
a
1
,
d
这五个量，知任意三
个可以求出其它的两个，即“知三求二”
例
2
、
（
12<
/p>
重庆理
1
）
在等
差数列
{
a
n
}
中，
a
2
1
，
a
4
5
则
{
a
n
}
的前
5
项和
S
5
=
（
）
A
、
7
B
、
15
C
、
20
D
、
25
【解析】此题考查等差数列的求和公式，可以利用“若数列
{<
/p>
a
n
}
是等差数
列，且项数
m
,
n
,
p
,
q
(
m
,
n
,<
/p>
p
,
q
N
*
)
满足
m
n
p
q
，
< br>则
a
m
a
n
a
p
a
q
，
反之也成立；
当
p
q
时，
a
m
a
n
2
a
p
，即
a
p
是
a
m
和
a
n
的等差中项；
”此结论快速求解
因
为
a
2
1
，
a
4<
/p>
5
，
所
以
a
1
a
5
a
2
a
4
6
，
所
以
数
列
的
前<
/p>
5
项
和
S
5
5
(
a
1
a
5
)
5
(
a
2
a
4
)
5
<
/p>
6
15
,
选
B.
2
2
2
1
}
a
n
a
n
1
a
5
< br>
5,
S
5
15
，
例
3
、
(12
全国卷理
5)
已知等差数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，
则数列
{
的前
100<
/p>
项和为
(
)A
、
100
99
101
99
B
、
C
、
D
、
101
100
100
101
【解析】
此题考查等差数列的通项公式和求和公式，<
/p>
考查利用裂项相消法求非特殊数列的前
n
项
和
，
所
以<
/p>
由
a
5
5
,
S
5
15
,
得
a
1
1
< br>,
d
1
，
所
以
a
n
1
(
n
1
)
n
，
所
以
1
1
1
< br>1
，
a
n
a
n
1
n
(
n
1
)
n
n
1
1
1
1
< br>1
1
1
1
1
1
100
1
，选
A.
a
1
a
2
a
100
a
101
1
2
2
3
100
101<
/p>
101
101
又
例
4
、
（
12
湖北理
18
）
（本小题满分
12
分）
已知等差数列
{
a
n
}
前三项的和为
3
，
前三项的积为
8
，
（Ⅰ）
求等差数列
{
a
n
}
的通项公式；
【解析】此题考查等差数列的通项公式和前
n
项和为
S
n
、等比数列的通项公式，考查方程
思想在解决数列问题中的应用
（Ⅰ）设等差数列
{
a
n
}
的公差为
d
，则
a
2
a
1
d
,
a
3
a
1
2
d
，
3<
/p>
a
1
3
d
3,
a
1
2
a
1
< br>
4
由题意得
，
解得
< br>
或
a
(
a
d
)(
a
2
d
)
8
d
3
d
3
1
1<
/p>
1
所以由等差数列通项公式可得
a
n
3
n
5
，或
a
n
3
< br>n
7
例
5
、
（
10
全国Ⅱ理
4
）
如果等差数列
{
a
n
}
中，
a
3
a
4
a
5
12
，那么
a<
/p>
1
a
2
a
7
（
）
A
、
14
B
、
21
C
、
28
D
、
35
【
解
析
】
本
试<
/p>
题
主
要
考
查
等
差
数
列
的
基
本
公
式
和
性
质
.
a
3
a
4
<
/p>
a
5
3
a
4
12
a
4
4
a
1
< br>
a
2
a
7
7(
a
1
a
7
)
7
a
4
28<
/p>
，所以选
C
2
2
m
例
6
、
（
09
宁夏海南
理
16
）
等差数列
{
a
n
}
前
n
项和为
S
n
。
已知
a
m
1
+
a
m
1
-
a
则
m
_______
【解析】本试题主要考查等差数
列的基本公式和性质
.
由
a
m
1
+
a
m
1
-
a
得到
2
a
m
a
m
0,
a
m<
/p>
0,
2
又
S
2
m
1
2
2
m
=0
，
S
2
m
1
=38,
=0
2
m
1
a
1
a
2
m
1
2
2<
/p>
m
1
a
m
38
m
10
。
例
7
、
（
11
广东理
11
）
等差数列
{
a
n
}
前
9
项的和等于前
4
项的和．
若
a
1
1,
a
k
a
4
0
，
则
k
______
【解析】此题考查等差数列的通项公式和求和公式的应用；
【方法
1
】
由
S
9
S
4
得
9
36
d
4
6
d
d
1
，则
6
1
1
a
k
a
4
1
(
k
1)
(
)
1
3
(
)
0
k
10
6
6
【方法
2
】
利用等差数列的性质解题：
由
S
9
S
4
0
得
4
a
5
a
6
< br>
a
7
a
8
a
9
0
5
a
7
0
a
7
0
1
k
< br>0
，
即
a
1
2
a
0
a
7
*
例
8
、
（
11
年湖南卷理
12
）
设
S
n
是等差数列
{
a
n
}(
n<
/p>
N
)
的前
n
项和，
且
a
1
1,
a
4
7
，则
S
5
______<
/p>
【
解
析
】
考
查
等
差
数
列
的
通
项
公
式
的
应
用
及
等
差
数
列
求<
/p>
和
由
a
1
1,
a
4
7
可
得
(1
9)
5
25
。
w.k.s.5.u.c.o.m
2
例
10
、
(08
宁夏
，海南理
17)
已知数列
{
a
n
}
是一个等差数列，且
a
2
<
/p>
1
，
a
5
5
。
（
1
）
求
{
a
n
}
的通项
a
n
；
（
2
）求
{
a
n
}
前
n
项和
S
< br>n
的最大值。
【命题意图】本
题考查等差数列的通项公式和等差数列前
n
项和
S
n
最值的求法，着重考查
a
1
1,
d<
/p>
2
,
a
n
，所以
1
S
5
n
2
方程思想和二次函数最值问题；
a
1
< br>
d
1
【解析】
（Ⅰ）设
a
n
的公差为
d
，由已知条件，
，解出
a
1
3
，<
/p>
d
2
．
a
4
d
5
1
所以
< br>a
n
a
1
(
n
1)
d
<
/p>
2
n
5
．
（Ⅱ）
S
n
na
1
n
(
n
1)
d
n
2
4
n
4
(
n
2)
2
．
2
所以
n
2
时，
S
n
取到最大值
4
．
例
1
1
、<
/p>
已
知
数列
{
a
n
}
是等差数列
，且首项
a
1
0
，
S
9
S
12
，求前
n
项和
S
n
何
时取最小
值
【命题意图】本题考查等
差数列的等差数列前
n
项和
S
n
最值的求法
【解析】
9
8
12
1
1
d
12
a
1
d
a
1
10
d
0,
即
d
0
2
2
n
< br>(
n
1)
d
nd
d
2
21
nd
S
n
na
1
d
10
nd
n
2<
/p>
n
(
d
0)
2
2
2
2
2
21
当
n
且
n
N
*
,
即
n
11
或
10
时，
前
n
项和
S
n<
/p>
取最小值
2
方
法一：
因为
S
9
S
12
，所以
9
a
1
方法二：
因为
S
9
S
12
，
所以
a
10
a
11
a
12
0
a
11
0
且<
/p>
a
1
0,
d
0
，
即
n
1
0
或
n
< br>1
1
前
n
项和
S
n
取最小值
< br>
方法三：
因为
S
9
S
12
，所以
S
n
的对称轴为
n
21
，开口向上
，且
d
0
，
2