等差数列及其变式
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等差数列及其变式
一、基本等差数列
如果一个数列从第
二项起，
每一项与它的前一项的差等于同一个常数，
这个数列就
叫做
等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母
d
表示。等差数列的通项公式为：
1
<
/p>
a
n
a
1
（
n
-
1
）
d
(1)
前
n
项和公式为：<
/p>
S
n
na
n
1
）
d
或
S
n
（
2
n
< br>（
n
-
1
2
a
1
a
n
）
n
注意：
以上
n
均属
于正整数。
【例】
1
，
4
，
7
，
10
，
l
3
，
l 6
，
19
，
22
，
25
，…
1
、二级等差数列
一般地，一个数列相邻的两项作差
，得到的新数列为等差数列，则称原数列为二级等差
数列。
解题模
式：
（
1
）观察数列特征。大部分多级
等差数列为递增或递减的形式。
（
2
）
尝试作差，
一般为相邻两项之间作差，<
/p>
注意作差时相减的顺序保持不变、
（
3
）测测规律
（
4
）检验。
（
5
）重复步骤（
2
）
~
（
4<
/p>
）直至规律吻合。
【例
1
】
(2007
黑龙江，第<
/p>
8
题
)11
，<
/p>
12
，
15
，<
/p>
20
，
27
，<
/p>
(
)
A
．
32
B
．
34
C
．
36
D
．
38
【解题关键点】原数列：
11
12
15
20
27
（
36
）
做一次差：
1
3
5
7
<
/p>
（
9
）等差数列
【答案】
C
【例
2
】
(2002
国家，
B
类，第
3
题
)32
，
27
，
23
，
20
，
18
，
(
)
A
．
14
B
．
15
C
．
16
D
．
1 7
【解题关键点】原数列：
32
27
23
20
18
（
17
）
做一次差：
5
4
3
2
1
等差数列
【答案】
D
【例
3
】
(2002
国家，
B
类，第
5
题
)
－
2
，
1
，
7
，
16
，
(
)
，
43
A
．
25
B
．
28
C
．
31
D
．
35
【解题关键点】原
数
列：
-2
1
7
16
（
z
）
43
做一次差：
3
6
9
x
y
猜
测：一个公差为
< br>3
的等差数列。
尝
试：
x=
9+3=12
，
（
z
）
=16+12=28
检
验：
y=12+3=15,
( z )=43-15=28
【答案】
B
【例】
< br>3
，
6
，
11
，
(
)
，
27
A
．
15
B
．
18
C
．
19
D
．
24
【解题关键点】二级等差数列。
3
6
11
(18)
27
3
5
7
9
【答案】
B
3
、二级等差数列变式
（
1
）相邻
两项之差是等比数列
【例】
0
，
3
，
9
，
21
，
(
)
，
93
A
．
40
B
．
45
C. 36
D
．
38
【解题关键点】二级等差数列变式
0
3
9
21
(45)
93
求差
1
3
6
12
(24)
(48)
公比为
2
的等比数列
【答案】
B
（
2
）相邻两项之差是连续质数
【
例】
11
，
13
，
16
，
21
，
28
，
(
)
A
．
37
B
．
39
C.41
D.47
【解题关键点】二级等差数列变式
11
13
16
21
28
（
39
）
求差
2
3
5
7
（
11
）
质数列
【答案】
B
（
3
）相邻两项之差是平方数列、立方数列
< br>【例】
1
，
2
< br>，
6
，
15
，
（
）
A
．
19
B
．
24
C
．
31
D
．
27
【
解题关键点】数列特征明显单调且倍数关系不明显，优先做差。
原数列：
1
2
6
15
（
31
）
做差：
1
4
9
（
16
）
得到平方数列。
【答案】
C
（
4
）相邻两项之差是和数列
【例】
2,
1,
5,
8,
15,
25,
(
)
A.41
B.42
C.43
D.44
【解题关键点】相邻两项之差是和数列
2
1
5
8
15
25
（
42
）
求差
-1
4
3
7
10
（
17
）
和数列
【答案】Ｂ
（
5
）相邻两项之差是循环数列
【例】
1,4,8,13,16,20,(
)
A. 20
B. 25
C. 27
D. 28
【答案】
B
【解题关键点】
该数列相邻两数的差成
3
，
4
，
5
一组循环的规律，
所以空缺项应为
20+5=25
，
故选
B
。
1
、三级等差数列
一般地
，一个数列相邻的两项作差，得到的新数列，然后对该新数列相邻两项作差，得
到等差数
列，则称原数列为三级等差数列。
解题模式：
（
1
）观察数列特征。大部分多级等差数列为递增或递减的形式。
（
2
）
尝试作差，
一般为相邻两项之间作差，
注意作差时相减的顺序保持不变、<
/p>
（
3
）测测
规律
（
4
）检验。
（
5
）重复步骤（
2
）
~
（
4<
/p>
）直至规律吻合。
【例】
（
2009
年中央机关及其直属机构公务员录用考试
行测真题）
1
，
9
，
35
，
91
，
189
，
(
)
A
．
361
B
．
341
C
．
321
D
．
301
【解题关键点】原数列后项减前项构成数列
8
，
26
，
56
，
98
，
(
)
，新数列后项减前项构成
数列
18
，
30
，
42
，
(54)
，该数列是公差为
12
的等差数列，接下来一项为
54
，反推回去，可
得原数列的空缺项为
54+98+189=34
1
，故选
B
。如图所示：
1
9
35
91
189
（
341
）
8
26
56
98
（
52
）
18
30
42
（
54
）
【答案】
B
解法二：因式分解数列，原数列经分解因式后变成：
1
×
1
，
3
×
3
，
5
×
7
，
7
×
< br>13
，
9
×
21
，
(11
×
< br>31)
，将乘式的第一个因数和第二个因数分别排列，前一个因数是公差为
2
的等差数列，
后一个因数是二级等差数列，
答案也为
B
。
图示法能把等差
(
比
)
数列的结构清晰地表示出来，
一般应用于多级等差
(<
/p>
比
)
数列中。
【例
2
】
5<
/p>
，
12
，
21<
/p>
，
34
，
53<
/p>
，
80
，
(
)
A .121
B
．
115
C
．
119
D
．
117
2
【解题关键点】三级等差数列
5
12
21
34
53
80
（
117
）
求差
7
9
13
19
27
（
37
）
求差
2
4
6
8
（
10
）
公差为
2
的等差数列
【答案】
D
5
、三级等差数列变式
（
1
）两次作差之后得到等比数列
< br>
【例】
(2005
国家，－类
，第
35
题
)0
，
1
，
3
，
8
，
22
，<
/p>
63
，
(
)
。
A
．
163
B
．
174
C
．
185
D
．
196
【解题关键点】原数列：
0
1
3
8
22
63
（
185
）
求差
1
2
5
14
41
（
122
）
求差
1
3
9
27
（
81
）
等比数列
【答案】
C
（
2
）两次
作差之后得到连续质数
【例】
1,8,18,33,55,(
)
A
．
86
B
．
87
C
．
88
D
．
89
【解题关键点】
1
8
18
33
55
(88)
求差
7
10
15
22
(33)
求差
3
5
7
(11)
质数列
【答案】
C
（
3
）两次作差之后得到平方数列、立方数列
【例】
5,12,20,36,79,(
)
A
．
185
B
．
186
C
．
187
D
．
188
【解题关键点】
5
12
20
36
79
(186)
求差
7
8
16
43
(107)
求差
1
8
27
(64)
立方数列
【答案】
B
（
4
）两次作差之后得到和数列
<
/p>
【例
4
】
-2,
0,
1,
6,
14,
29,
54,
(
)
A.95
B.96
C.97
D.98
【解题关键点】三级等差数列变式
-2
0
1
6
14
29
54
（
96
）
求差
2
1
5
8
15
25
（
42
）
求差
-1
4
3
7
10
（
17
）和
数列
【答案】Ｂ
3