高考数学-等差数列典型例题
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高考数学
-
等差数列典型例题
< br>
【例
1
】
在
100
以
内有多少个能被
7
个整除的自然数？
解
∵
100
以内能被
7
整除的自然数构成一个等差数列，其中
a
1
=7
，
d
＝
7
，
a
n
＝
98
．
代入
a
n
＝
a
1
＋
(n
－
1)d
中，有
98
＝
7
＋
(n<
/p>
－
1)
·
7
解得
n
＝
14
答
100
以内有
14
个能被
7
整除的自然数．
【例
2
】
在－
1
与<
/p>
7
之间顺次插入三个数
a
，
b
，
b
使这五个数成等差数列，
求此数列．
解
设这五
个数组成的等差数列为
{a
n
}
由已知：
a
1
＝－
1
，
a
5
＝
7
∴
7
＝－
1
＋
(5
－
1)d
解出
d
＝
2
所求数列为：－
1
，
< br>1
，
3
，
5
，
7
．
【例3】
在等差数列－
5
，－
3
1
1
2
，－
2
，－
2
，…的相邻两项之间
插入一个数，使之组成一个新的等差数列，求新数列的通项．
解
原数列的公差
< br>d
=
3
1
3
2
(
－
5)
＝
2
，所以新数列的公差
d
′
1
2
d
=
3
4
，期通项为
a
5
3
3
23
n
< br>
4
(
n
1
)
4
n
4
即
a
3
23
n
=
4
n
4
【例
4
】
在
[1000
，
2000]
内能
被
3
整除且被
4
除余
1
的整数共有多少个？
解
设
a
n
=3n
，
b
m
＝
4m
－
3
，
n
，
m
∈
N
令
a
b
－
< br>3
n
＝
4
m
3
n
=
m
，则
3n
＝
4m
3
为使
n
为整数，令
m
＝
3k
，
得
n
＝
4k
－
1(k
∈
N)
，
得
{a
n
}
，
{b
m
}<
/p>
中相同的项构成的数列
{c
n
}
的通项
c
n
＝
12n
－
3(n
∈
N)
．
则在
[1000
，
20
00]
内
{c
n
}
的项为
84
·
12
－
3
，
85
·
12
－
3
，…，
166
·
< br>12
－
3
∴
< br>n
＝
166
－
< br>84
＋
1=83
∴共有
83
个数．
=
【例
5
】
三个数成等差数列，其和为
15
，其平方和为
83
，求此三个数．
解
设三个数分别为
x
－
d
，
x
，
x
＋
d
．
(x
－
d)
＋
x
＋
(x
＋
d)
=
15
则
2
2
2
(x
－
d)
＋
x
＋
(x
＋
d)
=
83
解得
x
＝
5
，
d
＝±
2
∴
所求三个数为
3
、
5
、
7
或
7<
/p>
、
5
、
3
说明
注意学习本题对三个成等差数列的数的设法．
【例
6
】
已知
a
、<
/p>
b
、
c
成等差数
列，
求证：
b
＋
c
，
c
＋
a
，
a
＋
b
也成等差数列．
证
∵
a
、
b
、
c
成等差数列
∴
2b=a
＋
c
∴
(b
＋
c)
＋
(a
＋
b)
＝
a
＋
2b
＋<
/p>
c
＝
a
＋
(a
＋
c)
＋
c
＝
2(a
＋<
/p>
c)
∴
b
＋<
/p>
c
、
c
＋
a
、
a
＋
b
成等差数列．
说明
如果
a
、
b
、
c
成等差数列，常化成
2b
＝
a
＋
c
的形式去运用；反之，如
果求证
a
、
b
、
c
成等
差数列，常改证
2b=a
＋
c
．本例的意图即在让读者体会这一点．
1
1
1
【例7】
若
、
、
成等差
数列，且
a
≠
b
，求证：
a
、
b
、
c
、不
a
b
c
可能是等差数列．
分析
直接证明
a
、
b
、
c
不可能是等差数列，有关等差数列的知识较难
运用，
这时往往用反证法．
证
假设<
/p>
a
、
b
、
c
是等差数列，则
2b=a
< br>＋
c
1
1
1
又∵
、
、
成等差数列，
a
b
c
2
1
1
∴
，即
2ac
＝
b(a
＋
< br>c)
．
b
a
c
∴
2ac
＝
b(a
＋
c)=2b
2
，
b
2
＝
ac
．
又∵
a
、<
/p>
b
、
c
不为
0
，
∴
a
、
b
、
c
为等比数列
，
又∴
a
、
b
、
c
为等差数列，
∴
a
、
b
、
c
为常数列，与
a
≠
b
矛盾，
∴
假设是错误的．
∴
a
、
b
、
c
不可能成等
差数列．
【例
8
】
解答下列各题：
< br>(1)
已知等差数列
{a
n
}
，
a
n
≠
0
，公差
d
≠
0
，求证：
①对任意
k
∈
N
，关于
x
的方程
a
k
x
2
＋
2a
k+1
x<
/p>
＋
a
k+2
＝<
/p>
0
有一公共根；