高阶等差数列(学生版)
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数学讲义
高阶等差数列
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知识定位
等差数列是数列问题中最为基本的一种情况。
进一步，
我们可以
对等差数列进行推广，
得到
高阶等差数列。这在竞赛中也是非常
常见的。本节课将介绍高阶等差数列的相关内容。
知识梳理
1
、给一个数列
a
n
< br>
，将其相邻两项的差求出，得到一列新数列：
a
2
a
1
,
a
3
a
2
,
,
a
n
1
a<
/p>
n
……
，这个数列称之为原数列
a
n
的
一阶差分数列
2
、将一阶差分数列记为
b
< br>n
，再求出
b
n
相邻两项的差，得到新
数列：
b
2
b
1<
/p>
,
b
3
b
2
b
n
1
b
n
此数列为
b
< br>n
的一阶差分数列，我们也称之为原
< br>
数列
a
n
的
二阶差分数列。
类似可定义数列
a<
/p>
n
的
p
阶差分数列，差分数列也可以叫做差数列。
3
、如果一个
p
阶差分数列是一列非零
常数列，则称此数列为
p
阶等差数列
，
我们
通常所谓的等差数列其实就是一阶差数列。二阶及二阶
以上的等差数列，统称
为
高阶等差数列
对于高阶等差数列有如下性质：
<
/p>
1.
如果数列
a
n
是
p<
/p>
阶等差数列，那么
a
< br>n
的一阶差数列是
p
1
阶等差数列；
2
数列
a
n
是
p
阶等差数列的充要条件是：数
列
a
n
<
/p>
的通项是关于
n
的
p
次多项式
.
3.
数列
a
n
< br>
为
p
阶等差数列，那么其前<
/p>
n
项和是关于
n
的
p
1
次多
项式。
4.
k
k
1
n
i
是一个关于
:
n
的
i
1
次多项式
.
注
:
1
是显然的，
4
是
2
与
3
的推论，而
2
与
3
可以用数学归纳法证明
。
高阶
等差数列中最重要也是最常见的问题是求通项与前
n
项和，更进一步的问题是差分方
程的求解。解决问题的基本方法有：
1.
逐差法：
其出发点是
a
n
a
1
a
k
1<
/p>
n
1
k
1
a
k
.
2.
待定系数法：
< br>在已知阶数的等差数列中，
其通项
a
n
与前
n
项和
S
n
<
/p>
就是确定次数的多
项式，先设出多项式的系数，再代入已知条件解
方程即得。
3.
< br>裂项相消法：出发点是
a
n
<
/p>
可以写成
a
n
f
(
n
1)
f
(
n
).
进一步，我们实际上可以把上述数列差分的思想推广到函数上。
我们设
f
(
x
)
是定义在
上的函数，
定义
f
(
< br>x
)
的一阶差分函数：
f
(
x
)
f
(
x
1)
< br>f
(
x
).
类似地，我们可以定义二阶差分函数：
2
f
(
x
)
f
(
x
1)
f
(
x
)<
/p>
f
(
x
2)
f
(
x
1)
f
(
x
1)
f
(
x
)
.
依次，我们可以得到
p
阶差分函数
f
(
x
)
.
关于
p
阶差分函数，利用数学归纳法，我们有
以下定理
：
定理
1
设
f
(
x
)
是定义在<
/p>
p
p
p
上的函数
，那么：
p
i
f
(
x
)
(
1)
i
0
C
f
(
x
i
)=
(
1)
i
C
i
p
f<
/p>
(
x
p
i
).
i
p
i
0
p
例题精讲
例
1
：
【试题来源】
【题目】设数列
a
n
是一个三阶等差数列，其前面的若干项为
1,2
,8,22,47,86,
个数列的通项公式。
【难度系数】
3
例
2
：
【试题来源】
【题目】
数列
a
n
的二阶差数列各项均为
16
，且
a
63
a
89
10
，求
a
51
.
【难度系数】
3
例
3
：
，求这