等差数列的前n项和练习 含答案
-
课时作业
8
等差数列
的前
n
项和
时间：
45
分钟
满分：
100
分
课堂训练
1
．
已知
{
a
n
}
为等差数列，
a
1
＝
35
< br>，
d
＝－
2
，
S
n
＝
0
，
则
n
等于
(
)
A
．
33
C
．
35
【答案】
D
【解析】
本题考查等差数列的前
n
项和公式．由
S
n
＝
na
1
＋
n
n<
/p>
－
1
n
n
－
1
2
d
＝
35
n
＋
2
< br>×
(
－
2)
＝
0
，可以求出
n
＝
36.
2
．等差数列
{
a
n
}
中，
3(
a
3
＋
a
5
)
＋
2(
a
7
＋
a
10
＋
< br>a
13
)
＝
24
，则数列前
13
项的和是
(
)
A
．
13
C
．
52
【答案】
B
【解析】
3(
a
3
＋
a
5
)
＋
2(
a
7
＋
a
10
＋
a
13
)
＝
24
⇒
6
a
4
＋
6
a
10
＝
24
⇒
a
4
＋
13
a
< br>1
＋
a
13
13
a
4
＋
a
10
13
×
4
a
10
＝
4
⇒<
/p>
S
13
＝
＝
＝
2
＝
26. <
/p>
2
2
3
．
等差数列的前
n
项和为
S
n
，
S
1
0
＝
20
，
S
20
＝
50.
则
S
30
＝
_
_______.
【答案】
90
【解析】
等差数列的片断数列和依次成等差数列．
∴
S
10
，
S
20
－
S
10
，
S
30
－
S
20
也成等差数列．
B
．
26
D
．
156
B
．
34
D
．
36
∴
2(
S
20
－
S
10
)
＝<
/p>
(
S
30
－
S
20
)
＋
S
10
，解得
S
30
＝
90.
4
．等差数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，若
S
12
＝
84
，
S
20
＝
460
，求
S
28
.
【分析】
(1)
应用基本量法列出关于
a
1
和
d
的方程组，解出
a
1
和
d
，进而求得
S
28
；
(2)
因为数列不是常数列，
因此
S
n
是关于
n
的一元二次函数且常数
项为零．设
S
< br>n
＝
an
2
＋
bn
，代入条件
S
12
＝
84
，
S
20
＝
460
，可得
a
、
b
，
则可求
S
28
；
S
n
d
2
< br>d
S
n
d
d
(3)
由
S
n
＝
2
n
＋
n
(
a
1
－
2
)
得
n
＝
2
n
＋
(
a
1
< br>－
2
)
，故
n
是一个等差数
S
20
S
12
S
28
列，又
2
×
20
＝
12
＋
28
，∴
2
×
20
＝
12
＋
28
，可求得
S
28
.
【解析】
方法一：设
{
a
n
}
的公差为
d
，
< br>n
n
－
1
则
S
n
＝
na
1
＋<
/p>
2
d
.
由已知条件得：
20
×
19
20
a
＋
2
d
＝
460
，
1
12
×
11
12
a
1
＋
2
d
＝
84
，
2
a
1
＋
11
d
＝
14
，
整理得
2
a
1
＋
19
d
＝
46
，
a
1
＝－
15
，
解得
d
＝
4.
< br>
n
n
－
1
所
以
S
n
＝－
1
5
n
＋
2
×<
/p>
4
＝
2
n
2
－
17
n
，
所以
S
28
＝
2
×
28
2
－
17
×
28
＝
1 092. <
/p>
方法二：设数列的前
n
项和为
S
n
，则
S
n
＝
an
2
＋
bn
.
因为
S
12
＝
84
，
S
20
＝
460
，
12
2
a
＋
< br>12
b
＝
84
< br>，
所以
2
20
a
＋
20
b
＝
460
，
12
a
＋
b
＝
7
，
整理得
2
0
a
＋
b
＝<
/p>
23.
解之得
a
＝
2
，
b
＝－<
/p>
17
，
所以<
/p>
S
n
＝
2
n
2
－
17
n
，
S
28
＝
1 092.
方法三：∵
{
a
n
}
为等差数列，
n
< br>n
－
1
所以
S
n
＝
na
1
＋
2
d
，
S
n
S
n
d
d
所以
n
＝
a
1
－
2
＋
2
n
，所以
n
是等差数列．
因为
12,20,28
成等差数列，
S
12
S
< br>20
S
28
所以
12
，
20
，
28
成等差数列，
S
20
S
12
S
28
所以
2
×
20
＝
12
＋
28
，解得
S
28<
/p>
＝
1 092.
【规律方法】
基本量法求出
a
1
和
d
是解决此类问题的基本方法，
应熟练掌握．根据等差数列的性质探寻其他解法
，可以开阔思路，有
时可以简化计算．
课后作业
一、选择题
(
每小题
5
分，共
40
分
)
1
．
已知等差数列
{
a
n
}
中，
a
2
＝
7
，
a
4
＝
15
，则前
10
项的和
S
10
等于
(
)
A
．
100
C
．
380
【答案】
B
B
．
210
D
．
400
a
4
－
a
2<
/p>
15
－
7
【解析
】
d
＝
＝<
/p>
2
＝
4
，则
a
1
＝
3
，所以
S
10
＝
210.
4
－
2<
/p>
2
．在等差数列
{
a
n
}
中，
a
2
＋
a
5<
/p>
＝
19
，
S
5
＝
40
，则
a
10
＝
(
)
A
．
27
C
．
29
【答案】
C
【解析】
B
．
24
D
．
48
2
a
1
＋
5
d
＝
19
，
由已知
5
a
1
＋
10
d
＝
40.
a
1
＝
2
，
< br>解得
d
＝
3.
∴
a
10
＝
2
＋
9
×
3
＝<
/p>
29.
3
．
数
列
{
a
n
}<
/p>
的前
n
项和为
S
n
＝
n
2
＋
2
n
－
1
，
则这个数列一定是
(
)
A
．等差数列
C
．常数列
【答案】
B
B
．非等差数列
D
．等差数列或常数列
【解析】
当
n
≥
2
时，
a
n
＝
S
n
－
S
n
－
1
＝
n
2
＋
2
n
< br>－
1
－
[(
n
－
1)
2
＋
2(
n
－
1)
－
1]
＝
2
n
＋
1
，当
n
＝
1
时
a
1
＝
S
1
＝
2.
2
，
n
＝
1
，
∴
a
< br>n
＝
2
n
＋
1
，
n
≥
2
，
这不是等差数列．
4
．设等差数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
.
若
a
1
＝－
< br>11
，
a
4
＋
a
6
＝－
6
，
则当
S
n
取最小值时，
n
等于
(
)
A
．
6
C
．
8
【答案】
A
【解析】
B
．
7
D
．
9
<
/p>
a
1
＝－
11<
/p>
，
a
4
＋
a
6
＝－
6
，
a
1
＝－
11
，
∴
< br>
d
＝
2
，
n
n
－
1
∴
S
n
＝
na
1
＋
2
d
＝－
11
n
＋
n
2
－
n
＝
n
2
－
12
n
.
＝
(
n
－
6)
2
－
36.
即
n
＝
6
时，
S
n
最小．
5
．一个只有有限项的等差数列，它的前
< br>5
项的和为
34
，最后
5
项的和为
146
，所
有项的和为
234
，则它的第
7
项等于
(
)
A
．
22
C
．
19
【答案】
D
【解析】
∵
a
1
＋
a
2
＋
a
3
＋
a
4
＋
a
5
＝
34
，
a
n
＋
a
n
－
1
＋
a
n
－
2
＋
a
n<
/p>
－
3
＋
a
n
－
4
＝
146
，
∴
5(
a
1
＋
a
n
)
＝
< br>180
，
a
1
< br>＋
a
n
＝
36
，
n
a
1
＋
a<
/p>
n
n
×
36
S
n
＝
＝
2
＝
234.
2
∴
n
＝
13
，
S
13
＝
13
a
7
＝
234.
∴
a
7
＝
18.
6
．一个有
11
项的等差数列，奇数项之和为<
/p>
30
，则它的中间项为
(
)
A
．
8
B
．
7
B
．
21
D
．
18