等差数列典型例题及分析.
-
第
四
章
数
列
[<
/p>
例
1]
已知数列
1
，
4
，
7<
/p>
，
10
，…，
3
n+7,
其中后一项比前一项大
3.
（
1
）指出这个数列的
通项公式；
（
2
）指出
1+4+
…
+
（
3n<
/p>
－
5
）是该数列的前几项之和
.
正解：
（
1
）
a
n
=3n
－
2;
(2) 1+4+
…
+
（
3n
－
5
）是该数列的前
n
< br>－
1
项的和
.
< br> [
例
2]
已知数列
a
n
的前
n
项之和为①
S
n
2
n
2
n
②
S
< br>n
n
2
n
1
求数列
a
n
的通项公式。
正解
< br>：
①当
n
1
时，
a
1
S
1
< br>
1
当
n
2
时，<
/p>
a
n
2
n
2
n
2
(
n
1
)
2
(
n
1
)
4
n<
/p>
3
经检验
n
1
时
a
1
1
也适合，
a
n
4
n
3
②当
n
1
时，
a
1
S
1
3
当
n
2
时，
a
n
n
2
n
1
(
n
1
)
2
(
n
<
/p>
1
)
1
2
n
∴
a
n
(
n
1
)
3
2
n
(
n
2
)
[
例
3]
已知等差数列
a
n
的前
n
项之和记为
S
n
，
S
10
=10
，
S
30
=70
，则<
/p>
S
40
等于
。
10
9<
/p>
10
a
d
10
2
2
1
2
正解
：由题意：
得
a
1
,
d
5
15
30
a
30
29
d
70
1
2
代入得
S
40
＝
< br>40
a
1
40
39
40
d
120
< br>。
2
[
例
5]
已知一个等差数列
a
n
的通项公式
a<
/p>
n
=25
－
5n
，求数列
|
a
n
|
的前
n
项和；
n
(
45
5<
/p>
n
)
,
n
5
2
正解
：
(
20<
/p>
5
n
)(
n
5
)
50
,
n
6
2
[
例
6]
已知一个等差数列的前
10
项
的和是
310
，前
20
项的和是
1220
，
由此可以
确定求其前
n
项和的公式吗？
[
例
7]
已知：
a<
/p>
n
1024
lg
2
1
<
/p>
n
（
lg
2
0
.
3010
）
n
N
（
1
）
问前多少项之和为
最
大？（
2
）前多少项之和的绝对值最小？
解
：
（
1
）
a
n
< br>
1024
(
1
n
)
lg
2
0
1024
1024
n
1
< br>
3401
n
3403
lg<
/p>
2
lg
2
a
n
1
1024
n
lg
2
0
∴
n
3402
（
2
）
S
n
1024<
/p>
n
n
(
n
1
)
(
lg
2
)
0
2
< br>
当
S
n
0
或
S
n
近于
0
时其和绝对值最
小
令：
S
n
0
即
1024+
得：
n
n
(
n
1
)
(
lg
2
)
0
< br>2
2048
1
6804
.
99
lg
2
∵
n
N
∴
n
6805
[
例
8]
项数是
2
n
的等差数列，
中间两项为
a
n
和
a
n
1
是方程
x
px
q
0
的两根，
求证此
数列的和
S
2
n
是方程
lg<
/p>
x
(lg
n<
/p>
lg
p
)
lg
x
(lg<
/p>
n
lg
p
)
0
的根。
（
S
2
n
0
）
证明：
依题意
a
n
a
n
1
p
< br>
2
2
2
2
2
∵
a
1
a
< br>2
n
a
n
a
n
1
p
∴
S
2
n
2
2
2
2
n
(
a
1
a
2
< br>n
)
np
2
2
∵
lg
x
(lg
n
lg
p
)
lg
x
< br>(lg
n
lg
p
)
0
2
∴
(lg
x
lg
np
)
0
∴
x
np
S
2
n
< br>
（获证）
。
四、典型习题导练
1
．已知
a
1
3
且
a
n
S
n
1
2
n
，求
a
n
及
S
n
。
n
(
n
1
)
(
n
1
)
2<
/p>
a
n
2
．设
a
n
1
2
2
3
< br>
3
4
n
(
n
1
)
，求证：
。
2
2<
/p>
3.
求和
:
1
1
1
1
1
2
1
2
3
< br>1
2
3
n
2
2
2
2
2
2
4.
求和：<
/p>
(
100
<
/p>
99
)
(
98
97
)
(
4
3
)
(
2
< br>1
)
2
2
2
2
2
5.
已知
a
,
b
,
c
依次成等差数列，求证：
a
bc
,
b
ac
,
c
ab
依次成等差数列
.<
/p>
6.
在等差数列
a
n
中，
a
5
a
13
40
，则<
/p>
a
8
a
9
a
10
（
）
。
A
．
72
B
．
60
C
．
48
D
．
36
7.
已知
a
n<
/p>
是等差数列，且满足
a
m
n
,
a
n
m
(
m
n
)<
/p>
，则
a
m
n
等于
________
< br>。
8.
已知数列
11
13
1
a
< br>,
a
成等差数列，且
，求
a
8
的值。
3
5
6
7
a
n
2
§
4.2
等比数列的通项与求和
三
、经典例题导讲
[
例
1]
已知数列
a
n
的前
n
项之和
S
n
=aq
（
a
0
,
q
1
< br>,
q
为非零常数）
，则
a
n
为（
）
。
n
A.
等差数列
B.
等比数列
C.
既不是等差数列，也不是等比数
列
D.
既是等差数列，又是等比数列
正
解
：当
n
＝
1
时，
a
1
=S
1
＝
aq;
当
n>1
时，
a
n
S
n
S
n
1
aq
n
1
(
q
1
)
a
n
1
q
（常数）
< br>
a
n
a
2
q
1
q
a
1
但
a
n
既不是等差数列
，也不是等比数列，选
C
。
[
例
2]
<
/p>
已知等比数列
a
n
的前
n
项和记为
S
n
，
S
10
=10
，
< br>S
30
=70
，则
S
40
等于
.
错解
：
S
30
= S
10
·
q
. q
＝
7
，
q
＝
2
2
7
，
S
40
=
S
30
·
q
=
70
7
.
错因：是将等比数列中
S
m
, S
2m
－
S
m
,
S
3m
－
S
2m
成等比数列误解为
S
m
, S
2m
,
S
3m
成等比数列
.
a
1
(
1
q
10
)
10
a
1
<
/p>
10
1
q
1
q
正解
：由题意：
<
/p>
得
，
30
a
1
(
1
q
)
70
q
10
2
< br>或
q
10
3
(
舍去
)
1
q
S
40<
/p>
=
a
1
（
1
q
40
）
200
.
1
q
2
3
n
[
例
3]
求和：
a+a
+a
+
…
+a
.
1
a
n
错解
：
a+a
+a
+
…
+a
＝
.
1
a
2
3
n
错因：是（
1
）数列｛
a<
/p>
｝不一定是等比数列，不能直接套用等比数列前
n
项和公式（
2
）用
n
等比数列前
n
项和公式应讨论
< br>q
是否等于
1.
2
3
n
正解
：当
a
＝
0
时，
a+a
+a
+
…
+a
＝
0;
2
3
n
<
/p>
当
a
＝
1
时，
a+a
+a
+<
/p>
…
+a
＝
n;
1
a
n
当
a
1
时，
a+a
+a
+<
/p>
…
+a
＝
. <
/p>
1
a
2
3
n
[
例
4]
设
a
,
b
,
c
,
< br>d
均为非零实数，
a
2
b
2
d
2
2
b
< br>
a
c
d
b
2
c
2
0
，
求证：
a
,
b
,
c
成等比数列且公比为
d
。
证明：
证法一
：关于
d
的二次方程
a
2
b
2
< br>d
2
2
b
a
c
d
b
2
c
2
0
有实根，
∴
<
/p>
4
b
2
a
c
4
a
2
b
2
(
b
2
c
2
)
0
，∴
b
2
ac
2
2
2
2
0
则必有：
b
ac
0
，即
b
ac
，∴非零实数
a
,
b
< br>,
c
成等比数列
设公比为
q
，则
b
aq
，
c
aq
2
代入
a
2
a
2<
/p>
q
2
d
2
2
aq
a
aq
2
d
a
2
q
2
a
2
q
4
0
∵
q
2<
/p>
1
a
2
0
，即
d
2
2
qd
q
2
0
，即
d
< br>q
0
。
证法二：
∵
a
b
d
2
b
a
<
/p>
c
d
b
c
0
2
2
2
2
2
< br>∴
a
d
2
abd
b
2
2
2
2
b
d
2
2
2
bcd
c
2
0
∴
ad
b
bd
c
0<
/p>
，∴
ad
b<
/p>
，且
bd
c<
/p>
2
∵
a
,
b
,
c
,
d
非零，
∴
b
c
<
/p>
d
。
a
b
[
例
5]
在等比数列
b
n<
/p>
中，
b
4
3
，求该数列前
7
项之积。
解：
b
1
b
2
b
3
b
4
b
5
b
6
b
7
b
1
b
7
b
2
b
6
b
3
< br>b
5
b
4
∵
b
4
b
1
b
7
b
2
b
6
b
3
b
5
< br>，∴前七项之积
3
2
[
例
6]
求数列
{
n
2
3
3
3
7
2187
1
}
前
n
项和
< br>n
2
1
1
1
1
解：
S
n
1
2
3
n
n
①
2
4
8
2
1
1
1
1
1
1
S
n
1
< br>
2
3
(
n
1
)
n
n
n
1
②
2
4
8
16
2
2