等差数列求和公式word版本
-
等
差
数
列
求
和
式
公
等差数列求和公式
等差数列前
n
项和公式
S
n
(
a
1
a
n
)
n
n
(
n
1
)
< br>
na
1
d
,
是数列部分最重要公
2
2
式之一
,
学习公式
并灵活运用公式可分如下四个层次
:
1.
直接套用公式
< br>从公式
S
n
< br>(
a
1
a
n
)
n
(
a
m
a
n
m
1
)
n
n
(
n
1
< br>)
na
1
d
中
,
我们可以看到公
2
2
2
式中出现了五个量
,
包括<
/p>
a
1
,
d
,
a
n
,
n
,
S
n
,
这些量中已知三个就可以求另外两个了
.
从基本量的观点认识公式、理解公式、掌握公式这是最低层次要求
.
例
1
设等
差数列
a
n
的公差为
d,
如果它的前
n
项和
S
n
n
2
< br>,
那么
( ).
(A)<
/p>
a
n
2
n
1
,
d
2
(B)
a
n
2
n
1
,
d
2
(C)
a
n
2
< br>n
1
,
d
2
(D)
a
n
2
n
1<
/p>
,
d
2
解法
1
由于
S
n
n
2
且
a
n
S
< br>n
S
n
1
知
,
a
n
n
2
(
n
1
)
2
2
n
< br>
1
,
d
a
n
a
n
1
2
n
1
[
2
(
n
< br>
1
)
1
],
d
2
,
选
(C
).
解法
2
S
n
na
1
n
(
n
1
)
d
n
2
,
对照系数易知
d<
/p>
2
,
2
此时由
na
1
n
(
n
1
)
n
2
< br>知
a
1
1
,
故
a
n
2
n
1
,
选
(C).
1
1
例
2
设
S
n
是等差数列
a
n
的前
n
项和
,
已知
S
3<
/p>
与
S
4
的等比中
项为
3
4
1
1
1
S
5
,
S
3
与
S
4
的等差中项为
1,
求
等差数列
a
n
的通项
a
n
.
5
3
4
n
(
n
1<
/p>
)
解
设
a
n
的通项为
a
n
a
1
(
n
1
< br>)
d
,
前
n
项和为
S
n
na
1
d
.
2
1<
/p>
1
1
2
S
S
(
S
)
3
4
5
4
5
由题意知
3
< br>,
1
1
S
3
S
4
2
4
3
3
2
1
4
3
1
5
<
/p>
4
2
1
(
3
a
d
)
(
4
a
d
)
(
5
a
d
)
1<
/p>
1
3
1
2
4
2
25
2
即
1
3
2
< br>1
4
3
(
3
a
1
d
)
(
4
a
1
d
)
2
2
4
2
3
12
< br>
3
a
1
d
5
d
2
0
d
0
d
,
解得
化简可得
或
5
5
2
a
< br>d
2
a
1
1
1
a
1
4
2
由此可知
a
n
1
或
a
n
4
(
n
1
)(
12
32
12
)
n
.
5
5
5
经检验均适合题意
,
故所求等差数列的通项为
a
n
1
或
a
n
2.
逆向
活用公式
32
12
< br>
n
.
5
5
在公式的学习中
,
不仅要从正向认识公式
,
而且要善于从反向分析弄清
公式
的本来面目
.
重视逆向地认识公式
,
逆向运用公式
,
无疑将大大地提高公式的解题
功效
,
体现了思维的灵活性
.
例
3
设<
/p>
n
N
,
求证
:
证明
n
(
n
1
)
n
(
n
3
< br>)
1
2
2
3
n
(
n
1
)
.
2
2
n
(
< br>n
1
)
1
2
3
n
,
2
又
1
1
2
,
2
< br>
2
3
,
,
n
n
(
n
1
)
,
n
(
n
1
)
< br>1
2
2
3
n
(
n
1
)
.
2
n
(
n
3
)
< br>又
2
3
4
(
n
1
),
2
且
1
2
2
,
2
3
3
,
3
4
4
,
<
/p>
,
n
(
n
1
)
n
1
,
1
2
2
3
n<
/p>
(
n
1
)
n
(
n
3
)
.
2
(
a
1
a
n
)
n
,
求证
:
a
n<
/p>
是等差
2
例<
/p>
4
数列
a<
/p>
n
对于任意自然数
n
均满足
S
n
数列
.
证明
欲证
a
n
1
<
/p>
a
n
为常数
,
由
S
n
(
a
1
a
n
)
n
(
a
a
< br>n
1
)(
n
1
)
及
S
n
1<
/p>
1
可得
2
2
na
n
a
1
(
n
1
)
a
n
1
推出
(
n
1
)
a
n
1
a
1
na
n
2
,
作差可得
2
na
n
1
na
n
na
n
2
,
因此
a
n
2
< br>
a
n
1
a
n
1
a
n
.
由递推性可知
:
a
< br>n
2
a
n
1
a
n
1
a
n
a
2
a
1
< br>d
(
d
为常数
< br>),
所以命题
得证
.