等差数列及其前n项和
-
6.2
等差数列及
其前
n
项和
考纲解读
预测热
考点
内容解读
要求
高考示例
常考题型
度
2016
课标全国
1.
理解等差数列的概念
1.
等
差数列的定义及
通项公式
3.
了解等差数列与一次函数的关系
Ⅱ
2015
北京
,16
Ⅱ,17
2.
掌握等差数列的通项公式
2016
浙江
,8
2015
陕西
,13
< br>
2.
等差数列的性质
能利用等差数列的性质解决相应的问题
2014
重庆
,2
2013
辽宁
,4
2017
浙江
,6
<
/p>
3.
等差数列的前
n
项
和公式
2015
安徽
,13
掌握等差数列
的前
n
项和公式
Ⅲ
2015
课标
Ⅰ,7
2014
课标
Ⅱ,5
分析解读
选择题、
填空题、
解答题
★★
★
[]
等差数列是高考考查的重点内容
,
主要
考查等差数列的定义、性质、通项公式、前
n
项和公式、等差中
项等相
关内容
.
本节内容在高考中分值
为
5
分左右
,
属于中低档题
.
五年高考
考点一
等差数列的定义及通项公式
1.(2
016
浙江
,8,5
分
)
如图
,
点列
{A
n
},{B
n
}
分别在某锐角的两边上
,
且
|A
n
A
n1
|=|A
n1
A
< br>n2
|,A
n
≠
A
n2
,n
∈
N
*
,
|B
n
B
n1
|=|B
n1
B
n2
|,B
n
≠
B
n2
,n
∈
N
*
.(P
≠
Q
表示点
P
与
Q
不重合
)
若
d
n
=|A
n
B
n
|,S
n
为△
A
n
B
n
B
n1
的面积
,
则
(
)
A.{
S
n
}
是等差数列
C.{d
n
}
< br>是等差数列
答案
A
2.(
2014
辽宁
,9,5
分
)
设等差数列
{a
n
}
的公差为
d.
若数
列
{
A.d>0
答案
D
3.(2016
课标全国Ⅱ,17,
12
分
)
等差数列
{a
n
}
中
,a
3
a
4
=4,a
5
a
7
=6.
(1)
求
< br>{a
n
}
的通项公式
(2)
设
b
n
=[a
n
],
求数列
{b
n
}
的前
10
项和
,
其中
[x]
表示不超过
x
的最大整数
,
如
[0.9]=0,[2.6]=2.
解析
(1)
设数列
{a
n
}
的公差为
d,
由题意有
2a
1
5d=4,a
1
5d
=3.
解得
a
1
=1,d=
.(3
分
)
所以
{a
n
}
的通项公式为
a
n
=
(2)
由
(1)
知
,b
n
=
当
n=1,2,3
时
,1
≤
当
n=4,5
时
,2<
当
n=6,7,8
时
,3
≤
当
n=9,10
时
,4<
.(6
分
)
<2,b
n
=1
<3,b
n
=2
<4,b
n
=3
<5,b
n
=4.
(10
分
)
.(5
分
)
B.d<0
C.a
< br>1
d>0
}
< br>为递减数列
,
则
(
)
< br>D.a
1
d<0
B.{
}
是等差数列
D.{
< br>}
是等差数列
所以数列
{b
n
}
的前
10
项和为
1×32×23×34×2=24
.(12
分
)
4.(2015
北京
,16,13
分
)
已知等差数列
{a
< br>n
}
满足
a
1
a
2
=10,a
4
a
3
=2.
(1)
求
{a
n
}
的通项公式
(2)
设等比数列
{b
n
}
满足
b
2
=a
3
,b
3
=a
7
.
问<
/p>
:b
6
与数列
{
a
n
}
的第几项相等
< br>?
解析
(1)
设等差数列
{a
n
}
< br>的公差为
d.
因为
a
4
a
3
=2,
所以
d=2.
又因为
a
1
a
2
=10,
所以
2a
1
d=10,
故
a
1
=4.
所以
a
n
=42(n1)=2n2(
n=1,2,
…
).
(2)
设等比数列
{b
n
}
的公比为
q.
因为
b
2
=a
3
=8,b
3
=a
7
=16,
所以
q=2,b
1
=4.
所以
b
6
=4×2
61
=128.
由
128=2n2
得
< br>n=63.
所以
b
6
与数列
{a
n
}
的第
63
项相等
.
5.(2014
浙江
,19,14
分
)
已知等差数列
{a
n
}
的公差
d>0.
设
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
,a
1
=1,S
2
·
S
3
=36.
< br>
(1)
求
d
< br>及
S
n
(2)
求
m,k(m,k
∈
N
*
)
的值
,
使得
a
m
a
m1
a
m2
…
a
mk
=65.
解析
(1)
由题意知
(2a
1
d
)(3a
1
3d)=36,
将
a
1
=1
代入上式解得
d=2
或
d
=5.
因为
d>0,
所以
d=2.
从而
a
n
=2n1,S
n
=n
2
(n
∈
N<
/p>
*
).
(2)
由
(1)
得
a
m
a
m1
a<
/p>
m2
…
a
mk<
/p>
=(2mk1)(k1),
所以
(2mk1)(k1)=65.
由
m,k
∈
N
*
知
2mk1
≥
k1>1,
故
所以
< br>
教师用书专用
(6
—
9)
6.(2013
安徽
,7,5
分
)
设
S
n
为等差数列
{a
n
< br>}
的前
n
项和
< br>,S
8
=4a
3
,a
7
=2,
则
a
9
=(
)
A.6
B.4
C.2
D.2
答案
A
7.(2014
陕
< br>西
,14,5
分
)
已
知
f(x)=
为
.
答案
<
/p>
f
2014
(x)=
,x
≥
0,
若
f
1
(x)=f(x),f
n1
(x)=f(f
n
(x)),n
∈
N
,
则
f
2014
(x)
的
表
达
式
8.(2013
课标全国Ⅰ,17,12
分
)
已知等差数列
{a
n
}
的前
n
项
和
S
n
满足
S
3
=0,S
5
=5.
(1)
求
{a
n
}
的通项公式
(2)
求数列
的前
n
项和
.
d.
解析
(1)
设
{a
n
}
的公差为
d,
则
S
n
=na
1
由已知可得
故
{a
n
}
的通项公式为
a
n
=2n.
(2)
由
(1)
知
从
而数列
（
…
=
解得
a
1
=1,d=1.
=
,
的前
n
项和为
）
=
.
9.(2013
江西
,17,12
分
)
在△
ABC
中
,
角
A,B,C<
/p>
的对边分别为
a,b,c,
已知
sinAsinBsinBsinCcos2B=1.
(1)
求证
:a,b,c
成等
差数列
(2)
若
C=
,
求
的值
.
考点二
等差数列的性质
1.(2014
重庆
,2,5
分
)
在等差数列
{a
n
}
中
,a
1
=2,a
3
a
5
=10,
则
a
7
< br>=(
)
A.5
答案
B
B.8
C.10
D.14
2.(2013
辽宁
,4,5
分
)
下面是关于公差
d>0
的等差数列
{a
n
}
的四个命题
:
p
1
:
数列
{a
n
}
是递增数列
p
2
:
数列
{na
n
}
是递增数
列
p
3
:<
/p>
数列
是递增数列
p
4
:
数列
{a
n
3nd}
是递增数列
.
其中的真命题为
(
)
A.p
1
,p
2
<
/p>
C.p
2
,p
3
答案
D
3.(
2015
陕西
,13,5
分
)
中位数为
1010
的一
组数构成等差数列
,
其末项为
2015
,
则该数列的首项为
.
答案
5
<
/p>
B.p
3
,p
4
D.p
1
,
p
4
考点三
等差数列的前
n
项和公式
1.(2017
浙江
,6
,5
分
)
已知等差数列
{a
n
}
的公差为
d,
前
n
项和为
S
n
,
则“
d>0
”是“
S
4
S
6
>2S
5
”的
(
)
A.
充分不必要条件
C.
充分必要条件
答案
C
2.(2015
课标Ⅰ,7,5
分
)
已知
{a
n
}
是公差为
1<
/p>
的等差数列
,S
n
为
{a
n
}
的前
n
项和
.
若
S
8
=4S
4
,
则
a
10
=(
)
A.
答案
B
3.(2014
课标Ⅱ,5,5
分
)
等差数列
{a
n
}
的公差为
2,
若
a
2
,
a
4
,a
8
成
等比数列
,
则
{a
n
}
的前
n
项和
S
n
=(
)
A.n(n1)
C.
B.n(n1)
D.
B.
C.10
D.12
B.
必要不充分条件
D.
既不充分也不必要条件
答案
A
4.(2015
安徽
,13,5
分
)
已知数列
{a
n
}
中
,a
1
=1,a
n<
/p>
=a
n1
(n
≥
2),
则数列
{a
n
}
的前
9
项和等于
.
答案
27
5.(2015
福建
,17,12
分
)
等差数列
{a
n
}
中
,a<
/p>
2
=4,a
4
a
7
=15.
(1)
求数列
{a
n
}
的通项公式
(2)
设
b
n
=
n,
求
< br>b
1
b
2
b
3
…
b
1
0
的值
.
解析
(1)
设等差数列
{a
n
}
< br>的公差为
d.
由已知得
解得
所以
a
n
=a
1
(n
1)d=n2.
(2)
由
(1)
可得
b
n
=2
n
n.
所以
b
1
b
2
b
3
…
b
10
=(21)(2)(
2
3
3)
…
(
2
10
10)
=(
3
…
2
10
)(123
…
10)
=
=(2
11
2)55=2
11
53
=2101.
教师用书专用
(6
—
9)
6.(2014
天津
,5,5
分
)
设
{a
< br>n
}
是首项为
a
1
,
公差为
1
的等差数列
,S
n
为其前
n
项和
.
若
S
1
,S
2
,S
4
成等比数列
,<
/p>
则
a
1
=(
)
A.2
答案
D
7.(
2014
江西
,13,5
分
)
在等差数列
{a
n
}
中
,a
1
=7,
公差为
d,
前
n
项和为
S
n
,
当且仅当
n=8
时
S
n
取得最大值
,
则
d
的
取值范围为
.
答案
B.2
C.
D.
8.(2014
重庆
,16,13
分
)
已知
{a
n
}
是首项为
1,
公差为
2
的等差数列
,S
n
< br>表示
{a
n
}
< br>的前
n
项和
.
< br>
(1)
求
a
< br>n
及
S
n
(2)
设
{b
n
}
是首项为
2
的等比数列
,
公比
q
满足
q
2
(a
4
1)qS
4
=0.
求
{b
n
}
的通项公式及其前
n
项和
T
n
.
解析
(
1)
因为
{a
n
}
是首项
a
1
=1,
公差
d=2
的等差数列
,
所以
a
n
=a
1
(n1)d=2n1.
< br>
故
S
n
=13
…
(2n1)=
=
=n
2
.
(2)
由
(1)
得
a
4
=7,S
4
=16.
因为
q
2<
/p>
(a
4
1)qS
4
=0,
即
q
2
8q16=0,
所以
(q4)
2
=0,
从而
q=4
.
又因为
b
1
=2,{b
n
}
是公比
q=4
的等比数列
,
所以
b
n
=b
1
q
n1
=2×4
n1
=
n1<
/p>
.
从而
{b<
/p>
n
}
的前
n
项和
T
n
=
=
(4
n
1).
9.(2013
浙江
,19,14
分
)
在公差为
d
的等差数列
{a
n
}
中
,
已知<
/p>
a
1
=10,
且
a
1
,2a,5a
3
成等比数列
.
(1)
求
d,a
n
(2)
若
d<0,
求
|a
1
||a<
/p>
2
||a
3
|<
/p>
…
|a
n
|.<
/p>
解析
(1)
由题意得
5a
3
·
a
1
=(2a)
< br>2
,
即
d
2
3d4=0.
故
d=1
或
d=4.
所以
a
n
=n11,n
∈
N
*
或
a
n
=4n6,n
∈
N
*
.
(2
)
设数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
.
因为
d<0,
由
(1)
得
d=1,a
n
=n11,
所以
当
n
≤
11
时
,
|a
1<
/p>
||a
2
||a
3
|
…
|a
n
|=S
n
=
n
2
n.
当<
/p>
n
≥
12
时
,|a
1
||a
2
||a
3
|
…
|a
n
|=S
n
2S
11
=
n
2
n110.
综上所述
,|a
1
||a
2
||a
3
|
…
|a
n
|
=
三年模拟
A
组
201
6
—
2018
年模拟
< br>·
基础题组
考点一
等差数列的定义及通项公式
1.(2
018
河南开封定位考试
,5)
等差数
列
{a
n
}
的
前
n
项和为
S
n
,
且
a
1<
/p>
a
5
=10,S
4
=16,
则数列
{a
n
}
的公差为
(
A.1
B.2
C.3
D.4
答案
B
)