等差数列和等比数列方法归纳
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等差数列和等比数列
定义
通项公式
等差数列
等比数列
等差（比）
中项
前
n
项和
性质
判定方法
1
等差数列的性质的运用
性质
1
；
在等差数列
a
n
中，对任意的
m
,
n<
/p>
N
*
,
有
a
n
a
m
(
n
m
)
d
,
d
性
质
2
：
在<
/p>
等
差
数
列
a
n
中
，
若
m
n
p
,
q
则
m
a
n
a<
/p>
m
n
m
,
特
a
n
a
p
a
q
a
别
地
，
m
n
2<
/p>
p
,
则
m
a
n
a
2
p
a
性质
3
：
< br>数列
a
n
是公差为
d
的等差数列，则
S
m
,
S
2
m
S
m
,
S
3
< br>m
S
2
m
,...
仍是等差数列，且
公差为
m
d
性质<
/p>
4
：
在等差数列
a
n
中，
当项数为偶数
2n
时，
S
偶
S
奇
< br>
nd
，
2
S
奇
a
n
（中间两
S
偶
a
n
1
项
之比）
；当项为奇数时，
S
偶
S
奇
a
n
（中间项）
，
数之比）
1
、
在等差
数列
a
n
中，已知
a
6
4,
a
13
18,
求
a
21
S
奇
n
（奇数项项数与偶数项项
S
偶
n
1
2
、
< br>
（
1
）已知等差数列
{
a
n
}
中，若
a
3
a
4
a
< br>5
a
6
a
7
4
50,
则
a
2
a
8
（
2
）已知
等差数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，若
a
2
a
5
a
8
12,
则
S
9
3
、一个等差数列的前
n
项和为
S
n
，
S
10
10
，
S
30
70
，求
S
40
4
、已知等差数列
< br>{
a
n
}
的项数是奇数，
a
1
1
，奇数项之和是
175
，
偶数项之和是
150
，求公
差
d
2
等差数列的判定方法
1
、定义法
数列
a
n
中，
a
n
<
/p>
1
a
n
d
（常数）
a
n
是等差数列
2
、等差中项法
数列
a
n
中，
2
a
n
1
a<
/p>
n
a
n
2
a
n
是等差数列
3
、通项公式法
数列
a
n<
/p>
中，
a
n
kn
b
（关于
n
的一次式）
a
n
<
/p>
是等差数列
4
、前
n
项和公式法
< br>数列
a
n
中，
S
n
An
2
Bn
（关于
n
的二次式，无常数项）<
/p>
a
n
是等差数列
1<
/p>
、已知数列
a
n
中，
a
1
1
，且
a<
/p>
n
2
a
n
1
2
n
，证明：数列
2
、已知
数列的前
n
项和为
S
< br>n
n
2
9
n
，其中
5
a
k
8,
求
k
a
n
是等差数列，并求
a
n
n
2
等差数列前
n
项和最值的求法
1
、
通项法——根据数列的增减性
（
1
）当
a
1
0,
d
0
时，数列的前
m
项为
非负数，
m+1
项为负，则
S
n
的最大值为
S
m
（
1
）当
a
1
0,
d
0
时，数列的前<
/p>
m
项为非正数，
m+1
< br>项为正，则
S
n
的最小值为
S
m
2
、二次函数法
由于
S
n
An
Bn
是关于
< br>n
的二次式，可利用配方法来求
S
n
的最值，注意
n
N
已知等差数列
{
a
n
}
中，
a
1
25
，
S
7
< br>S
9
，求前
n
< br>项和的最大值（用不同方法）
3
2
*
等比数列的性质
性质
1
；
在等比数列
a
n
中，对任意的
m
,
n
N
*
,
有
a
n
a
< br>m
q
(
n
m
)
,
性
质
2
：
在
等
比
数
列
a
n
中
，
若
< br>m
n
p
,
则
q
m
a
n
a
p
a
,
q
特
a
别
地
，
< br>m
n
2
p
,
则
a
m
a
n
a
p
2
性质
3
：
数列
a
n
是等比数列，则
S
m
,
S
2
m
S
m
,
S
3
m
< br>S
2
m
,...
仍是等比数列，且公比为
q
m
性质
4
：<
/p>
在等比数列
a
n
中，当项数为偶数
2n
时，
S
偶
:
S
奇
q
< br>；
1
、
在等比
数列
a
n
中，已知
a
12
9,
a
36
72,
求
a
68
2
、
在等比
数列
a
n
中，已知
a
n
0,
a
2
a
4
2
a
3
a
5
a
4
a
6
25,
求
a
3
a
5
< br>
等比数列的判定方法
1
、定义法
数列
a
n
中，
a
n
<
/p>
1
:
a
n
q
（常数）
a
n
是等比数列
2
、等比中项法
数列
a
n
中，
a
n
1
2
a<
/p>
n
a
n
2
a
n
是等比数列
3
、通项公式法
数列
a
n
中，
a
n
cq
n
1
a
n
是等比数列
4
、前
n
项和公式法
数列
a
n
中，
S
n
Aq
n
A
（注意
A-A=0
< br>）
a
n
是等比数列
1
、
数列<
/p>
a
n
中，
a
1
1
，且
a
n
2
a
n
1
3
0(
n
2)
，
证明：数列
a
n
1
是等比数列，并求
a
n
4