等差数列前n项和的公式推导
-
等差数列的前
n
项和
一．教学目标：
知识与技能目标：
1.
掌握等差数列前
n
项和公式；
2.
掌握等差数列前
n
项和公式的推导过程
;
3.
会简单运用等差数列前
n
项和公式
< br>.
过程与方法目标：
1.<
/p>
通过对等差数列前
n
项和公式的推导
,
体会倒序相加求和的思想方法；
2.
通过公式的运用体会方程的思想
.
情感态度与价值观目标：
进入
21
世纪之后，
数学文化的研究更
加深入。
结合文学作品
,
将教材知识和
诗
歌联系起来
,
使学生在学习数学过程中真正受到文化感染，
产生文化共鸣，
体察社
会文化和数学文化之间的互动，
提升学生数学抽象和数
学建模的核心素养，
使学生
感受到数学的文化品位；在公式的推
导过程中，体验特殊到一般，又到特殊的认识
事物的规律，提高学生的逻辑推理和数学运
算的核心素养，体会方程的思想方法
.
在公式的记忆过程中，借
助于几何图形，展现了数学的统一美，提高学生直观想象
的核心素养，培养学生勇于创新
的科学精神
.
二．教学重点难点：
教学重点：理解并掌握等差数列前
n
项
和
S
n
公式的推导；会简单应用求和公
式
.
教学难点：倒序相加的思想方法推导等差数列前
n
项和公式思路的获得
.
三．教学策略及设计
本课在设计
上采用了由特殊到一般、
从具体到抽象的教学策略．
利用数形结
合、
类比归纳的思想，层层深入，引导学生自主探究，分析、整理出推导公式的思路，<
/p>
同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解记忆公式，师生互动、讲练结合，从
而突出重点、突破教学难点
.
四
.
教法、学法
本课采用“探究——发现”教学模式
.
教师的教法突出活动的组织设计与方法的引导
.
学生的学法突
出探究、
发现与交流
.
五
.
教学过程
教学过程设计为六个教学环节：
1
(
一
)
创设情境，提出问题
课前，分发印有宝塔诗《花》的卡片
.
教师：我们常中的校园繁花似锦，不禁让我想起唐代张南史的一首诗《花》
：
问题
1
：
（播放媒体资料宝塔诗：花）
花
（唐）
张南史
花
花
深浅
芬葩
凝为雪
错为霞
莺和蝶到
苑占宫遮
已迷金谷路
频驻玉人车
芳草欲陵芳树
东家半落西家
愿得春风相伴去
一攀一折向天涯
【设计意图】
通过宝塔诗，
这种非常奇
特的诗体的外表形式，让学生感受到用数学
的思想、方法来度量诗歌的写作形式，别有一
番风味，努力使学生在学习数学过程
中真正受到文化感染，产生文化共鸣，体会数学的文
化品位。用数学的观点观察现
实，通过理性思维，追求创新精神，欣赏数学之美。让学生
体会到数学与文学是相
通的，在文学作品中进一步提升学生的数学建模意识
.
教师：从数学的角度，这首诗有什么特点？
教师追问：能提出一个数学问题吗？
（文学中写诗歌、写作文都是有字数要求的）
问题
1
：
这首诗的内容一共有多少个字？
即
:
S
2
4
6
8
10
12
14
2
1
2
3
4
5
6
<
/p>
7
?
教师：根据诗中文字的对称性，我们也可以取其一半来研究
.
怎样快速求出结果？
教师追问：你是怎么想到的？
从而引
出
S
1
<
/p>
2
3
100
?
著名数学家高斯小时候就会算，
闻名于世，
那么小高斯是如何快速地得出了答案的
呢？请同学们思考高斯方
法的特点，适合类型和方法本质
.
学生活动
1
：
（高斯用的是偶数个相加时首尾等距离配对，
变不同数的加法运
算为相同数的加法
运算，变加法为乘法，大大提高效率
.
）
特点：
首项与末项的和：
1
100
101
，
第
2
项与倒数第
2
项的和：
2
99
101
，
第
50
项与倒数第
50
项的和：
50
51
101
，
于是所求的和是：
101
50
5050
1
2
3
100
101
50
5050
教师：还有其他办法吗？
预设：学生会用下发的卡片，进行实验操作，从图形倒置拼补上解决问题
.
2
(
二
)
合作探究，寻求策略
教师：到了网络
时代，不再过分讲究平仄，宝塔诗的句数不受
限制，你还能提出什么问题？
问题
2
：第
1
行到第
n
行一共有多少个
字？
在过程中让学生发现当项数为奇数时，首尾配对出现了问题，
需要将中间项或或第一项或最后一项“落单”，再进行配对
.<
/p>
也可以添上一项
预设：有的学生在小学
奥数课上学过等差数列求和，会模仿记
忆公式
.
教师：你能说说公式是怎么来的？我们要知其然，更要知其所以然！如何来操
作？
学生活动
2
：对项数分奇偶讨论
.
方法一：对项数分奇数、偶数讨论
，认清当项数为奇数时，通过“落单”中间一项
或最后一项，转化化归成了项数为偶数来
研究
.
n
(
n
1)
学生计算后发现无论项数是奇
数还是偶数，结果都是
S
.
2
可见，
结果与项数的奇偶无关，
启发学生去寻找一个对项数为奇数偶数都通用的方
法
.
n
(
n
1)
此
外
也
可
以
根
据
学
生
的
反
应
情
况
，
引
导
学
生
< br>将
结
果
S
书
写
成
2
2
S
n
(
n
1)
，为后面列方程组，利用加减消元法构造相同项做铺垫
.
方法二：倒序相加法避免了分类讨论
.
在原式的基
础上，再加一遍
1
2
3
n
，
项数变成了
2
n
个，让学生意识到实质还是把项数转化化归成了偶数个后，将
2
n
个
数重新分组配对求和<
/p>
.
倒序求和的本质还是配对，只是换了一种表达形式，避开了
对项数奇偶讨论，
S
1
2
3
<
/p>
n
S
n
(
n
1)
(
n
2)
1
n
(
n
1)
2
通过思考，避免了对项数的奇偶性进行讨论
.
通过动画演示引导帮助学生思考解决问题的办法，
为引
出倒序相加法做铺垫
.
教师：刚才从数式相加的角度，我们能从形的角度来理解吗？
动画演示：
把“全等三角形”倒置，与原图构成平行四边形
.
平行四边形中的
每行
n
1
个，一共
< br>n
行
.
【设计意图】
通过活动
1
中的方法一，使学生对数列中常见的奇偶讨论，有了一次
< br>从而
S
1
2
3
n
很好
的体验；有了两种方法的比较，突出倒序相加法避免了分类讨论
.
教师追问：能将问题更具一般化吗？开头不一定从
1
开始，可以从……？
3
<
/p>
问题
3
：第
5<
/p>
行到第
n
行一共有多少个字？
教师继续追问：我们能继续从形的角度来理解
吗？
动画演示：
把“全等梯形”倒置，与原图构成平行四边形
.
平行四
边形中的每层字的个数均为
n
5
个，共
n
4
行
.
【设计意图
】通过特殊到一般，
一般，再一般的研究方式，
教会学生如何去
对待新
问题
.
1.
< br>在教师追问中，
首项数据从
1
改
变成
5
，
学生发现倒序相加方法避免了
分类讨论，
不过在使用倒序相加法的过程中，
需要正确地计算出
项数，
这也是学生在以后数列
求和中容易出错的地方
.
2.
学生活动
2
与教师追问中的动画演示，
借助了几何图形的直观性，
帮助学生直观
感知到任意项数的等差数列求和都可用倒序相加法，
从而避免了对项数
n
的奇偶性
进行讨论，进一步强化倒序相加法的理解和运用，为一般的等差数列求和打基础
.
3.
在教师追问中，通过改变首项的数据，使图形变成更具一般
性的梯形，为后面类
比梯形的面积公式，
加强对求和公式的记忆
奠定了基础；
体现了由特殊到一般的研
究规律，培养了学生的类
比迁移能力
.
(
三
)
深入研究，推导公式
教师继续追问：能将问题进一步地再一般化吗？
预设：学生顺势提出等差数列求和
.
问题
4
：一般地，如何求等差数列
<
/p>
a
n
的前
n
项和
S
n
？
设等差数列
<
/p>
a
n
的首项为
a
1
，公差为
d
，
教师：
S
n
是什么？猜一猜，
S
n
化简的最终结果会和那些量有关呢？
学生：应该和
a
1
,
d
,
n
,
a
n
这几个基本量有关
.
学生活动
3
：大家依据前面积累的经验，发挥智慧，独立思考，推导
S
n
的表达式，
再分组讨论，进行交流展示
.
【设计意图】
学生在前面的探究的基础上，通过倒序后再
相加，利用方程的思想，
推导出一般等差数列的前
n
项和公式，从而完成本节课的中心任务
.
在这个过
程中
大胆放手让学生自主推导，同时也复习等差数列的通项公式和基本性质
.
数列的前
n
项和定义<
/p>
对于数列
a
n
，我们称
a
1
a
2<
/p>
a
3
a
n
为数列
a
n
的前
n
项和，用
S
n
表示，
4