等差数列前n项和的综合应用
-
第
2
课时
等差数列前
n
项和的综合应用
1
．掌握
a
n
与
S
n
的关系并会应用．
(
难点
)
2
．掌握等差数列前
n
项和的性质及应用．
(
重点
)
3
．会求等差数列前
n
项和的最值．
(
重点、易错点
)
[
基础
·
初探
]
教材整理
等差数列前
n
项和的性质
阅读教材
P
44
例
3
～
P
45
，完成下列
问题．
1
．
S
n
与
a
n<
/p>
的关系
S<
/p>
1
，
n
＝
1
a
n
＝
S
n
－
S
n
－
1
.
n
≥
2<
/p>
2
．
等差数列
前
n
项和的性质
(1)
等差数列
{
a
n
}
中，
其前
n
项和为
S
n
，
则
{
a
< br>n
}
中连续的
n
项和构成的数列
S
n
，
S
2
n
－
S
n
，
S
3
n
－
S
2
n
，
S
4
n
－
S
3<
/p>
n
，„构成等差数列．
(2)
数列
{
a
n
}
是等差数列
⇔
S
n
＝
an
2
＋
bn
(
a
，
b
为常数
)
．
3
< br>．
等差数列前
n
项和
S
n
的最值
(1)
若
a
1
<0
，
d
>0
，则数列的前面若干项为负数项
(
或
0)
，所以将这些项相加
即得
{
S
n
}
的
最小值．
(2)
若
< br>a
1
>0
，
d
<0
，则数列的前面若干项为正数项
(
或
0)
，所以将这些项相加
即得
{
S
n
}
的最大值．
特别
地，若
a
1
>0
，
d
>0
，则
S
1
是
{
S
n
}
的最小值；若
a
1
<0
，
d
<0
，则
S
1
是
{
S
n
}
的最大值．
1
．下列说法中正确的有
________(
填序号
)
．
1
(1)
若
S
n
为等差数列
{
a
n
}
的前
n
S
n
项和，则数列
n
< br>
也是等差数列．
(2)
在等差数列
{
a
n
}
中，当
项数
m
为偶数
2
n
时，则
S
偶
－
S
奇
＝
a
n
＋
1
. <
/p>
(3)
若
a
1<
/p>
>0
，
d
<0<
/p>
，则等差数列中所有正项之和最大．
(
4)
在等差数列中，
S
n
是其前
n
项和，则有
S
2
n
－
1
＝
(2
n
－
1)
a
n
.
S
n
d
1
【解析】
(1)
正确．因为
由等差数列前
n
项和公式知
n
＝
2
n
＋
a
1
－
2
< br>d
，所以
S
n
< br>数列
n
为等差数列．
(2)
错误．当项数
m
为偶数
2
n
时，则
S
偶
－
S
奇
＝
nd
.
(3)
正确．由实数的运算可知该说法正确．
a
1
＋
a
2
n
－
1
2
n
－
1
(4)
正
确．因为
S
2
n
－
1
＝
2
＝
2
n
－
1
2
[
a
n
＋
(1
－
n
)
d
＋
a
n
＋
(
n
－
1)
d
]
＝
(2
n
－
1)
a
n
.
【答案】
(1)(3)(4)
2
．一个有
11
项的等差数列，奇数项之和为
30
，则它的中间项为
________.
【解析】
由条件知
a
1
＋
a
3
＋
a
5
＋
a
7
＋
a
9
＋
a
11
＝
30
，
又∵
a
1
＋
a
11
＝<
/p>
a
3
＋
a
9
＝
a
5
＋
a
7
，∴
a
5
＋
a
< br>7
＝
2
a
6
＝
10
，
∴中间项
a
6
＝
5.
【答案】
5
3
．等差数列
{
a
n
}
中，
S
2
＝
4
，
S
4
＝
9
，则
S
6
＝
________.
【解析】
由
S
2
，
S
4<
/p>
－
S
2
，
S
6
－
S
4
成等差数列，
∴
4
＋
(
S
6
－
9)
＝
2
×
5
，∴
S
6
＝
15.
【答案】
15
4.
已知数列
{
a
n
}
的通项公式是
a
n
＝
2
n
－
48
，则
S
n
取得最小值时，
n
为
________
．
【解析】
由
a
n
≤
0<
/p>
得，
2
n
－
48
≤
0
，
n
≤
24
，
2
∴当
n
＝
23
或
24
时，
S
n
最小．
【答案】
23
或
24
[
小组合作型
]
由数列的前
n
项和
S
n
求
a
n
1
<
/p>
已知数列
{
a
n
}
的前
n
项和
为
S
n
＝
n<
/p>
2
＋
2
n
，
求这个数列的通项公式．
这
个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？
【精彩点拨】
【自主解答】
根据
< br>S
n
＝
a
1
＋
a
2
＋
„
＋
a
n
－
1
＋
a
n
与
S
n
－
1
＝
a
< br>1
＋
a
2
＋
„
＋
a
n
－
1
(
n
>1)
，
1
1
1
可知，当
n<
/p>
>1
时，
a
n<
/p>
＝
S
n
－
S
n
－
1
＝
n
2
＋
2
n
－
(
n
－
1)
2
＋
2
(
n
－
1)
＝
2
n<
/p>
－
2
，①
1
3
当
n
＝
1
时，
a
1
＝
S
1
＝
1
2
＋
2
×
1
＝
2
，
也满足①式．
1
∴数列
{
a
n
}
的通项公式为
a
n
＝
2
n
－
< br>2
.
3
由此可知：数列
{
a
n
}
是以
2
为首项，以
2
为公差的等差数列．
< br>1
．
已知前
n
< br>项和
S
n
求通项
a
n
，
先由
< br>n
＝
1
时，
a
1
＝
S
1
求得
a
1
，
再由
n
≥
2<
/p>
时，
a
n
＝
S
n
－
S
n
－
1
求
a
n
，最后验证
a
1
是否符合
a
n
，若符合则统一用一个解析式表示．
2
．
由数列的前
n
项
和
S
n
求
a<
/p>
n
的方法，
不仅适用于等差数列，
它也适用于其
他数列．
3
[
再练一题
]
1
．已知下面各数列
{
a
n
}
的前
n
项和
S
n
的公式，求
{
a
n
}
的通项公式．
(1)
S
n
＝
2
n
2
－
3
n
；
(2)
S
n
＝
3
n
－
2.
【解】
(1)
当
n
＝
1
时，
a
1
＝
S
1
＝
2
×
1
2
－
3
×
1
＝－
1
；
当
n
≥
2
时，<
/p>
S
n
－
1
＝
2(
n
－
1)
2
－
3(
n
－
1)
＝
2
n
2
－
7
n
＋
5
，
则
a
n
＝
S
n
－<
/p>
S
n
－
1
＝
(2
n
2
－
3
n
)
－
(2
n
2
－
7
n
＋
5)
＝
2
n
2
－
3
n
－
2
n
2
＋<
/p>
7
n
－
5
＝
4
n
－
5.
此时若
n
＝
1
，
a
n
＝
4
n
－
5
＝
4
×
< br>1
－
5
＝－
1
＝
a
1
，
故
a
n<
/p>
＝
4
n
－
5.
(2)
当
n<
/p>
＝
1
时，
a
1
＝
S
1
＝
3
1
－
2
＝
1
；
< br>
当
n
≥
2
时，
S
n
－
1
＝
3
n<
/p>
－
1
－
2
，
则
a
n
＝
S
n
－
S
n
－
1
＝
(3
n
－
2)
－
(3
n
－
1
－
2
)
＝
3
n
－<
/p>
3
n
－
1
＝
3·
3
n
－
1
－
3
n
－
1
< br>＝
2·
3
n
－
1
.
此时若
< br>n
＝
1
，
a
n
＝
2·
3
n
－
1
＝<
/p>
2·
3
1
－
1
＝
2
≠
a
1
，
1
，
n
< br>＝
1
，
故
a
n
＝
n
－
1
3
，
n
≥
2.
2·
等差数列前
n
项和的性质应
用
(1)
在等差数列
{
a
n
}
中，若
S
4
＝
1
，
S
8
＝
4
，则
a
17
＋
a
18
＋
a
19
＋
a
20
的值
为
(
)
A
．
9
C
．
16
B
．
12
D
．
17
(
2)
等差数列
{
a
n
}
共有
2
n
＋
1
项，所有的奇数项之和为
132
，所有的偶数项之
和为
120
，则
n
等于
________
．
S
n
2
n
＋<
/p>
2
(3)
已知
{
a
n
}
，
{
b
n
}
均为等差数列，其前
n
项和分别为
S
n
，
T
< br>n
，且
T
＝
，
n
＋
3
n
a
5
则
b<
/p>
＝
________.
5
4
【精彩点拨】
(1)
解决本题关键是能发现
S
4
，
S
8
－
S
4
，
S
12
－
S
8
，
S
16
－
S
12
，
a
17
＋
a
18
＋
a
19
＋
a
< br>20
能构成等差数列．
(2)
利用等差数列奇偶项和的性质求解，或利用
“
< br>基本量法
”
求解．
(3)
解决本题关键是如何将
a
< br>n
转化为用等差数列的前
(2
n
－
1)
项的和表示．
< br>
【自主解答】
(1)
由题意知：
S
4
＝<
/p>
1
，
S
8
－
S
4
＝
3
，
而
S
4
，
S
8
－
S
4
，
S
12
－
S
8
，
S
16<
/p>
－
S
12
，
S
20
－
S
16
成等差数列．
即
1,3,5,7,9
，
a
17
＋
a
18
＋
a
19
＋
a
20
＝
S
20
－
S
< br>16
＝
9.
(2)
法一：
(
巧用性质
)
因为等差数列共有
2
n
＋
1
项，所以
S
< br>S
2
n
＋
1
132
＋
120
< br>，即
132
－
120
＝
，解得
n
＝
10.
2
n
＋
1
2
n
＋
1
法二：
(
基本量思想
)
可设等差数列的首项为
a
1
，公差为
d
.
依题意可列方程组
n
<
/p>
n
＋
1
n
＋
1
a
＋
1
2
×
2
d
＝
132
，
n
－
1
n
na
＋
2
2
×
2
d
＝
120
，
n
＋
1
a
1
＋
nd
＝
132
，
即
< br>n
a
＋
nd
＝
120
，
1
n
＋
1
132
所以
n
＝
120
，即
n
＝
10.
(3)
由等差数列的性质，知
a
1
＋
a
9
a
1
＋
a
9
2
2
×
9
S
9
2
×
9
＋
2<
/p>
5
a
5
b
5
＝
b
1
＋
b
9
＝
b
1
＋
b
9
＝
T
9
＝
9
＋
3
＝<
/p>
3
.
2
2
×
9
5
【答案】<
/p>
(1)A
(2)10
(3)
3
[
再练一题
]
2
．
(1)
等差数列
{
a
n
}
中，
< br>a
2
＋
a
7
＋
a
12
＝
24
，则
S
13
＝
________.
(2)<
/p>
等差数列
{
a
n
}
的通项公式是
a
n
＝
2
n
＋
1
，其前
n
项和为
前
10
项和为
< br>________
．
【解析】
(1)
由
a
2
＋
a
7
＋
a
12
＝
24
，得
a
7
＝
8
，
5
S
n
S
n
，则数列
n
的
奇
－
S
偶
< br>＝
a
n
＋
1
＝