等差数列复习教案及练习
-
可编辑
等差数列
一、知识归纳：
1
< br>．等差数列的定义用递推公式表示为：
a
n
1
< br>a
n
d
(
n
N
)
或
a
n
a
n
1
d
(
n
2
,
< br>n
N
)
，其中
d
为常数，叫这个数列的公差。
2
．
等差数列的通项公式：
a
n
a
1
(
n
1
)
< br>d
，
3
．等差数列的分类：
当
d
0
< br>时，
{
a
n
}
是递增数列；当
d
0
时，
{
a
n
}
是递减数列；当
d
0
时，
{
a
n
}
是常数列。<
/p>
4
．等差中项：
如果在
a
,
b
中间插入一个数
A
，使
a
,
A
,
b
成等差数列，那么
A
叫做
a
与
b
的等差中项，且
< br>A
5
．等差数列的前
n
项和公式：
a
b
2
S
n
n
(
a
1
a
n
)
< br>n
(
n
1
)
d
d
，
或
S
n
na
1
d
，此式
还可变形为
S
n
n
2
(
a
1
)
n<
/p>
2
2
2
2
6
．等差数列的主要性质：
（
1
）
a
n
a
k
(
n
<
/p>
k
)
d
（
2
）若
m
n
2
p
（
m
< br>,
n
,
p
N
），则
a
m
a
n
2
a
p
（
3
）若
m
n
p
q
，则
a
m
a
< br>n
a
p
a
q
（反之也成立）（其中
m
,
n
,
p
,
q
N
）
如：
< br>a
1
a
n
a
2
a
n
1
a
3
a
n
2
二、学习要点：
1
< br>．学习等差数列要正确理解与运用基本公式，要抓住首项
a
1
与公差
d
两个基本量解决问题。注
意：
（
1
）
证明一个数列为等差数列的常用方法：
①（定义法）证明：<
/p>
a
n
1
a
n
常数；
②（等差中项法）证明：
a
n
1
a
n
1
2<
/p>
a
n
(
n
2
)
（
2
）公差
d
0
的等差数列的通项是
n
的一次函数
a
n
an
b
，其中
a
即为公差。
2
（
3
）
< br>d
0
的等差数列的前
n
项和公式是
n
的没有
常数项的二次函数
S
n
an
bn
2
．解决等差数列问题应注意性质的灵活运用。
<
/p>
3
．巧设公差是解决问题的一种重要方法。
三数成等差数列，可设为：
a
,
a
d
,
a
2
d
或
a
d
,
a
,
a
d
；
三、例题分析：
.
可编辑
例
1
．
设
{<
/p>
a
n
}
是等差数
列
（
1
）若
a
7
a
9
16
，
a
4
1
，则
a
12
________.
（
2
）若
a
1
a
2
a
3
1
,
a
n
a
n
1
< br>a
n
2
3
，且
S
n
18
，则
n
_______.
（
3
）若
a
8
1
a
11
6
，则
S
9
_______.
2
解：设
{
a
n
}
是等差数列
（
1
）
a
12
__15__
__.
（
2
）
n
__27____.
（
3
）
S
9
_108___.
（
3
）由
2
a
8
a
11
12
及
2
a
8
a
5
a
11
< br>，得
a
5
12
，则
S
9
例
2
．
已知等差数列的前三项依次为
a
,
（<
/p>
1
）求
a
及
k
的值；
（
2
）设数列
{
b<
/p>
n
}
的通项
b<
/p>
n
9
(
a
1
a
9
)
9
a
5
108
2
4,
3
< br>a
，前
n
项和为
S
n
，且
S
< br>k
110
，
< br>
S
n
，证明数列
{
b
n
}
< br>是等差数列，并求其前
n
项和
T
n
n
解：（
1
）设该等差数列为
{
a
n
}
，则
< br>a
1
a
,
a
2
4
,
a
3
3
a
，
由已知
有
a
3
a<
/p>
8
，得
a
1
a
2
，公差
d
4
2
2
则
S
< br>k
ka
1
k
(
k
1)
k
(
k
1)
d<
/p>
2
k
2
k
2
k
2
2
2
由
S
k
110
，得
k
k
110
0
，解得
k
10
或
k
11
（舍去）
故
a
2
，
k
10
（
2
）由（
1
）
S
n
S
n
(
2
2
n
)
n
(
n
< br>1
)
，则
b
n
n
n
1
，
<
/p>
2
n
故
b
n
1
b
n
(
n
2
)
(
n
1
)
1
，即
数列
{
b
n
}
是首项为
2
，公差为
< br>1
的等差数列
T
n
n
(
2
n
1
)
n
(
n
3
< br>)
2
2
*
例
3
．
已知数列
{
a
n
}
中，
a
2
9
,
a
5<
/p>
21
，且
a<
/p>
n
2
2
a
n
1
a
n
0(
n
< br>N
)
（
1
）求
{
a
n
}
的通项
a
n
；（
2
）令
b
n
2
n
，求数列
{
b
n
}
的前
n
项和
S
n
a
.
可编辑
解：（
1
）
a
n
2
2
a
n
1
a
n
0(
n
N
*
)
，
{
a
n
}
是等差数列，
设
d
为
< br>{
a
n
}
的公差，则
d
a
< br>5
a
2
21
9
4
5
<
/p>
2
3
故
a
n
a
2
(
n
2
)
d
< br>9
(
n
2
)
4
4
n
1
4
n
1
5
4
（
2
）由
a
n
4
n
1
，得
b
n
2
，则
{
b
n
}
是首
项
b
1
2<
/p>
，公比
q
2<
/p>
的等比数列。
2
5
(
2
4
n
1
)
32<
/p>
(
2
4
n
1
)
故
S
n
2
4
1
15
例
4
．
已知数列
{
a
n
}
中
a
1
3
，
a<
/p>
n
2
1
（
n
≥
2
，
n
N
*
），数列
{
b
n
}
，满足
b
1
< br>（
n
N
*
）
n
5
a
n
1
a
n
1
（
1
）求证数列
{
b
n
}
是等差数列；
<
/p>
（
2
）求数列
{
a
n
}
中的最
大项与最小项，并说明理由；
<
/p>
（
3
）求
S
n
1
b
1
b
2
解析：（
1
）
b
n
b
n
1
.
1
a
n
1<
/p>
a
1
1
，
n
1
，而
b
n
1
< br>1
a
n
1
1
a
n
1
1
2
1
a
n
1
∴
b
n
< br>
b
n
1
a
n
1
1
1
．
(
n
N
)
a
n
< br>1
1
a
n
1
1
1
5
，公差为
1
的等差数列．
< br>
a
1
1
2
1
5
7
2
，而
b
n<
/p>
(
n
1
)
1
n
，∴
a
< br>n
1
．
b
n
2
2
2
n
7
∴
{
b
n
}
是首项为
b<
/p>
1
（
2
）依题意有
a<
/p>
n
1
当
n
3
时，
3
a
1
a
2
a
3
1
；当
n
4
时，
3
a
4
a<
/p>
5
a
6
a
n
1
5
故
{
a
n
}
中的最小值为
a
3
＝
-1
，最大值为
a
4
3
5
2
n
5
(
n
1
)(
)
(
n
1
)(
n
<
/p>
5
)
2
2
（
3
）
S
n
1
2
2
等差数列练习题
< br>1
，
a
2
a
5
4
，
a
n
33
，则
n
（
C
）
3
A
．
48
B
．
49
C
．
50
D
．
51
<
/p>
1
．等差数列
{
a
n
}
中，已知
a
1
2
．
已知等差数列
{
a
n
< br>}
公差为
2
，若
a
1
,
a
3
,
a
4
成等比数列，则
a
2
（
B
）
.
可编辑
A
．
4
B
．
6
C
．
8
D
．
10
3
．等差数列
{
a
n<
/p>
}
中，
a
1
a
2
a
3
24
，
a
18
a
19
a
20
78
，则此数列前
20
项和为（
B
）
A
．
160
B
．
180
C
．
200
D
．
220
4
．设
{
a<
/p>
n
}
是等差数列，且
a
2
6
,
a
8
<
/p>
6
，
S
n
是数列
{
a
n
}
的前
n
项和，则（
B
）
A
．
S
4
S
5
B
．
S
4
S
5
C
．
S
6
< br>S
5
D
．
S
6
S
5
解：<
/p>
d
a
8
a
2
8
2
6
6
6
2
，
a
n
2
n
10
，由
a
n
<
/p>
0
，得
n
5
，又
d
0
则
{
a
n
}
是递增数列，故<
/p>
S
4
S
5
选
B
5
．设
S
n
是等差数列
{
a
n<
/p>
}
的前
n
项和，
若
a
5
a
<
/p>
5
，则
S
9
S
的值为（
A
）
3
9
5
A
．
1
B
．
1
C
．
2
D
．
1
2
解：
S
9
9
(
a
1
a
9
)
9
2
a
5
S
2
a<
/p>
9
a
5
1
5
5
(
a
1
a
5
)
5
3
5
a
3
6
．在等差数列
< br>{
a
n
}
中，前
n
项和是
S
< br>n
，若
a
7
5,
S
7
21
，则
S
10
（
A
）
A
．
40
B
．
55
C
．
35
D
．
70
<
/p>
7
．等差数列
{
a
n
}
的公差为
1
，且
a
1
a
2
<
/p>
a
98
a
99
99
，则
a
3
a
6
a
9
a
96
a
< br>99
（
A
．
16
B
．
33
C
．
48
D
．
66
<
/p>
解：由
a
1
<
/p>
a
2
a
98
a
99
(
a
1
a
4
a
97
)
(
a
2
a
5
a
98
)
(
a
3
a
6
a
99
< br>)
3
(
a
3
a
6
a
99
)
33
2
d
33
d
可得
3
(
a
3
a
6
< br>
a
99
)
99
99
8
．在等差数列
{
a
n
< br>}
中，
a
1
3
a
8
a
15
1
20
，则
3
a
9
a
11
的
值为（
D
）
A
．
6
B
．
12
C
．
24
D
．
48
<
/p>
解析．由已知有
5
a
8
120
，
a
8
24
，则
3
a
9
a
11
3
(
a
8
d
)
(
a
8
3
d
)
2
< br>a
8
9
．在等差数列
{
a
n
}
中，
a
5
< br>
3
,
a
6
2
，
则
a
4
a<
/p>
5
a
10
_____
_
52
_____
< br>
10
．已知等差数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，若
a
4
18
a
5
，则
S
8
_72___
11
．已知等
差数列
{
a
n
}
中，
a
3
a
7
16<
/p>
,
a
4
a
6
0
,
求
{
a
n
}
前
n
项和
S
n
.
解：设
a
n
的公差
为
d
，则
.
D
）