猜想——二阶等差数列及其通项公式
-
二阶等差数列及其通项公式
1
2
3
4
5
（
1
）
、
、
、
、
，…
（第
n
个数）
2
3
4
5
6
1
1
1
1
（
2
）
- 1
、
、
、
、
< br>，…
（第
n
个数）
2
3
4
5
1
1
1
1
（
3
）
、
、
、
，…
（第
n
个数）
1
2
2
3
3
4
4
5
（
4
）
1
< br>，
2
，
4
，
7
，
11
，
16
，
22
，…
（第
n
个数）
（
5
）
1
，
3
，
6
，
10
，
15
，
21
，
28
，…
（第
n
个数）
（
6
）
1
，
3
，
7
，
13
，
21
，
31
，
43
，…
（第
n
个数）
通过观察分析，也能发现上面三个数列有其内在规律与特点，但若想轻易写出却有难处。
一、等差数列的定义及其通项公式：
1
、等差数列的定义：
如果一个数列<
/p>
a
1
，
a
2
，
a
3
，…，
a
n
，…，
从第二项起，
每一项与它的前一项的差都等
于同一个常数
d
，
即
< br>a
2
- a
1
= a
3
-
a
2
=
…
= a
n
- a
n-1
= d
，
则称此数列为等差数列，常数
d
叫等差数列的公差。
2
、等差数
列的通项公式：
a
n
=a
1
+ ( n - 1 )
d
，
公
差：
d
= a
2
-
a
1.
二、二阶等差数列的定义及其通项公式：
定义：
如果一个数列
a
1
，
a
2
，
a
3
，…，
a
n
，…，
（★）
从第二项起，
每一项与它的前一项的差按照前后次序排成新的数列，
即
a
2
- a
1
，
a
3
- a
2
，
a
4
-
a
3
，
…，
a
n
- a
n-1
，…成为一个等差数列，则称数列（★）为二阶等差数列。
相应地，
d
=
（
a
3
-
a
2
）
-
（
a
2
-
a
1
）
=
a
3
+
a
1
- 2a
2
称为二阶等差数列的二阶公差。
依此
定义可以判断，⑷、⑸、⑹均是二阶等差数列。其二阶公差分别为
1
、
1
、
2.
说明：⑴、为区别于二阶等差数列，可把通常定义的等差数列称为一阶等差数列
.
⑵、
二阶与一阶等差数列的相互关系：
二阶等差数列不一定是一阶等差数列，
但一阶等
差数列肯定是二
阶等差数列。
二阶等差数列的通项公式：
设数列<
/p>
a
1
，
a
2
，
a
3
，…，
a
n
，…是一个二
阶等差数列，为了书写的方便，我们记数列
a
2
-
a
1
，
a
3
- a
2
，
a
4
- a
3
，…，
a
n
-
a
n-1
，…为
b
1
,
b
2
, b
3
,
…，
b
n-1
,
…，
(
☆
)
即记
b
n
=
a
n+1
-
a
n
，
<
/p>
(n
≥
1
，
n
∈
Z)
则数列
(
☆
)
是一个一阶等差数列。
对于数列
(
☆
)
，
d
= b
2
- b
1
= a
1
+
a
3
-
2a
2
，
根
据等差数列的通项公式
,
则有
b
n
=
a
n+1
- a
n
= b
1
+ (n-1) d
，
（
n
≥
1,n
∈
Z
）
由此得，
a
n
+1
= a
n
+
b
1
+ (n-1) d
依此规律，则有
a
2
=
a
1
+
b
1
，
a
3
=
a
2
+
b
1
+d
，
a
4
=
a
3
+
b
1
+2d
，
…
…
a
n
=
a
n-1
+ b
1
+ (n-2 ) d
，
由上面各式左右分别相加，可得
a
n
=
a
1
+
（
n
-1
）
b
1
+
(
n
1<
/p>
)(
n
2
)
2
d
，
（●）
此即为
二阶等差数列的通项公式，
其中，
b
1
= a
2
- a
1,
［注：
b
n
< br>= a
n+1
-
a
n
，
<
/p>
(n
≥
1
，
n
∈
Z)
］
对
于
数
列
⑷
，
知
a
1
=1
，
b
1
=1
，
d=1
，
则
由
公
式<
/p>
（
●
）
可
得
，
a
n
=1+
（
n-1
）
2
1+
(
n
1
)(
n
2
)
=
n
n
2
2
1
，代入验证。
同理可求知⑸、⑹的通项公式：
×