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2021年2月23日发(作者：不如不见陈奕迅)

数学

数学是研究现实世界中数量关系和 空间形式的，简单地说，是研究数和形的

科学。

由于生活和劳动上的需求，即使是 最原始的民族，也知道简单的计数，并由

用手指或实物计数发展到用数字计数。在中国， 至迟在商代，即已出现用十进制

数字表示大数的方法；又至迟至秦汉之际，即已出现完满 的十进位值制。在成书

不迟于

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世纪的 《九章算术》中，已载有只有位值制才有可能的开平、立方的计

算法则，并载有分数的各 种运算以及解线性联立方程组的方法，还引入了负数概

念。刘徽在他注解的《九章算术》

（

3

世纪）中，还提出过用十进小数表 示无理数

平方根的奇零部分，但直至唐宋时期（欧洲则在

16< /p>

世纪

S.

斯蒂文以后）十进小数

才获通用。在这本着作中，刘徽又用圆内接正多边形的周长逼近圆周长，成为后

< br>世求圆周率更精确值的一般方法。

虽然中国从来没有过无理数或实数的一般概念，

但在实质上，那时中国已完成了实数系统的一切运算法则与方法，这不仅在应用

上不可缺，也为数学初期教育所不可少。至于继承了巴比伦、埃及、希腊文化的

< br>欧洲地区，则偏重于数的性质及这些性质间的逻辑关系的研究。早在欧几里得的

《 几何原本》中，即有素数的概念和素数个数无穷及整数惟一分解等论断。古希

腊发现了有 非分数的数，即现称的无理数。

16

世纪以来，由于解高次方程 又出现

了复数。在近代，数的概念更进一步抽象化并依据数的不同运算规律而对一般的< /p>

数系统进行独立的理论探讨，形成数学中的若干不同分支。

开平方和开立方是解最简单的高次 方程。在《九章算术》中，已出现解某种

特殊形式的二次方程。发展至宋元时代，引进了

“

天元

”(

即 未知数

)

的明确观念，出

现了求高次方 程数值解与求多至四个未知数的高次代数联立方程组的解的方法，

通称为天元术与四元术 。与之相伴出现的多项式的表达、运算法则以及消去方法，

已接近于近世的代数学。

在中国以外，

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世纪阿拉伯的花拉子米的着 作阐述了二次

方程的解法，通常被视为代数学的鼻祖，其解法实质上与中国古代依赖于切 割术

的几何方法具有同一风格。中国古代数学致力于方程的具体求解，而导源于古希

腊、埃及传统的欧洲数学则不同，一般致力于探究方程解的性质。

1 6

世纪时，

F.

韦达以文字代替方程系 数，引入了代数的符号演算。对代数方程解的性质的探讨，

则从线性方程组导致行列式、 矩阵、线性空间、线性变换等概念与理论的出现；

从代数方程导致复数、对称函数等概念 的引入以至伽罗瓦理论与群论的创立。而

近代极为活跃的代数几何，则无非是高次联立代 数方程组解所构成的集体的理论

研究。

形的研究属于几何学的范畴。古代 民族都具有形的简单概念而往往以图画来

表示，形之成为数学对象是由工具的制作与测量 的要求所促成。规矩以作圆方，

中国古代夏禹治水时即已有规、矩、准、绳等测量工具。

《墨经》中对一系列的几

何概念，有抽象概括，作出了科学的定 义。

《周髀算经》与刘徽《海岛算经》给出

了用矩观天测地的一 般方法与具体公式。在《九章算术》及刘徽注解的《九章算

术》中，除勾股理论外，还提 出了若干一般原理以解多种问题。例如出入相补原

理以求任意多边形面积；

阳马鳖臑的二比一原理

（刘徽原理）

以求多面体的体 积

;5

世纪祖暅提出

“

幂势既同则积不容异

”

的原理以求曲形体积特别是球的 体积；还有

以内接正多边形逼近圆周长的极限方法

(

< p>
割圆术

)

。但自五代（约

10

世纪）以后，

中国在几何学方面的建树不多。中国几何学以 测量与面积体积的量度为中心，古

希腊的传统则重视形的性质与各种性质间的相互关系。 欧几里得的《几何原本》

，

建立了用定义、公理、定理、证明构 成的演绎体系，成为近代数学公理化的楷模，

影响及于整个数学的发展。特别是平行公理 的研究，导致了

19

世纪非欧几里得几

何学的产生。欧洲自文艺复兴时期起出现了射影几何学。

18

世 纪，

G

.

蒙日应用分

< br>析方法于形的研究，开微分几何学的先河。

C.F.

高斯 的曲面论与（

G.F.

）

B.

黎曼的

流形理论开创了脱离周围空间以形作为独立对象的研究方法；

19

世纪（

C.

）

F.

克

莱因以群的观点对几何学进行统 一处理。此外，如

G

.

（

F.P.

）康托尔的点集理论扩

大了形的范围；

（

J.-

）

H.< /p>

庞加莱创立了拓扑学，

使形的连续性成为几何研究的对象。

这些都使几何学面目一新。

在现实世界中，数与形，如影之随形，难以分割。中国的古代 数学反映了这

一客观实际，数与形从来就是相辅相成，并行发展的。例如勾股测量提出了 开平

方的要求，而开平、立方的方法又奠基于几何图形的考虑。二次、三次方程的产

生，也大都来自几何与实际问题。至宋元时代，由于天元与相当于多项式概念的

引入，出现了几何代数化。在天文与地理中的星表与地图的绘制，已用数来表示

地点，不过并未发展到坐标几何的地步。在欧洲，

14

世纪< /p>

N.

奥尔斯姆的着作中已

有关于经纬度与 函数图形表示的萌芽，

而

17

世纪

R.

笛卡儿提出了系统的把几何事

物用代数 表示的方法及其应用，

在其启迪之下，

经

G.W.

莱布尼茨、

I.

牛顿等的工 作，

发展成了现代形式的坐标制解析几何学，使数与形的统一更臻完美，不仅改变了

几何证题过去遵循欧几里得几何的老方法，还引起了导数的产生，成为微积分学

产生的根源。这是数学史上的一件大事。在

20

世纪 中，由于科学与技术上的要求

促使数学家们研究运动与变化，

包 括量的变化与形的变换

(

如投影

)

，

还产生了函数

概念和无穷小分析即现在的 微积分，使数学从此进入了一个研究变量的新时代。

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