数学专业英语 翻译 2.8函数的导数和它的几何意义
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[
函数的导数和它的几何意义
]
8-A
函数的导数
前一节中描述的例子给出了引进导数概念的方法。
我们从至少定义在
x-
轴上
的某个开区间（
a
,
b
）内的函数
f
(
x
)
开始，然后我们在这个区间内选择一点
x
，
引进差商
f
(
< br>x
h
)
f
(
x
)
(8.1)
,
h
这里，数
h
(
可以是正的或者负的但不能是
0
）
要使得
x+h
还在（
a
,
b
）内。这
个商的分子测
量了当
x
从
x
变到
x+h
时函数的变化。称这个商为
f
在连接
x
与
x+h
的区间内的平均变化率。
现在
让
h
→
0
，<
/p>
看看这个商会发生什么。
如果商趋于某个确定的值作为极限
（这
就推得无论
h
是
从正的方向还是负的方向趋于
0
，这个极限是一样的）
，成这个
/
/
极限为<
/p>
f
在
x
点的导数
，记为
f
(
x
)
（读作“
f
一撇
x
”
）
。因此，
f
(
< br>x
)
的正
规定义可以陈述如下：
导数定义。
如果
f
(
x
h
)
f
(<
/p>
x
)
(8.2)
f
(
x
)<
/p>
lim
,
<
/p>
h
0
h
/
存在极限，导数
f
(
x
)
由等式（
8.2
）定义。数
f
/
(
< br>x
)
也称为
f
< br>在
x
点的变化
率。
对比（
8.2
）与前一节的（
7.3
）
< br>，我们看到瞬时速度仅仅是导数概念的一个例
子。速度
v
(
t
)
等于<
/p>
f
/
(
t
)
，这里
f
是位移函数，这就是常常被描述为速度是位
移关于时间的变化率。<
/p>
在
7.2
节算出的例子中，
位移函数由等式
f
(
t<
/p>
)=144
t
-32
t
2
表示，而它的导数
f
/
是由
f
/
(
t
) =144-32
t
给出的新的函数（速度）
。
/
一般地，从
f
< br>(
x
)
产生
f
(
x
)
的极限过程给我们从一个给定函数
f
获得一个
新函数
f
/
的方法。这个过程称为微分法，
f
/
称为
f
的一阶导数。依次地，如
果
f
/
定义在开区间上，我们可以设法求出它的一阶导数，记为
f
//
并称其为
f
的二阶导数。类似地，由
f
(
n
-1)
定义的一阶导数是
f
的
n
阶导数记为
f
(
n
)
，我们
规定
f
(0)
=
f
，即零阶导数是函数本身。
对于直
线运动，速度的一阶导数（位移的二阶导数）称为加速度。例如，要
计算
7.2
节中的例子的加速度，我们可以用等式（
7.2
）形成差商
v
(
t
h
)
v
(
t
)
144
32(
t
h
)
144
32
t
32.
h
h
因为这个差商对每一个
h
≠
0
都是常数值
-32
，因此当
h
→
0
时它的极限也
是
-32.
于是在这个问题中，加速度是常数且等于
-32.
这个结论告诉我们速度是以每秒
32<
/p>
尺
/
秒的速率递减的。
< br>9
秒内，速度总共减少了
9
·<
/p>
32=288
尺
/
秒。这与运动
9
秒期间，速度从
v(
0)=144
变到
v(9)=-144
是一致的。
8-B
导数作为斜率的几何意义
通常定义导
数的过程给出了一个几何意义，
就是以自然的方式导出关于曲线
的切线的思想。图
2-8-1
是一个函数的部分图像。两个坐标
(
x
,
f
(
x
))
和
(
x+h
,
f
(
x+h
))
分别
表示
P
,
Q
两个点坐标，考虑斜边为
PQ
的直角三
角形，它的高
度：
f
(
x+h
)-
f
(
x
)
，表示
P
,
Q
两个点纵坐标的差，因此差商
f<
/p>
(
x
h
)
f
(
x
)
(8.4)
h