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2021年2月23日发(作者：塘栖二中)

小船过河问题

轮船渡河问题：

（

< br>1

）处理方法：轮船渡河是典型的运动的合成与分解问题，小船在有一定流速的水 中过

河时，

实际上参与了两个方向的分运动，

< br>即随水流的运动

（水冲船的运动）

和船相对水的运

动（即在静水中的船的运动）

，船的实际运动是合运动。

v

船

v

2

θ

v

1

V

水

1

．渡河时间最少：在河宽、船速一定时，在一般情况下，渡河时间

t



为

d



1



d

，显然，当





90



时，即船头的指向与河岸垂直，渡河 时间最小



船

sin

< br>

d

，合运动沿

v

的方向进行。

v

2

．位移最小

若

< /p>

船





水

v

船

θ

v

v

水



水

结论船头偏向上游，

< br>使得合速度垂直于河岸，

位移为河宽，

偏离上游的角度为

cos







船

若

v

船



v

水

，

则不论船的航向如何，

总是被水冲向下游，< /p>

怎样才能使漂下的距离最短呢？

如图所示，

B

v

A

α

E

v

船

θ

v

水

设船头

v

船

与河岸 成

θ

角。合速度

v

与河岸成

α

角。可以看出：

α

角越大，船漂下的距离

x

越短，那么，在什 么条件下

α

角最大呢？以

v

< p>
水

的矢尖为圆心，

v

船< /p>

为半径画圆，当

v

与圆

< br>

1

/

4

相切时，

α

角最大，根据

cos





v

船

v

< br>水

船头与河岸的夹角应为

< /p>



arccos

v

船

v

水

，船沿河漂下的最短距离为：

x

min



(

v

水



v

船

cos



)



d

v

船

sin



此时渡河的最短位移：

s



dv

d



水

cos



v

船

【例题】河宽

d

＝

60m

，水流速度

v

1

＝

6m

／

s

，小船在静水中的速度

v

2

=3m

／

s

，问：

(1)

要使它渡河的时间最短，则小船应如何渡河< /p>

?

最短时间是多少

?

< br>(2)

要使它渡河的航程最短，则小船应如何渡河

?

最短的航程是多少

?

★解析：

(1)

要使小船渡河时间最短，则小船船头应垂直河岸渡河，渡河的最短时间

< p>
t



d



2



60

s

< br>

20

s

30

(2)

渡河航程最短有两种情况：

①船速

v

2

大于水流速度

v

1

时，

< p>
即

v

2

>v

1

时，

合速度

v

< p>
与河岸垂直时，

最短航程就是河宽；

< p>
②船速

v

2

小于水流速度

v

l

时，即

v

2

1

时， 合速度

v

不可能与河岸垂直，只有当合速度

v

方向越接近垂直河岸方向，航程越短。可由几何方法求得，即以

< br>v

1

的末端为圆心，以

v

2

的长度为半径作圆，从

v

< br>1

的始端作此圆的切线，该切线方向即为最短航程的方向，如图所

示。

设航程最短时，船头 应偏向上游河岸与河岸成

θ

角，则

< /p>

cos





< /p>

2

3

1





，





< p>
60





1

6

2

2

/

4

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