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2021年2月23日发(作者：穷)

最值系列之

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将军 饮马（二）

【将军过桥】

已知将军在图中点

A

处，现要过河去往

B

点的军营，桥必须垂直于

河岸建造，问：桥建 在何处能使路程最短？

将军

A

M

河

N

B

< p>
军营

考虑

MN

长度恒定，只要求

AM

+

NB

最小值即可．问题在于

AM

、< /p>

NB

彼此分离，所以首先通过平移，使

A M

与

NB

连在一起，将

AM

向下平移使得

M

、

N

重合，此时

A

点落 在

A

’

位置．

将军

A

M

A'

N

河

B

军营< /p>

问题化为求

A

’

N

+

NB

最 小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥

应建的位置．

1

将军

A

M

A'

N< /p>

B

军营

河

【用几何变换将若干段原本彼此分离线段组合到一起】

【将军过两个桥】

已知将军在图中点

A

处，现要过两条河去往

B

< p>
点的军营，桥必须垂

直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？

A

将军

P

河

Q

M

河

B

军营

N

考虑

PQ

、

MN

均为定值，所以路程最短等价于

AP

+

QM

+

NB

最小，

对于这彼此分离的三段，可以通过平移使其连接到一起．

2

A< /p>

P

A'

Q

M

B'

B

N

AP

平移至

A

’

Q

，

NB

平移至< /p>

MB

’

，化

AP

+

QM

+

NB

为

A

’

Q

+

QM

+

MB

’

．

A

P

A'

Q

M

< p>
B'

N

B

当

A

’

、

< br>Q

、

M

、

B

’

共线时，

A

’

Q

+

QM

+

MB

’

取到最小值，再依次确定< /p>

P

、

N

位置．< /p>

【将军遛马】

如图，将军在

A

点处，现在将军要带马去河边喝水，并沿着河 岸走

一段路，再返回军营，问怎么走路程最短？

【问题简化】已知

A

、

B< /p>

两点，

MN

长度为定值，求确定

M

、

N

位置

< p>
使得

AM

+

MN

+

NB

值最小？

3

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