数列通项的求解方法
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数列通项的求解方法
李红利
数列这部分知识在高中数学中
是一个重点知识，
它是高考的热点，
也是学生
< br>学习的一个难点。
在数列中，
确定数列的通项公式至关重
要，
因为通项公式确定
以后，可以解决数列中的许多问题，如数
列的求和、单调性、最值等等。数列通
项公式的求解方法除了公式法
（利用等差、
等比数列的通项公式求解通项的方法）
以外，
还有配凑、倒数转化、除幂、累加、叠乘等多种方法，然而这些方法在一
些教学参考资料
中比较零散，
在这里将其整理和汇编，
以便于同仁们在教学时参
考和利用。
一．公式法
在已知条件中，
明确指明该数列是等差数列或等比数列，
或者利用条件能够
确定该数列是等差数列或等比数列时利用的方法，
即确定：
< br>a
n
1
a
n
d
(
常数
）
，<
/p>
或
a
n
1
q
(
非零常数
）
。该方法是：等差数列使用公式
a
n
a
1
(
n
1
)
d
（或
a
n
，等比数列使用公式
a
n
a
1
q
n
1
（或
a
n
a
m
q
n
m
）
，所以，使
a
n
a
m
(
n
m
)
d<
/p>
）
用公式法求解数列的通项公式时，要确定数列的首项
a
1
（或任意项
a
m
）以及公
差
d
或公比
q
，然后再利用公式求解。
二．配凑法
数列若
以形如
“
a
n
1
ka
n
b
(
k
,
b
为常数
，k<
/p>
1
,
kb
0
)
”
的递推方式给出时，
b
处理方法是将每一项加上同一个常数，将其配凑转化为等比数列
a
n
，
k
1<
/p>
然后再求解数列的通项公式。配凑过
程如下：
令
a
n
1
x
k
(
a
n
x
)
，展开整理为：
a
n
1
ka
n<
/p>
(
k
1
)
x
因为
a
n
1
ka
n
b
，所以
(
k
1
)
x
b
又
k
1
，所
以
x
b
b<
/p>
，即数列
a
n
是以
k
为公比的等比数列。
k
1
k
1
例
1
：已知在数列
< br>
a
n
中，
a
1
2
，
a
n
<
/p>
1
3
a
n
2
，求
a
n
解
：
由
a
n
< br>
1
3
a
n
2
得
：
a
n
1
1
3
(
a
n
1
)
，
< br>所
以
数列
a
n
1
是
以
首
项<
/p>
a
1
1
3
，公比为
3
的等比数列，即
a
n
1
3
3
n
1
3
n
，故
a
n
3
n
1
变式训练：已知在数列
a
n
中，
a
1<
/p>
2
，
a
n
1
3
a
n
2
，求
a
n
< br>
三．倒数转化法
数列若以形
如
“
a
n
<
/p>
1
a
n
ka
n
的递推方式给出时，
(
k
,
,
为常数
，k
0
)
”
先
倒数变为：
1
1
k
，然后再讨论解决。讨论如下：
a
n
1
a
n
1
k
1
1
k
1
1
k
< br>即
数列
是以公差为
，
，
a
n
1
a
n
a
n<
/p>
1
a
n
a
n
⑴若
时，
则
的等差数列；
⑵若
时，令
b
n
k
1
，上式变为：
b
n
1
b
n
，这时可以利用上述
a
n
k
的配凑法，
将其配凑转化为等比数列
b
n
，然后再求解数列
a
n
的
通项
1
公式。
例
2
：已知在数列
a
n
中，
a
1
2
，
a
n
1
a
n
，求
a
n
2
a
n
1
解：由
a
n
1
a
n
2
a
1<
/p>
1
1
1
1
得：
，即
2
n
2
a
n
1
a
n
2
a
n
1
a
n
<
/p>
1
a
n
a
n
1
1
1
所以，数列
是以首项
，公差
为
2
的等差数列
a
1
2
a
n
所以，
2
1
1
3
4<
/p>
n
3
(
n
1
)
2
2
n
，故
a
n
4
n
3
a
n
2
2
2
变式训练：已知在数列
a
n
中，
a
1
2
，
a
n
1
四．除幂法
a
n
，求
a
n
2
a<
/p>
n
3
数列若以
形如“
a
n
1
a
n<
/p>
k
n
1
(
k
,
,
为常数
，k
0
)
”的递推方式给<
/p>
出时，
方程两边同除以
k
n
1
得到：
讨论如下：
⑴若
k
时，
则
的等差数列；
⑵若
<
/p>
k
时，令
b<
/p>
n
a
n
b
b
n
，这时可以利用上述
，上式变为：
n
< br>
1
n
k
k
a
n
1
a
n
a
n
1
a
n
a
n
< br>
，
即
，
数列
n
是以公差为
n
1
n
n
1
n
k
k<
/p>
k
k
k
a
n
1
a
n
a
n
n
，
然后
再讨论解决。
n
1
< br>n
1
k
k
k
k
的配凑法，将其配凑转化为等比数列
<
/p>
b
n
，然后再求解数列
a
n
的通项
1
k
公式。
例
3
：已知在数列
a
n
中，
a
1
2
，
a
n
1
3
a
n
2
n
1
< br>，求
a
n
解：由
a
n
1
3
a
n
2
n
<
/p>
1
两边同除以
2
n
1
得到：
a
n
1
3<
/p>
a
n
3
a
n
1
n
1
n
1
n
1
2
2
2
2
a<
/p>
1
a
1
3
a
n
a
n
2
(
2
)
2
3
，
即：
n
，
于是数列
为等比数列，
首项为
2
n
2
2
< br>n
2
2
n
1
2
a
3
3
公比为
，则有
n
2
3
2
2
n
2
n
1
< br>3
n
n
1
，所以
a
n
2
3
n
2
n
1
2
也可以利用换元法，
令
b
n
然后再进行配凑求解。
a
n
a
n
1
3
a
n
3
b
b
n
1
，
<
/p>
1
，
将式子
变为
n
1
n
n
1
n
2
2
2
2
2
变式训练：已知在数列
a
n
中，
a
1
2
，
a
n
1
2
a
n
2
n
，求
a
n
五．累加法
如果给出数列
a
n
的递推公式为“
a
n
1
a
n
f
(
n
)
”形式时，并且
f
(
n
)
容
易求和，即具有明显的相消规律，或者利用等差、等比求和公式进行求和
，这时
采用累加法。然而，采用累加法求数列通项时，要注意对
n
1
的检验，否则就