最新数列通项公式、前n项和求法总结(全)
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一
.
数列通项公式求法总结：
1.
定义法
——
直接利用等差或等比数列的定义求通项。
特征：适应于已知数列类型（等差或者等比）
．
2
例
1
．等差数列
a
n
是递增数列，前
n
项和为
S
n
，且
a
1
,
a
3
,<
/p>
a
9
成等比数列，
S
5
a
5
．求数列
a
n
的通项公式
.
变式练习：
1.
等差数列
a
n
< br>
中
,
a
7
4,
a
19
2
a
9
,
求
a
n
的通项公式
2.
在
等比数列
{
a
n
}
中
,
a
2
a
1
2
,
且
2
a
2
为
3
a
1
和
a
< br>3
的等差中项
,
求数列
{
a
n
}
的首项、公比及前
n
项和
.
2.
公式法
S
1
<
/p>
n
1
求数列
a
n
的通项
a
n
可用公式
a
n
< br>
求解。
< br>S
S
n
2
n
1
n
特征：已知数列的前
n
项和
S
n
与
a
n
的关系
例
2.
已知下列两数列
{
a
n
}
的前
n
项和
s
n
< br>的公式，求
{
a
n
}
的通项公式。
2
（
1
）
S
n
n
3
n
1
。
（
2
）
s
n
n
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1
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变式练习：
1.
< br>已知数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，且
S
n
=2n
+n
，
n
∈
N
﹡，数列
{b
n
}
满足
a
n
=4log
2
b
n
+3
，
n
∈
N
﹡
.
求
a
n
< br>，
b
n
。
2
2.
已知数列
{
a
n
}
的前
n
项和
S
n
1
2
n
kn
（
k
N
*
）
,
且
S
n
的最大值为
8
，试确定常数
k
并求
a
n<
/p>
。
2
n
2
n
，
n
N
.
求数列
a
n
的通项公式。
3.
已知数列
a
n
的前
n
项和
S
n
2
3.
由递推式求数列通项法
类型
1
特征：递推公式为
a
n
1
a
n
< br>f
(
n
)
对策：把原递推公式转化为
a
n<
/p>
1
a
n
f
(
n
)
，利用
累加法
求解。
例
3. <
/p>
已知数列
a
n
满足
a
1<
/p>
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2
1
1
，
a
n
1
a
n
2
，求
a
n
。
2
n
n
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变式练习：
1.
已知数列
{
a
n
}
满
足
a
n
1<
/p>
a
n
2
n
1
，
a
1
1
，求数列
{
a
n
}
的通项公式。
n
a
1
,
a
a
2
1
n
< br>1
n
2.
已知数列：
求通项公式
类型
2
特征：递推公式为
a
n
1
f
(
n
)
a
n
对策：把原递推公式转化为
a
n
1
f
(
n
)
，利用
累乘法
求解。
a
n
例
4.
已知数列
a
n
满足
a
1
变式练习：
2
n
，
a
n
1
a
n
，求
a
n
。
3
n
1
n
1.
已知数列
a
n
中，
a
1
2
，
a
n
< br>
1
3
a
n
，求通项公式
a
n
。
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2
2
n
2.
设
a
n
是首项为
1
的正项数列，且
n
1
<
/p>
a
n
，求数列的通项公式是
a
n
< br>1
na
n
a
n
1
a
n
0<
/p>
（
=1
，
2
，
3
，…）
类型
3
特
征：递推公式为
a
n
1
pa
n
< br>
q
（其中
p
< br>，
q
均为常数）
对策：
（利用
构造法
消去<
/p>
q
）把原递推公式转化为由
a
n
1
pa
n
q
< br>得
a
n
pa
n
1
q
(
n
<
/p>
2)
两式相减并整理得
a
n
1
a
n
p
,
构成数列
a
n
1
a
n
以
a
2
a
1
为首项，以
p
为公比的等比数列
.
求出
a
< br>n
1
a
n
的通项再转化
a
n
a
n
1
为类型
1
（累加法）便可求出
a
n
.
例
5.
已知数列
a
n
中，
a
1
1
，
a
n
1
2
a
n
3
，求
a
n
.
变式练习：
1.
数列
{
a
n
}
满足
a
1
=1
，
3<
/p>
a
n
1
a
n
7
0
,
求数列
{
a
n
}
的通项公式。
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2. <
/p>
已知数列
a
n
满足
a
1<
/p>
=1
，
a
n
1
3
a
n
1
.
证明
a
n
1
是等比数列，并求
a
n
的通项公式
。
2
类型
4
特征：递推公式为
< br>a
n
1
pa
n
f
(
n
)
（其
中
p
为常数）
对策：
（利用构造法消去
p
）两边
同时除以
p
n
1
可得到
a
n
1
a
n
f
(
n
)
a
n
f
(
n
)
b
b
b
< br>
，令
，则
，再转化
n
n
1
n
p
n
p
n
1
p
n
p
n
1<
/p>
p
n
1
n
为类型
1
（累加法
）
，求出
b
n
之后得
a
n
p
b
n
n<
/p>
1
例
6
．已知数列
{
a
n<
/p>
}
满足
a
n
1
2
a
n
4
3
，
a
< br>1
1
，求数列
{
a
n
}
的通项公式。
n
变式练习：
已知数列
a
n
满足
a
1
1
，
a
n
3
2
a
n
1
(
n
2
)
，
求
< br>a
n
．
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二
.
数列的前
n
项和的
求法总结
1.
公式法
（
1
）等差数列前
n
< br>项和：
S
n
< br>（
2
）等比数列前
n
项和：
q=1
时，
S
n
na
1
n
(
a
1
a
n
)
n
(
n
1)
na
1
d
2
2
q
1
，
S
n
例
1.
已知
log
3
x
变式练习：
a
1
1
q
n
1
q
1
2
3
n
，求
x
x
x
x
的前
n
项和
.
l
og
2
3
1.
设等比数列
a
n
的前
n
项和为
< br>S
n
.
已知
a
2
6,
6
a
1
a
3
30,
求
a
n
和
S
n
.
2.<
/p>
设
{
a
n
}
是等差数列，
{
b
n
}
是各项均为正数的等比数列，且<
/p>
a
1
b
1
1
，
a
3
b
5
21
，
< br>a
5
b
3
13
。
（
1
）求
a<
/p>
n
，
b
n
；
（
2
）求数列
{
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6
b
n
}
的前
n
项和
S
n
。
a
n