高中数学必修五数列知识点
-
一、知识纲要
(1)
数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列
．
(2)
等差、等比数列的定义．
(3)
等差、等比数列的通项公式．
(4)
等差中项、等比中项．
(5)
等差、等比数列的前
n
项和公式及其推导方法．
二、方法总结
1
．数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想．
2
．等差、等比数列中，
a
1
、
a
n
、
n
、
d
(
q
)
、
S
n
“知三求二”
，体现了方程
(
组
)
的思想、整体思想，有时用到换元法．
3
．求等比数列的前
n
项和时要考虑
公比是否等于
1
，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的
思想．
4
．数列求和的基本方法有：
公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等．
三、知识内容：
1.
数列
数
列的通项公式
：
a
n
< br>
a
1
S
1
(
n
1
)
数列的前
n
项和
：
S
n
a
1
a
2
a
3
a
n
S
S
(
n
< br>
2
)
n
1
n
1
、数列：按照一定顺序排列着的一列数．
2
、数列的项：数列中的每一个数．
3
、有穷数列：项数有限的数列．
4
、无穷数列：项数无限的数列．
<
/p>
5
、递增数列：从第
2
< br>项起，每一项都不小于它的前一项的数列．
6
、递减数列：从第
2
项起，每一项都不大于它的
前一项的数列．
7
、常数列：各项相等的数列．
8
、摆动数列：从第
2
项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列．
< br>9
、数列的通项公式：表示数列
a
n
的第
n
项与序号
n
之间的关系的公式．
10
、数列的递推公式：表示任一项
a
n
与它的前一项
a
n
1
（或
前几项）间的关系的公式．
2
例
1.
已知数列
a
n
的前
n<
/p>
项和为
S
n
<
/p>
2
n
n
,
求数列
a
n
的通项公式
.
2
2
当
n
1
时，
a
1
S
1
1
,
当
n
≥
2
时，
< br>a
n
2
n
n
2
(
n
1
)
(
n
1
)
4
n
3
< br>,
经检验
n
< br>
1
时
a
1
1
也适
合
a
n<
/p>
4
n
3
,
∴
a
n
4
n
3
(
n
N
)
2.
等差数列
等差数列的定义
：
如
果一个数列从第
2
项起，
每一项与它的前一项的差等于
同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，
这个常数
叫做等差
数列的公差，公差通常用字母
d
表示。
等差数
列的判
定方法
< br>:
[
来源
:
学
*
科
*
网
]
（
1<
/p>
）定义法：对于数列
a
n
，若
a
< br>n
1
a
n
d
(
常数
)
，则数列
a
n
是
等
差数
列。
（
2
）等差中项：对于数列
a
n
，若
2
a
n
1
a
n
< br>
a
n
2
，则数列
a
n
是等差数列。
等差数列的通项公式
：
如果等差数列
a
n
的首项是
a
1
，公差是
d
，则等差数列的通项为
a
n
a
1
(
n
< br>
1
)
d
。
说明
：该公式整理后是关于
n
的一次函数。
等差数列的前
n
项和
：①
S
n
< br>说明
：对于公式②整理后是关于
n
的没有常数项的二次函数。
[
来源
:
学
#
科
#
网
Z#X#X#K]
等差中项
：
[
来源
:Z_xx_]
如果
a
，
n
(
a
1
a
n
)
n
(
n
< br>
1
)
d
②
S
n
na
1
2
2
A
，<
/p>
b
成等差数
列，那么
A
叫做
a
与
b
的等差中项。即：
A
a
b
或
2
A
a
b
2
说明
：在一个等差数列中，从第
2
项起
，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数
列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。
等差数列的性质：
（
1
）等差数列任意两项间的关系：如果
a
n
是等差数列的第
n
项，<
/p>
a
m
是等差数列的第
m
项，且
m
n
，公差为
d
，则有
a
n
a
< br>m
(
n
m
)
d
[
来源
:Z*xx*]
（
2
）
对于等差数列
a
n
，
若
n
< br>m
p
q
，
则
a
n
a
m
a
p
a
q
。
2
n
p
q
< br>（
n
、
p
、
q
*
）
，
则
2
a
n
a
p
a
q
也就是：
a
1
a
n
a
2
a
n
1
a
3
a
n<
/p>
2
（
3
）若
数列
a
n
a
1
a
,
a
,<
/p>
a
,
,
a
n
2
,
a
n
1
,
a
n
，如图所示：
1
2
3
< br>
a
2
a
n
1
a
n
是等差数列，
S
n
是其
前
n
项的和，
k
N
*
，那么
S
k
，
S
2
k
S
k
，
S
3
k
S
2
k
成等差数列。如下图所示：
<
/p>
S
3
k
a
1
a
2
<
/p>
a
3
a
k
a
k
1
a
2
k
a
2
k
1
<
/p>
a
3
k
<
/p>
S
k
S
2
k
S
k
S
3
k
S
2
k
例
7.
等差数列
{
a
n
< br>}
中，已知
a
1
11
1
，
< br>a
6
，
a
n
=33
，则
n
为（
）
3
3
(A)48
(B)49
(C)50
(D)51
例
12.
已知等差数列
a
n
满足
a
1
a
2
a
3
L
a
101
0
,
则有
(
)
(
A
)<
/p>
a
1
a
101
0
(
B
)
a
2
a
100
0
(
C
)
a
< br>3
a
99
0
(
D
)
a
51
51
2
例
13.
已知数列
a
n
的前
n
项和
S
n
3
n
2
n
，
求证
:
数列
a
n
成等差数列，并求其首项、公差、通项公式
.
解
：
a
1
S
1
3
2
1
,
2
2
当
n
≥
2
时
,
a
n
S
n
S<
/p>
n
1
3
n
2
n
[
3
(
n
1
)
2
(
n
1
)]
6
n
5
,
n
1
时亦满足
∴
a
n
6
n
5
,
∴首项
a
1
1
且
a
< br>n
a
n
1
6
n
5
[
6
(
n
1
)
5
]
6
(
< br>常数
)
∴
a
n
成等差数列且公差为
6
、首项
a
1
1
、通项公式为
a
n
6
n
5
3.
等比数列
等比数列的概念
：
< br>如果一个数列从第
2
项起，
每一
项与它的前一项的比等于同一个常数，
那么这个数列就叫做等比数列，
< br>这个常数叫做等比
数列的公
比，公比通常用字母
q
表示（
q
等比中项<
/p>
：
如果在
a<
/p>
与
b
之间插入一个数
G
，使
a
，
G
，
b
成等比数列，那么
G
叫做
a
与
b
的等比中项。
也就是，
如果是的等比中项，那么
等比数列的判定方法
：
（
1
）定义法：对于数列<
/p>
。
0
）
G
b
2
，即
G
a
G
ab
。
a
n
，若
a
n
1
q
(
q
0
)
，则数列
a
n<
/p>
是等比数列。
[
来源
:
学科网
ZXXK]
a
n
（
2
）
等比中项：对于数列<
/p>
等比数列的通项公式
：
如果等比数列
a
n
，若
a
n
a
n
2
a
n
2
1
，则数列
< br>a
n
是等比数列。
a
1
q
n
1
。
a
n
的首项是
a
1
，公比是
q
，则等比数列的通项为
a
n
等比数列的前
n
项和
：
a
1
a
n
q
a
1
(
1
q
n
)
S
(
q
1
)
< br>S
(
q
1
)
○
1
2
3
当
q
○
n
○
n
1
q
1
q
等比数列的性质：
<
/p>
1
时，
S
n
na
1
n
m
①等比数列任
意两项间的关系：
如果
a
n
是等比数列的第
n
项，
a
m
是等差数列的第
m
< br>项，
且
m
n
，
公比为
q
，
则有
a
n
a
m
q
②对于等比数列
a
< br>n
，若
n
m
u
v
，则
a
n
a
m
a
u
a
v
也就是：
a
1
a
n
a
2
a
n
1
a
3
a
n
2
<
/p>
1
a
n
a
a
,
a
,
a
,
<
/p>
,
a
n
2
,
a
n
1
,
a
n
。如图所示：
1
2
3
< br>
a
2
a
n
1