数列解题技巧归纳总结好
-
知识框架
数列的分类
数列
的概念
数
列的通项公式
函数角度理解
数列的递推关系
等差
数列的定义
a
n
a
n
1
d
(
n
<
/p>
2)
等差数列的通项公式
a
n
< br>
a
1
(
n
1)
d
<
/p>
等差数列
n
n
(
n
1)
等差数列
的求和公式
S
(
a
a
)
na
d
n
1
n
1
2
2
等差数列的性质
a
n
a
m
a
p
a
q
(
m
n
< br>
p
q
)
两个基
a
n
等比数列的定义
< br>
q
(
n
2)
本数列
a
n
1
<
/p>
n
1
等比数列的通项公式
a
n
a
1
q
<
/p>
a
1
a
n
q
a
1
(1
q
n
)
< br>等比数列
数列
(
q
< br>1)
等比数列的求和公式<
/p>
S
n
1
q
1
q
na
< br>(
q
1)
1
等比
数列的性质
a
a
a
a
(
m
n
p
<
/p>
q
)
n
m
p
q
公式法
分组求和
错位相减求和<
/p>
数列
裂项求和
求和
倒序相加求和
累加累积
归纳猜想证明
分期付款
数列的应用
其他
掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握
了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。
一、典型题的技巧解法
1
、求通项公式
（
1
）观察法。
（
2
）由递推公式求通项。
对
于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。
(1)
递推式为
a
n+1
=a
n
+d<
/p>
及
a
n+1
=q
a
n
（
d
，<
/p>
q
为常数）
例
1
、
已知
{a
n
}
满足
a
n+
1
=a
n
+2
，而且
a
1
=1
。求
a
n
。
例
1
、解
∵
a
n+1
-a
n
=2
为
常数
∴
{a
< br>n
}
是首项为
1
，公差为
2
的等差数列
∴
a
n
=1+2<
/p>
（
n-1
）
即
a
n
=2n
-1
例
2
、
已知
{
a
n
}
满足
a
n
<
/p>
1
1
a
n
，而
a
1
2
，求
a
n
=
？
2
（
2
）
< br>递推式为
a
n+1
=a
n
+f
（
n
）
例
3
、已知
{
a
n
}
中
a
1
1
1
，
a
n
1
<
/p>
a
n
2
，求
a
n
.
2
4
n
1
1
1
< br>1
1
(
)
(
2
n
1
)(<
/p>
2
n
1
)
2
2
n
1
2
n
1
解：
< br>由已知可知
a
n
1
a
n
< br>
令
n=1
，
< br>2
，…，
（
n-1
）
，代入得（
n-1
）个等
式累加，即（
a
2
-a
1
）
+
（
a
3
-a
2
）
+
…
+
（
a
n
-a
n-
1
）
1
1
4
n
3
a
n
a
1
(
1
< br>
)
2
2
n
1
4
n
2
★
说明
只要和
f
（
1
）
+f
（
2
）
+
…
+f
（
n-1
）是可求的，就可以由
a
n+1
=a
n
+f
（
n
）以
n=1
，
2
，…，
（
n-1
）代入，可得
n-1
个等式累加而求
a
n
。
(3)
递推式为
a
n+1
=pa
n
+
q
（
p
，
q<
/p>
为常数）
例
4
、
{
a
n
}
中，
a
1
1
，对于
n
＞
1
（
n
∈
N
）有
a
n
3
a
< br>n
1
2
，求
a
n
.
解法一：
由已知递推式得
a
n+1
=3a
n
+2
，
a
n
=3a
n-1
+2
。两式相减：
a
n+1
-a
n
=3
（
a
n
-a
n-1
）
因此数列
{a
n+1
-a
n
}
是公比为
3
的等比数列，其首项为
a
2
-a
1
=
（
3
×
< br>1+2
）
-1=4
n-1
n-1
n-1<
/p>
∴
a
n+1
-a
n
=4
·
3<
/p>
∵
a
n+1
=3a
n
+2
∴
3a
n<
/p>
+2-a
n
=4
·
3
即
a
n
=2
·
3
-1
2
n-2
解
法二：
上法得
{a
< br>n+1
-a
n
}
是公比为
3
的等比数列，
于是
有：
a
2
-a
1
=4
，
a
3
-a
2
=4
·
3
，
a
4
-a
3
=4
·
3
，
…，
a
n
-a
n-1
=4<
/p>
·
3
，
把
n-1
个
等式累加得：
∴
an=2
·
3n-1-1
(4)
递推式为
a
n+1
=p
a
n
+q n
（
p
，
q
为常数）
b
n
1
b
n
b
1
n
1
< br>n
2
2
3
(
)
2
(
)
(
b
n
b
n
1
)
由上题的解法，得：
b
n
3
2<
/p>
(
)
n
∴
a
n
n
n
2
3
3
3
2
(5)
递推式为
a
n
2
pa
n
1
qa
n
思路：设
a
n
2
< br>pa
n
1
qa
n
,
可以变形为：
a
n
2
a
n
1
(
a
n
<
/p>
1
a
n
)
，
想
于是
{a
n+1
-
α
a
n
}
是公比为β的等比数列，就转化为
前面的类型。
求
< br>a
n
。
(6)
递推式为
S
n
与
a
n
的关系式
< br>关系；
（
2
）试用
n
表示
a
n
。
∴
S
n
1
S
n
(
a
n
a
n
< br>1
)
(
∴
a
n
1
a
n
a
n
1
n+1
n+1
n
1
n
2
1
2
n
1
n
∴
a
n
< br>1
2
2
1
1
a
n
n
2
2
1
n
1
)
上式两边同乘以
2
得
2
a
n+1
=2
a<
/p>
n
+2
则
{2<
/p>
a
n
}
是公差为
2
的等差数列。
n
∴
2
a
n
= 2+
（
n-1
< br>）
·
2=2n
数列求和的常用方法：
1
、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数列求和。
< br>
2
、错项相减法：适用于差比数列（如果
a
n
< br>等差，
b
n
< br>
等比，那么
a
n
b
n
< br>叫做差比数列）
即把每一项都乘以
b
n
的公比
q
，
向后错一项，
再对应同次项相减，
转化为等比数列求和。
3
、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有
限几项，可求和。
1
1
< br>
适用于数列
（其中
a
n
等差）
和
a
a
a
a
n
n
1
n
1
< br>n
可裂项为：
1
1
1
1
1
1
(
)
，
(
a
n
1
a
n
)
< br>a
n
a
n
1
d
a
n
a
n
1
a
n
a
n
1
d
等差数列前
n
项和的最值
问题：
1
、若等差数列
a
n
< br>的首项
a
1
< br>0
，公差
d
< br>0
，则前
n
项和
S
n
有最大值。
（ⅰ）若已知通项
a
n
，
则
S
n
最大
a
n
0
；
a
0
n
1
q
< br>的非零自然数时
S
n
最大；
2
p
2
（ⅱ）若已知
S
n
<
/p>
pn
qn
，则
当
n
取最靠近
2
、若等差数列
a
n
的首项
a
1
0
，公差
d
0
，则前
n
项和
S
n
< br>有最小值
（ⅰ）若已知通项
a
n
，则
S
n<
/p>
最小
a
n
0
；
a
0
n
< br>1
q
的非零自然数时
S
n
最小；
2
p
2
（ⅱ）若已知
S<
/p>
n
pn
qn
，则当
n
取最
靠近
数列通项的求法：
⑴公式法
：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。
< br>
⑵已知
S
n
< br>（即
a
1
a
2
L
a
n
f<
/p>
(
n
)
）求
a
n
，
用作差法<
/p>
：
a
n
S
1
,(
n
1)
。
S
n
S
n
1
,(
n
2)
f
(1),(
n
1)
f
< br>(
n
)
a
2
g
L
g
a
n
f
(
n
)
求
a
n
，
用作商法：
a
n
已知
a
1
g
。
,(
n
2)
f
(
n
1)
< br>⑶已知条件中既有
S
n
还有
a
n
，有时先求
S
n
，再求
a
n
；有时也可直接求
a
n
。
⑷若
a
< br>n
1
a
n
f
(
n
)
求
a
n
用累加法
：
a<
/p>
n
(
a
n
a
n
1
)
(
a
n
1
a
n
2
)
L<
/p>
(
a
2
a
1
)
a
1
(
n
2)
< br>。
a
a
a
a
⑸已知
n
1
f
(
n
)
求
a
n
，
用累乘法
：<
/p>
a
n
n
n
1
L
2
a
1
(
n
2)
。
a
n
a
n
1
a
n
2
a
1
⑹已知递推关系求
a
n
，
用构造法
（构造等差、等比数列）
。
n
特别地
，
（
1
）形如
a
n
ka
n<
/p>
1
b
、
a
n
ka
n
1
b
（
k
< br>,
b
为常数）的递推数列都可以用待定系数法转
n
n
化为公比为
k
的
等比数列
后，再求
a
n
；
形如
a
n
ka
n
1
k
的递推数列都可以除以
k
得到一个等差数<
/p>
列后，再求
a
n
。
（
2
）形
如
a
n
a<
/p>
n
1
的递推数
列都可以用倒数法求通项。
ka
n<
/p>
1
b
k
（
3
）形如
a
n
1
a
n
的递推数列都可以
用对数法求通项。
（
7
）
（理科）
数学归纳法
。<
/p>
（
8
）当遇到
a
n
1
a
n
1
d
或
a
n
1
< br>
q
时，
分奇数项偶数项讨论<
/p>
，
结果可能是分段形式
。
a
n
1
数列求和的常用方法：
（
1
）公式法
：①等差数列求和公式；②等比
数列求和公式。
（
2
）分组求和法
：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先
合并在一起，再运用公
式法求和。
（
3
）倒序相加法
：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑
选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前
n
和公式的推导方法）
.
（
4
）
错位相减法
：如
果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用
错位
相减法（这也是等比数列前
n
和公式的推导方法）
.
（
5
< br>）
裂项相消法
：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形
式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项
相消法求和
.
常用裂项形式有：
1
1
1
1
；
②
<
/p>
1
(
1
1
)
；
n
(
n
1)
n
n
< br>1
n
(
n
k
)
k
n
n
k
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
< br>
2
；
③
2
2
(
)
，
k
k
1
(
k
1)
k
k
(
k
1)
k
k
1
k
k
k
1
2
k
1
k
1
n
1
1
1
1
1
1
< br>
[
]
；⑤
④
；
<
/p>
(
n
1)!<
/p>
n
!
(
n
1)!
n
(
n
1)(
n
2)
2
n
(
n
1)
(
n
1)(
n
2)
2
2
⑥
2(
n
1
n
)
1
2(
n
n
1)
<
/p>
n
n
1
n
n
n
1
①
二、解题方法：
求数列通项公式的常用方法：
1
、
公式法
2
、
由
S
n
求
a
n
（
n
1
时，
a
1
S
1
，
n
2
< br>时，
a
n
S
n
S
n
1
）
3
、求差（商）法
< br>1
1
1
a
1
2
a
2
……
n<
/p>
a
n
2
n
5
2
2
2
1
解：
n
1
时，
a
1
2
1
< br>5
，∴
a
1
14
2
1
1
1
n
2
时，
a
1
2
a
2
……
<
/p>
n
1
a
n
1
2
n
1
5
2
2
2
1
< br>1
2
得：
n
a
n
2
2
如：
a
n
满
足
∴
a
n
2
∴
a
n
［练习］
数列
a
n
< br>
满足
S
n
S
n
1
n
1<
/p>
1
2
14
(<
/p>
n
1
)
2
n
1
(
n
2
)
5
a
n
1
，
a
1
4<
/p>
，求
a
n
3
S
n
1
4
S
n
（注意到
a
n
1
S
n
1
S
n
代入得：
n
又
S
1
4
，∴
S
n<
/p>
是等比数列，
S
n
4
n
2
时，<
/p>
a
n
S
n
S
n
1
……
3
·
4
< br>
4
、叠乘法
例如：数列
a
n
中，
< br>a
1
3
，
n
1
a
n
1
n
，求
a
n
a
n
n
1
解：
a
2
a
a
a
1
2
n
1
1
·
3
……
n
·
……
，∴
n
a
1
a
2
a
n
1
2
3
n
a
1
n
又
a
1
3
，∴
a
n
3
n
5
、等差型递推公式
由
a
n
a
n
1
f
(
n
)
，
a
1
a
0
，求
a
n
，用迭加法
n
2
时，
a
2
a
1<
/p>
f
(
2
)
a
3
a
2
f
(
3
)
两边相加，得：
< br>……
……
a
< br>n
a
n
1
f
(
n
)
a
n
<
/p>
a
1
f
(
2
)
f
(
3
)
……
f
< br>(
n
)
∴
a
n
a
0
<
/p>
f
(
2
)
f
(
3
)
……
f
(
n
)
< br>
［练习］
n
1
数列
a
n<
/p>
，
a
1
1
，
a
n
3
a
n
1
n
2
，求
a
n
（
a
n
1
n
3<
/p>
1
）
2
6
、等比型递推公式
a
n
ca
n
1
d
c
、
d
为常数，
c
<
/p>
0
，
c
1
，
d
0
可转化为等
比数列，设
a
n
x
c
a
n
1
<
/p>
x
a
n
ca
n
1
c
1
x
令
(
c
1
)
x<
/p>
d
，∴
x
∴
<
/p>
a
n
d
c
1
d
d
是首项为
a
，
c
< br>为公比的等比数列
1
c
1
c
1
∴
a
n
d
d
< br>n
1
a
1
·
c
c
1
c
1
d
n
< br>
1
d
c
c
1
c
1
∴
a<
/p>
n
a
1
［练习］
数列
a
n
满足
a
1
9
，<
/p>
3
a
n
1
a
n
4
，求
a
n
4
（
a
n
8
3
7
、倒数法
n
1
1
）
例如：
a
1
1
，
a
n
1<
/p>
2
a
n
，求
a
n
a
n
2
由已知得：
1
a<
/p>
n
1
a
n
2
1
1
2
a
n
2
a
n
< br>∴
1
a
n
1
1
1
a
n
2
1
1
1
为等差数列
，
1
，公差为
a
1
2
a
n
1
1
1
1
n
1
·
< br>
n
1
a
n
2
2
∴
a
n
2
n<
/p>
1
2
．数列求和问题的方法
（
1
）
、应用公式法
等差、等比数列可直接利用等差、等比数列的前
< br>n
项和公式求和，另外记住以下公式对求和来说是有益的。
2
1
＋
3
＋
5
＋
……＋
(2n-1)=n
【例
8
】
<
/p>
求数列
1
，
（<
/p>
3+5
）
，
（<
/p>
7+9+10
）
，
（
13+15+17+19
）
，…前
n
项的和。
1
解
本题实际是求各奇数的和，在数列的前
n
项
中，共有
1+2+
…
+n=
n
(
n
1
)
个奇数，
2
1
2
∴最后一个奇数为：
1+[
n(n+1)-1]
×
2=n
+n-1
2<
/p>
因此所求数列的前
n
项的和为
（
2
）
、分解转化法
对通项进行
分解、组合
,
转化为等差数列或等比数列求和。
2
2
2
2
2
2
2
【例
9
】
求和
S=1
·
（
n
-1
）
+ 2
·
（
n
-2
）
+3
·
（
n
-
3
）
+
…
+n
（
n
-n
）<
/p>
解
S=n
（
1+2+3+
…
+n
）
-
（
1
+2
+3
+
…
+n
）
（
3
）
、倒序
相加法
2
3
3
3
3