数列中的奇偶分析法问题研究
-
数列中的奇偶分析法问题
数列奇偶求通项公式：
【典例
1
】数列
式为
___
___
解析：由
－
＝
4
．
是首项为
，公差为
4
的等差数列．数列
是首项为
，公差为
4
的
＋
＝
4n
－
3(n
∈
)
，得
＋
＝
4n
＋
1(n
∈
)
．两式相减，得<
/p>
满足
＋
＝
4n<
/p>
－
3(n
∈
)<
/p>
，当
＝
2
时，则
数列
的通项公
所以数列
等差数列．由<
/p>
＋
＝
1
，
＝
2
，得
＝－
1
．所以
＝
(k
∈
Z)
．
数列奇偶求前
N
项和：
6
n
5
(
n
为奇数
)
【典例
2
】
已知数列
{
a
n
}
的通项
a
n
n
，求其前
n
项和
S
n
．
(
n
为
偶数
)
2
【
解析】
奇数项组成以
a
1
1
为首项，
公差为
12
的等差数列，
偶数项组成以
a
2
4
< br>为首项，
公比为
4
的等比数列；
当
n
为奇数时，奇数项有
n
1
n
1
项，偶数项有
项，∴
2
2
n
1
n
1
(1
6
n
5)
4(1
4
2
)
(
n
< br>
1)(3
n
2)
4(2
n
1
1)
2
，当
n
为偶数时，奇数项
S<
/p>
n
2
1
4
2
3
n
n
(1
6
< br>n
5)
n
2
4(1
4
)
n
(3
n
2)
4(2
1)
n
和偶数项分别有
项，
∴
S
n
2
，所以，
2
2
1
4
2
< br>3
(
n
1)(3
n
2)
4(2
n
< br>1
1)
2
3
S
n
n<
/p>
n
(3
n
2)
4(2<
/p>
1)
2
3
(
n
为奇数
)
．
(
n
为偶数
)
2
n
1,
n
为奇数，
练习
1
：已知
a
n
n
则数列
a
n
的前
n
项和
S
n
________
．
2
，
n
为偶数，
【解析】①设
< br>n
2
m
m
N
,
则
m
n
,
2
n
2
2
m
< br>m
2
2
2
m
2
m
,
故此时
S
n
2
n
1
2
．②设
2
n
-1
,
n
2
m
+1
m
< br>N
,
n
＝
2
m
＋
1(
m
∈
N<
/p>
*
)
，则
m
2
S
2
m
2
2
2
< br>
第
1
页
共
8
页
S<
/p>
2m+1
S
2
m
a
2
m
1
2
2
2
m
2
< br>m
2
2
m
1
1
2
2
2
m
1
3
m
,
故此时
n
n
1
2
< br>
2
,
n
为偶数
n
5
2
,
S
n
．
S
n
2
n
1
n
< br>
5
2
2
n
1
，
n
为奇数
2
2
．
（扬州市
2015
—
2016
学年度第一学期期末检测试题·
20
）若数列
a
n
中不超过
f
(
m
)
的
项数恰为
b
m
（
m
N
）
，
< br>则称数列
b
m
是数列
a
n
的生成数列，
称相应的函
数
f
(
m
)<
/p>
是数
*
列
a
n
生成
b
m
的控制函数
.
2
2
（
1
）已知
a
n
n
，且
f
(
m
)
m
，写出
b
1
、
b
2
、
b
3
；
（
2
）已知
a
n
2
n
，且
f
(
m
)
m
，求<
/p>
b
m
的前
m
项和
S
m
；
【解析】
（
1
）
m
1
，则
a
1
1
1
b
< br>1
1
；
m
2
，则
a
1
1
<
/p>
4
，
a
2
4
4
b
2
2
m
< br>
3
，则
a
1
1
9
，
a
2
<
/p>
4
9
a
3
9
9
b
3
3
（
2
）
m
为偶数时，则
2
n
m
，则
b
m
m
m
1
；
m
为奇数时，则
2
n
m
1
，则
b
m
；
2
2
m
1
(
m
为奇数
)
2
b
m<
/p>
m
(
m
为偶数
)
2
m
为偶数时，则
S
m
b
1<
/p>
b
2
m
为奇数时，则
S
m
b
1
b
2
1
b
m
(1
2
2
1
m
m
2
；
m
)
<
/p>
2
2
4
(
m
1)
2
m
1
m
2
1
；
< br>
b
m
S
m
1
b
m
1
4
2
4
m
2
1
< br>(
m
为奇数
)
< br>
4
S
m
2
m
(
m
为偶数
)
4
3.
（
2017
·镇江一模·
19
）已知
n
N
，数列
a
n
的各项均为正数，前
n
项和为
S
n
，且
a
1
1
,
a
2
2
，设
b
< br>n
a
2
n
1
a
2
n
．
（
1
）若数列
<
/p>
b
n
是公比为
3
的等比数列，求
S
< br>2
n
；
2
a
n
n
（
2
）若对任意
n
N
，
S
n
恒成立，求数列
< br>
a
n
的通项公式；
2
第
2
页
共
8
页
n<
/p>
（
3
）若
S
2
n
3
(
2
1
)
，数列
a
n
a
n
< br>1
也为等比数列，求数列的
a
n
通项公
式．
解：
（
1
）
b
1
<
/p>
a
1
a
2
1
2
3
，
S
2
n
(
a
1
a
2
)
(
a
3
a
4<
/p>
)
(
a
2
n
1
a
2
n
)
b
1
b
2
3(1
3
n
)
3(3
n
1)
.
b
n
1<
/p>
3
2
（
2
）当
n
≥
2
时，由
2
S
n
a
n
2
n
，
< br>2
S
n
1
a
n
1
2
n
1
，
则
2
a
n
2
S
n
2
S
n
1
a
n
2
n
<
/p>
(
a
n
1
2
n
1)
a
n
2
a
< br>n
1
2
1
，
(
a
n
1)
2
a
n
1
2
0
，
(
a
n
a
n
1
1)(
a
n
a
n
1
<
/p>
1)
0
，
故
a
n
a
n
1
1
，或
a
n
a
n
1
1
.
（
*
）<
/p>
< br>下面证明
a
n
a
n
1
1
对任意的
n
< br>
N*
恒不成立
.
事实上，因
a
1
a
2
3
，则
a
n
a
n
1
1
不恒成立；
若存在
n
N*
，
使
a
n
a
n
< br>1
1
，
设
n
0
是满足上式最小的正整数，<
/p>
即
a
n
0
a
n
0
1
1
，
显然
n
0
< br>
2
，
且
a
n
0
1
(0,1)
，则
a
n
0
1
a
n
0<
/p>
2
1
，则由（
*
）式知，
a
n
0
1<
/p>
a
n
0
2
1
，则
a
n
0
2
0
< br>，矛盾
.
故
a
n
a
n
1
1
对任意的
n
N*
恒不成立，
所以
a
n
a
n
< br>
1
1
对任意的
n
N*
< br>恒成立
.
因此
{
a
n
}
是以
1
为首项，
1
为公差的等差数列，所以
a
< br>n
1
(
n
1)
n
.
（
3
）因数列
{
a
< br>n
a
n
1
}
为等比数列，设公比为
q
，则当
n
≥
2
时，
a
n
a
n
1
a
n
1
< br>
q
.
a
n
1
a
n
a
n
<
/p>
1
即
{
a
2
n
1
}
，
{
a
2
n
}
是分别是以
1
，
2
为首项，公比为<
/p>
q
的等比数列；
故
a
3
q
，
a
4
2
q
.
令
n
2
，有
S
4
a
1
a
2
a
3
a
4
1<
/p>
2
q
2
q
9
，则
q
2
.
当
q
2
时，
a
2
n
1
2
n
1
，
a
2
n
2
2
n
1
2<
/p>
n
，
b
n
a
2
n
1
a
2
n
3
2
n
1
，此时
S
2
n
(
a<
/p>
1
a
2
)
(
a
3
a
4
)
(
a
2
n
1
a
2
n<
/p>
)
b
1
b
2
3(1
2
n
)
b
n
3(2
n
1)
.
1
2
1
n
2
2
,
当
n
为奇
数
综上所述，
a
n
n
.
2
2
,
当
n
为偶数
第
3
页
共
8
页
<
/p>
4
、
（苏北四市（徐州、淮安、连云港、
宿迁）
2017
届高三上学期期末）已知正项数列
a
n
< br>
的前
n
项和为
S
n
，且
a
< br>1
a
,(
a
n
1)(
a
n
1
1)
6(
S
n
n
)<
/p>
，
n
N
．
（
1
）求数列
a
n
的通项公式；
（<
/p>
2
）若对于
n
N
，都有
S
n
≤
n
(3
n
1)
成立，求实数
a
取值范围；
（
3
）
当
a
2
时，
将数列
a
n
中的部分项按原来的顺序构成数列
b
n
，
且
b
1
a
2
，
证明：
存在无数个满足条件的无穷等比数列
<
/p>
b
n
．
（
1
）当
n
=
1
时，
(
a
1
+
1)(
a
2
+
1)
=
6(
S
1
+
1)
，故
a
2
=
5
；
当
n
≥
2
时，
(
a
n
-
1
+
1)(
a
n
+
1)
=
6(
S
n
-
1
+
n
-
1)
，
所以
(
a
n
+
1)(
a
n
+1
+1
）
-
(
a
n
< br>-
1
+
1)(
< br>a
n
+
1)
=
6(
S
n
+
n
)
-
6
(
S
n
-
1<
/p>
+
n
-
1)
，
即
(
a
n
+
1)(
a
n
+
1
-
a
n
-
< br>1
)
=
6(
a
n
+
1)
，
又
a
n
>
0
，所以
a
n
+
1
-
a
n
-
1
=
6
，
所以
a
2
k
-
1
=
a
+
6(
k
-
1)
=
6
k
+
a
-
6
，<
/p>
a
2
k
=
5+6(
k
-
1)<
/p>
=
6
k
-
1
，
k
Î
N
*
，
ì
ï
3
n
+
a
-
3,
n
为奇数
,
n
?
N
*
,
ï
故
a
n<
/p>
=
í
*
ï
3
n
-
1,
n
为偶数
< br>,
n
?
N
.
ï
î
（
2
）当
n
为奇数时，
S
n
=
1
(3
n
+
a
-
2)(3
n
+
3)
-
n
，
6
3
n
2
+
3
n
+
2
由
S
n
≤
n
(3
n
+
1)
得，
a
≤
恒成立，
n
+
1
3
n
< br>2
+
9
n
+
4
3
n
2
+
3
n
+
2
>
0
，
令
f
(
n
)
=
，则
f
(
n
+
1)
-
f
(
n
)
=
(
n
+
2)(
n
+
1)
n
+
1<
/p>
所以
a
≤
f
(1)
=
4
．
当
n
为偶数时，
S
n
=
1
?
3
n
(3
n
6
a
+1)
-
n
，
由
S
n
≤
n
(3
n
+
< br>1)
得，
a
≤
< br>3(
n
+
1)
< br>恒成立，
所以
a
≤
9
．
< br>又
a
1
=
a
>
0
，所以实数
< br>a
的取值范围是
(0,4]
．<
/p>
（
3
）当
a
=
2
时，若
n
为奇数，则
a
n
=
3
n
-
1
，所以
a
n
=
3
n
-
1
．
解法
1
：
令等比数列
{
b
n
}
的公比
q
=
4
m
(
m
?
N
*
)
，则
b
< br>n
=
b
1
q
n
-
1
=
5
?
4
m
(
n
-
1)
．
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