人教版高中数学必修2数列综合专项练习讲义
-
专题
数列综合
知识梳理
1.
数列的通项
求数列通项公式的常用方法：
（
1
）观察与归纳法：先观察哪些因素随项数
n
的变化而变化，哪些因素不变：
分析符号、数字、字母与项数
n
在变化过程中的联系，初步归纳公式。
（
2
）公式法：等差数列与等比数
列。
等差数列
{
a
n
}
中，
a
n
a
1
(
n
1)
d
，
S
n
a
1
a
n
n
na
< br>2
1
n
n
1
d
2
q
1
na
1
S
n
a
1
1
q
n
q
1
n
<
/p>
1
1
q
等比数列
{
a
n
}
中，
a
n
a
1
q
，
n
1
S
1
（
3
）利用
S
n
与
a
n
的关系求
a
n
：
则
a
n
（注意：
不能忘记讨论<
/p>
S
S
n
2
n
1
n
n
1
）
（
4
）
逐项作差求和法
（累加法）
；
已知
a
n
a
n
1
f
(
n
)(
n
2
)
，
且
{f(n)}
的和可求，
求
a
n
用累加法
<
/p>
（
5
）逐项作商求积法（累积法）
;
已知
求
a
n
用累乘法
.
（
6
）转化法
2
几种特殊的求通项的方法
（一）
a
n
1
ka<
/p>
n
b
型。
（
1
）当
k
1
时，
a
n
1
a
n
< br>b
a
n
是等差数列，
a
n
bn
< br>(
a
1
b
)
（
2
）
当
k
1
时，
设
a
n
1
m
k
(
a
n
m
)
，
则
a
n
m
<
/p>
构成等比数列，
求出
< br>
a
n
m
的通项，进一步求出
a
n
的通项。
a
n
f
(
n
)(
n
2
)
< br>，且
{f(n)}
的和可求，
a
n
1
1
/
7
（二）
、
a
n
1<
/p>
ka
n
f
(
n
)
型。
（
1
）当
k
1
时，
a
n
1
a
n
f
(
n
)
，若
f
(
n
)
可求和，则可用累加消项的方法。
（
2
）
当
k
1
时，
可设
a
n
1
g
(
x
1)
k
a
n
g
(
x
)
，
则
<
/p>
a
n
g
(
x
)
构成等比数列，
求出
a
n
g
(
x
)
的通项，<
/p>
进一步求出
a
n
的通项。
（注意
< br>g
(
x
)
所对应的函数类型）
（三）、
a<
/p>
n
1
f
(
n
)
a
n
型。
（
1
）若
f
(
n
)
是常数时，可归为等比
数列。
（
2
）若
f
(
n
)
可求积，可用累积法化简求通项。
（
四）、
a
n
k
ma
n
1
1
1
k
1
，令
C
n
，则
型。两边取倒数，可得到
k
m
< br>a
n
1
a
n
a
n
1
m
a
n
C
n
可转化为
a
n
1
ka
n
b
型
3.
数列求和的常用方法：
（
1
）
公式法
：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式
（
2
）
分组求和法
：
在直接运用公式法求和有困难时，
常将
< br>“和式”
中
“同类项”
先合并在
一起，
再运用公式法求和
.
（
3
）
倒序相加法<
/p>
：在数列求和中，若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性
或数
列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性
的作用求和（这也是
等差数列前
n
和公式的推导方法）
.
（
4
）
错位相
减法
：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的
通项相乘构成，那么常选用错位相减法，将其和转化为“一个新的的等比
数列的和”求
解（注意：一般错位相减后，其中“新等比数列的项数是原
数列的项数减一的差”
！
）
（这也是等比数列前
n
和公式的推导方法之一）
.
（
5
）
裂项相消法
：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂
后相关联，那么常选用裂
项相消法求和
.
常用裂项形式有：
<
/p>
①
1
1
1
1
②
1
(
1
1
)
n
(
n
< br>
1)
n
n
1
n
(
n
k
)
k<
/p>
n
n
k
1
1
1
1
[
]
n
(
n
< br>
1)(
n
< br>2)
2
n
(
n
1)
(
n
1)(
n
2)
③
2
/
7
例题精讲
:
例
1
、
（
1<
/p>
）已知数列
a
n
中，
a
1
1
，
a
n
1
a
n
3
，求
a
n
（
2
）已知数列
a
n
中，
a<
/p>
1
1
，
a
n
1
a
n
3
n
，求
a
< br>n
（
3
）已知
a
n
中，
a
1
3,
a
n
1
a
n
< br>2
n
，求
a
n
。
例
2
、
（
1
）已知数列
a
n
中，
a
1
1
,
a
n
1
2
a
n
，求
a
< br>n
（
2
）已知数列
a
n
中，
a<
/p>
1
1
，
a
n
1
2
n
a
n
,
求
a
n
例
3
、已知数列
a
n
中，
a
1<
/p>
1
，
a
n
1
2
a
n
3
,
求
a
n
3
/
7