高中数学数列知识点整理
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数列
1
、数列中
a
n
与
S
n
之间的关系：
,<
/p>
(
n
1)
S
1
注意通项能
否合并。
a
n
S
S
,(
n
2)
.
n
1
<
/p>
n
2
、等差数列：
⑴定义：
如果一个数列从第
2
项起，
每一项与它的前一项的差等于同一个常数，
< br>即
a
n
－
a
n
1
=
d
，
（
n
≥
2
，
n
∈
N
）
，
那么这个数列就叫做等差数列。
⑵等差中项：若三数
a
、
A
、
b
成等差数列
A
⑶通项公式：
a
n
a
< br>1
(
n
1)
d
a
m
(
n<
/p>
m
)
d
或
a
n
pn
q
(
p
、
q
是常数）
.
⑷前
n
项和
公式：
a
b
2
n
n
1
n
a
1
< br>a
n
S
n
na
1
d
2<
/p>
2
⑸常用性质：
①若
m
n
p
q
m
,
n
,
p
,
q
N
，则
a
m
a
n
a
p
a
q
；
②下标为等差数列的项
a
k
,
a
k
m
,
< br>a
k
2
m
,
，
仍组成等差数列；
③数列
a
n
b
（
< br>,
b
为常数）仍为等差数列；
④若
{
a
n<
/p>
}
、
{
b
n
}
是等差数列，则
{
ka
n
}
、
{
ka
n
<
/p>
pb
n
}
(
k
、
，…也成等
差数列。
{
a
p
nq
}(
p
,
q
N
*
)
、
⑤单调
性：
a
n
的公差为
d
，则：
ⅰ）
d
0
a
n
为递增数列；
ⅱ）
d
0
a
n
为递减数列；
ⅲ）
< br>d
0
a
n
为
常数列；
⑥数列
{
< br>a
n
}
为等差数列
a
n
< br>pn
q
（
p,q
是常数）
⑦若等差数列<
/p>
a
n
的前
n
项和
S
n
，则
S
k
、
S
2
k
S
k
、
< br>S
3
k
S
2
k
…
是等差数列。
3
、等比数列
⑴定义：
如果一个数列从第
2
项起，
每一项与它的前一项的比等于同一个常数，
那么这个数
列就叫做等比数列。
p
是非零常数
)
、
G
< br>、
b
成等比数列
G
ab
,
（
ab
同号）
⑵等比中项：若
三数
a
、
。
反
之不一定成立。
2
⑶通项公式：
a
n
a
1
q
n
1
a
m
< br>q
n
m
⑷前
n
项和公式：
S
n
⑸常用性质
①若
m
n
p
< br>q
m
,
n
,
p
,
q
N
<
/p>
，则
a
m
a
n
a
p
a
q
；
②
< br>a
k
,
a
k
m
,
a
k
2
m
,
为等比数列，公比为
< br>q
k
(
下标成等差数列
,
则对应的项成等比数列
)
< br>③数列
a
< br>n
（
为不等于零的常数）仍是公比为
q
的等比数列；正项等比数列
a
n
；则
a
1
1
q
n
1
q
a
1
a
n
q
1
q
lg
a
n
是公差
为
lg
q
的
等
差
数列；
④若
a
n
是
等比数列，则
ca
n
，
a
n
，
2
1
<
/p>
，
a
n
r
2
1
a
(
r
Z
)
q
，
q
，
，
q
r
.
<
/p>
是等比数列，公比依次是
n
q
⑤单调性：
a
1
0,
q
1
或
a
1
0,0
q
1
< br>
a
n
为递增数列；
a
1
0,0
q
1
或
a
1
0,
q
1
a
n
为递减数列；
q
1
a
n
<
/p>
为常数列；
q
0
a<
/p>
n
为摆动数列；
⑥既是等差数列又是等比数列的数列是常数列。
⑦若等比数列
a
n<
/p>
的前
n
项和<
/p>
S
n
，则
S
k
、
S
2
k
S
k
、
S
3
k
< br>
S
2
k
…
是等比数列
.
4
、非等差、等比数列通项公式的求法
类型Ⅰ
观察法：
已知数列前若干项，
求该数列的通项时，
一般对所给的
项观察分析，
寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项。
类型Ⅱ
公式法：
< br>若已知数列的前
n
项和
S
n
与
a
n
的关系，求数列
a
n<
/p>
的通项
a
n<
/p>
可用
公式
a
n
,
(
n
1)
S
1
构造两式作差求解。
S
n
S
n<
/p>
1
,(
n
2)
用此公式时要注意结论有两种可能，
一种是“一分为二”
，即分段式；另一种是“合二
为一”
，即
a
1
和
a
n
合为一个表达，
（
要先分
n
1
和
n
2
两种
情况分别进行运算，然后验证
能否统一）
。
类型Ⅲ
累加法：
形如
a
n
1
a
n
f
(
n
)
型的递推数
列
（其中
f
(
n
)
是关于
n
的函数）可
构造：
a
n
a
n
1
f
(
n
1)
a
a
f
(
n
2)
n
1
n
2
..
.
a
2
a
1
f
(1
)<
/p>
将上述
n
1<
/p>
个式子两边分别相加，可得：
a
n
f
(
n
1)
f
(
n
2)
...
f
(2)
f
(1)
a
1
,(
n
2)
①若
f
(
n
)
< br>是关于
n
的一次函数，累加后可转化为等差数列求和
;
②
若
f
(
n
)
是关于
n
的指数函数，
累加后可转化为等比数列求和
;
③若
f
(
n
)
是关
于
n
的二次函数，累加后可分组求和
;
④若
f
(
n<
/p>
)
是关于
n
的分
式函数，累加后可裂项求和
.
类型Ⅳ
累乘法：
形如
a
n
1
a
n
f
(
n
)
a
n
1
f
< br>(
n
)
型的递推数列
（其中
f
(
n
)
是关于
n
的函数）
可构造：
a<
/p>
n
a
n
a
f
(
n
1)
n
< br>1
a
n
1
f
(
n
2)
<
/p>
a
n
2
.
..
a
2
a
< br>
f
(1
)
1
将上述
n
1
个式子两边分别相乘，可得：
a
n
f
(<
/p>
n
1)
f
(
n
2)
...
f
(2)
f
(1)<
/p>
a
1
,(
n
2)
有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。
类型Ⅴ
构造数列法：
㈠形如
a
n
1
pa
n
q
（其中
p
,
q
均为常数且
p
< br>0
）
型的递推式：
（
1
）若<
/p>
p
1
时，数列
{
a
n
}
为等差数列
;
（
2
）若
q
0
时，数列
{
a
n
}
为等比数列
;
（
3
）若
p
< br>
1
且
q
0
时，数列
{
a
n
}
为线性递推数列，其通项可
通过待定系数法构造等比
数列来求
.
方
法有如下两种：
法一：
设
a
n
1
< br>
p
(
a
n
)
,
展开移项整理得
a
n
< br>
1
pa
n
(
p
1)
,
与
题设