数学篇数列讲解
-
.
第五章
数列
学习要求：
1.
了解数列和其通项公式、前
n
项和的概念
< br>
2.
理解等差数列、等差中项的概念，会用等
差数列的通项公式、前
n
项和公式解决有
关问题
.
3.
理
解等比数列、等比中项的概念，会用
等比数列的通项公式、前
n
项和公式解决有
关问题
.
一、数列的概念
1.
定义
按照一定顺序排列的一列数，
数列里
的每
一个数叫做这个数列的项，各项依次叫做这
.
个数列的第一项，第二项，
，第<
/p>
n
项，
，
第一项
也叫首项
.
一般地，常用
a
1
，
a
2
，
a
3
，
< br>a
n
来表示数列，其中
a
n
是数列的第
n<
/p>
项，又
叫做数列的通项
.
数列记为
a
n
例如
,
数列
1,3
,5,7
,2
n
1,
第
1
项是
1
，第
2
项是
3
，第
3
项是
5
，
，第
n
项是
2
n
1
，数列记作
2
n
1
2.
数列的通项公式
数列
a
n
< br>
的第
n
项
a
n
与项数
n
之间的关
系，如果可以用一个公式来表示，那么这个
公式就
叫做这个数列的通项公式
.
例如，数列
1,3,5,7
,2
n
1,
通项公式是
a
n
2
n
1
.
3.
数列的前
n
项和
对于数列
a
1<
/p>
,
a
2
,
a
3
,
,
a
n
称
a
1
a
2
a
3
a
n
<
/p>
为这个数列的前
n
项和，记作
S
n
.
即
S
n
a
< br>1
a
2
a
3
a
n
4.<
/p>
数列
a
n
的
a
n
与
S
n
的关系
a
1
S
1
,
a
< br>n
S
n
S
n
1
(
n
2)<
/p>
例
1
已
知
数
列
a
n
的
前
n
.
项
和
. <
/p>
S
n
3
n
2
n
，求数列
a
n
的通项公式
a
n
2
解析
:
由
S
n
3
n
2
n
得
2
< br>S
n
1
3(
n
1)
2(
n
1)
3
n
8
n
5
所以，当
n<
/p>
2
时
2
2
a
n
S
n
S
n
1
3
n
2
n
(3
n
8
n
5)
6
n
5
当
n
1
,
a
1
S
1
3
1
2
1<
/p>
1,
2
2
2
满足公式
a<
/p>
n
6
n
5
所以数列的通
项公式为
a
n
6
n
5
历年试题
（
2014
年试题）
2.
已知数列
a
n
的前
n
项和
S
n
n
2
n
，求
2
（
II
）数列
a
n
的通项公式
解析
：
（
I
）
（
I
）
a
n
的前三项；
.
a
1
S
1
1
2
1
1
a
2
S
2
S
1<
/p>
2
2
2
2
(
1)
1
a
3
< br>S
3
S
2
3
2
3
(2<
/p>
2
2)
3
2
2
2
（
II
）
当
n
2,
a
< br>n
S
n
S
n
1
n
2
n
[(
n
1)
2(
n
1)]
2
n
3
当
n
1
时
a
1
1,
满足
a
n
2
n
3
所以数列的通项公式为
a
n
2
n
3
（
200
7
年试题）
已知数列
a
n
前
n
项和
S
n
n
(2
n
1)
（
I
）求该数列的通项公式；
（
II
）判断
39
是该数列的第几项
.
解
:
（
I<
/p>
）当
n
2,<
/p>
2
2
a
n
S
n
S
n
1
2
n
n
2(
n
1)
(
n
1)
4
n
1
当
n
1
时
a
1
3,
满足
a
n
4
n
< br>1
所以数列的通项公式为
a<
/p>
n
4
n
1
(II)
设
39
是
该
数
列
的
第
n
项
，
则
2
2
.
< br>39
4
n
1
,
n
10
，即
39
是该数列的第
10
项
二、等差数列
1.
等差数列的定义
如果一个数列从第二
项起，每一项与它的前
一项的差都等于一个常数，这个数列就叫等
差数列，这个常数叫做公差，记为
d
，即
d
a
n
a
n
1<
/p>
等差数列的一般形式为
a
1
,
a
< br>1
d
,
a
1
2
d
,
,
a
1
(
n
1)
d
,
2.
等差数列的通项公式
.
设
<
/p>
a
n
是首项为
a
1
，公差为
d
的等差数列，
则这个数列的通项公式为
a
n
a
1
(
n
1)
d
3.
等差数列的前
< br>n
项和公式
设
a
n
是首项为
a
1
，
< br>公差为
d
的等差数列，
为其前<
/p>
n
项和，则
S
(
a
1
a
n
)
n
2
n
或
S
1
n
< br>
na
1
2
n
(
n
1)
d
4.
等差中项
S
n
. <
/p>
如果
A
,
B
,
C
称等差数列，
B
就称为
A
与
C
的
A
C<
/p>
等差中项，则
B
2
注：一般证明一个数列是等差
数列时，经常
是按它们的定义证明
a
n
1
a
n
d
为常量
5.
等差数列的性质
（
< br>1
）在等差数列中，间隔相同抽出的项来
按照原来的顺序
组成新的数列仍是等差数
列
.
对于等
差数列
a
1
,
a
2
,
a
3<
/p>
,
数列
a
1
,
a
3
,
a
5
,
,
a
n
,
< br>a
2
n
1
也是等差数列，数
.
列
a
2
,
a
4
,
a
< br>6
,
,
a
2
n
也是等差数列
也是等差数列
数列
< br>a
1
,
a
5
,
a
9
,
a
13
例
2<
/p>
如
在
等
差
数
列
a
n
中
，
已
知
a
2
4,
a
7
9
，求
a
12
解
析
：
a
2
,
a
7
,
a
12
构
成
等
差
数
列
，
因
为
a
7
a
2
9
4
5
a<
/p>
12
a
7
5
9
5
14
，
所
以
（
2
）对等差数列
a
n
，若
m
,
n
,
s
,
t
均为正整
数，且
m
n
s
t
< br>，则
a
m
a
n
a
s
a
t
<
/p>
如
a
1
a
9
a
2
a
8
a
3
a
7
a
4
a
6
<
/p>
2
a
5
例
3
在等差数列
<
/p>
a
n
中，
已知
a
2
a
8
10
，
.
求
a
5
解析：
因为
a
2<
/p>
a
8
a
5
a
5
，
即
2
a
5
a
2
a
8
,
(
a
2
<
/p>
a
8
)
10
5
所以，
a
5
2
2
例
4
设
a
n
< br>
为
等
差
数
列
,
其
中
a
5
9,<
/p>
a
15
39<
/p>
，则
a
10
<
/p>
（
A
）
24
（
B
）
127
（
C
）
30
（
D
）
33
解析
:
解法一
由
等
差
数
列
a
n
的
通
项
公
式
< br>a
1
4
d
9
a
n
a
1
(
n
1)
d
知
a
1
14
d
39
a
1
3
得
所以
a
10
a
1
9
d<
/p>
24
d
3
解法二
所以
a
5
,
a
10
,
a
15
也是
等差数
a
n
为等差数列，
.
列，所以，
a
10
是
a
5
与
a
15
的等差中项，
a
5
a
15
9
39
a
10
24
2
2
例
5
在等差数列
a
n
中，
如果
a
2
2,
a
3
5
，
则
S
10
_________
解析
：
d
a
3<
/p>
a
2
5
2
3
，
由
a
2
a
1
d
,
得
a
1
a
2<
/p>
d
2
3
1
1
S
10
10
a
1
10
< br>
(10
1)
d
2
1
10
(
1)
10
(10
1)
3
125
2
例
6
等差数列
a
n
中，
若
a
4
a
5<
/p>
a
6
90
则
其前
9
项的和
S
9
（
）
A.
300
B.
270
.
C.
540
D.
135
解析：
a
n
是等差数列，所以
a
4
a
6
< br>2
a
5
，
由
a
4
a
5
a
6
90
得
3
a
5
90
，
a
5
30
(
a
1
a
n
)
(
a
1
a
9
)
n<
/p>
得，
S
9
9
，
由
S
n
2
2
又
a
< br>1
a
9
2
a
5
，
所以
(<
/p>
a
1
a
9
)
2
a
5
S
9
9
9
30
9
270
2
2
，选
B
历年试题
（
2013
年试题）
.
等差数列
{
a
n
}
中
，若
a
1
2
,
a
3
6<
/p>
，则
a
2
A. 3
B. 4
C. 8
D.
12
a
1
a
3
2
6<
/p>
4
解析：
a
2
2
2
（
2012
年试题）
已知一个等差数列的首项为
1
，公差为
3
，那
么该数列的前
5
项和为（
）
A.
35
B.
30
C.
20
D.
10
1
解析：由
S
n
na
1
n
(
n
1)
d
得
2
1
S
5
5
1
5
(5
1)
3
35
2
选
A
<
/p>
（
2011
年试题）
已知等差数列
a
n
的首项与公差相等，
a
n
.
的前
n
项
的和记作
S
n
，且
S
20
840
< br>.
（
Ⅰ
）
求数列
a
n
的首项
a
1
及通项公式；
解析
:
（
Ⅰ
）
已知等差数列<
/p>
a
n
的公差
d
a
1
又
（
Ⅱ
）
数列
a
n
的前多少项的和等于
84
?
2
0
(20
1)
S
20
20
a
1
d
20
a<
/p>
1
190
d<
/p>
210
a
1<
/p>
2
即
210
a<
/p>
1
840
，所
以，
a
1
4
又
d
a
1
，即
d
4
，所以，
即数列
a
n
的通项公式为
a
n
4
n
（<
/p>
Ⅱ
）设
S
n
84
，
又
a
n
a
1
(
n
1)
d
< br>
4
(
n
1)
4
4
n
<
/p>
(
a
1
a
n
)
(4
4
n
)
2
S
n
< br>n
n
2
n
2
n
，
2
2
2
即
2
n
2
n
84
，
解得
n
6,
n
7
（舍去）
所以数列
a
n
的前
6
项的和等于
84
.
（
2009
年试题）
.
面积为
6
的直角三角形三边的长由小到大成
等差数列，公差为
d
，
⑴求
d
的值
;
⑵在以最短边的长为首项，公差为
d
的
等差
数列中，
102
为第几项？
解析
:
（
I
）由已知条件可设直角三角形的边
长分别为
a
d
,
a
,
a
d
,
其中
a
0,
d
0,
< br>则
(
a
d
)
a
(
a
d
)
，得
a
4
d
2
2
2
三边长分别为
3
d
,4
d
,5
d
1
S
3
d<
/p>
4
d
6,
d
1
2
故三角形三边长分别是
3,4,5
.
公差
d
1
(II)
以
3
为首项，
1
为公差的等差数列通项
公式为