高中数学数列知识点解析
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高中数学
第三章
数列
考试内容：
数列．
等差数列及其通项公式．等差
数列前
n
项和公式．
等比数列及其通项公式．等比数列前
n
项和公式．
考试要求：
（
1
）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是
给出数列的一种方法，并
能根据递推公式写出数列的前几项．
（
2
）理解等差数列的概念，掌握等差
数列的通项公式与前
n
项和公式，并能解决简单的实
际问题．
（
3
）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前
n
项和公式，井能解决简单的实
际问题．
§
03.
数
列
知
识
要
点
数列
等差数列
定义
递<
/p>
推
公
式
通
项
公
式
数列的定义
数列的有关概念
数列的通项
数列与函数的关系
项
项数
通项
等差数列的定义
等差数列的通项
等差数列的性质
等差数列的前
n
项和
等比数列
等比数列的定义
等比数列的通项
等比数列的性质
等比数列的前
n
项和
等差数列
a
n
1
a<
/p>
n
d
a
n
a
n
1
d
；
a
n
a
m
n
md
a
n
a
1
(
n
1
)
d
等比数列
a
n
1
q<
/p>
(
q
0
)
a
n
a
n
a
n
1
q
；
a
n
a
m
q
n
<
/p>
m
a
n
a
1
q
n
1
（
a
1
,
q
0
）
中项
A
<
/p>
a
n
k
a
n
k
2
G
a
n
k
a
n
k
(
a
n
<
/p>
k
a
n
k
0
)
（
n
,
k
N
*
,
n
k
0
）
前
n<
/p>
项
和
S
n
n
(
a
1
a
n
)
2
n
(
n
1
)
d
2<
/p>
（
n
,
k
N
*
,
n
k
0
）
na
1
(
q
1
)
S
n
a
1
1
q
n
a
1
a
n
q
< br>
(
q
2
)
1
q
1
q
S
n
na
1
重
要
性
质
*
a
a
a
a
(<
/p>
m
,
n
,
p
,
q
N
,
m
n
p
q
m
n
p
q
)
1.
⑴等差、等比数列：
定义
等差数列
a
m
a
n<
/p>
a
p
a
q
(
m
,
n
,
p
,
q
N
*
,
m
n
p
q<
/p>
)
等比数列
{
a
n
}
为
A
P
a
n
1
a
n
< br>d
(
常数）
< br>{
a
n
}
为
G
P
a
n
1
a
n
q
(
常数）
通
项
公
式
求
和
公
式
< br>
a
n
=
a
1
+
（
n
-1
）
d=
a
k
+
（
n-k
）
d=
dn
+
a
1
-d
a
n
a
1
q<
/p>
n
1
a
k
q
n
k
n
(
a
1
a
n
)
n
(
n
1<
/p>
)
na
1
d
2
2
d
2
d
n
(
< br>a
1
)
n
2
2
s
n
A=
(<
/p>
q
1
)
na
1
s
n
a
1
(
1
< br>
q
n
)
a
1
a
n
q
(
q
1
)
1
q
1
q
< br>中
项
公
式
a
b
2
推广：
2
a
n
=
a
n
m
a
n
m
G
< br>2
ab
。推广：
a
n
a
< br>n
m
a
n
m
2
若
m+n=p+q
< br>，则
a
m
a
n
a
p
a
q
。
若<
/p>
{
k
n
}
成等比数列
（其中
k
n
N
）<
/p>
，
则
性
质
1
若
m+n=p+q
则
a
a
a
a
m
n
p
q
2
若
{
k
}
成
A.P
（其中
k
n
N
）
则
{
a
k
n
}
n
也为
A.P
。
< br>
3
4
< br>{
a
k
n
}
成等比数列。
．
s
n
,
s
2
n
s
n
,
s
3
n<
/p>
s
2
n
成等差数列。
s
n
,
s
2
n
s
n
,
s
3
n
s
2
n
< br>成等比数列。
a
a
1
a
m
a
n
d
n
(
m
n
)
<
/p>
n
1
m
n
q
n
1
a
n
a
n
n
m
，
(
m
n
)
q
a
1
a
m
5
⑵看数列是不是等差数列有以下三种方法：
< br>①
a
n
a
n
1
d
(
n
2
,
d
为常数
)
②
2
a
n
a
n
1
< br>a
n
1
(
n
2
)
③
a
n
kn
b
(
n
,
k
为常数
).
⑶看数列是不是等比数列有以下四种方法：
< br>①
a
n
a
n
1
q
(
n
2
,
q
为常数
,
且
0
)
2
a
n
1
< br>a
n
1
(
n
2
，
a
n
a
n
1
a
n
1
0
)
②
a
n
< br>①
注①：
i.
b
ac
，是
a
、
b
、
c
成
等比的双非条件，即
b
ac
ii.
b
ac
（
ac
＞
0
）→为
a
、
b
、
c
等比数列的充分不必要
< br>.
iii.
b
ac
→为
a
、
b
、
c
等比数列的必要不充分
.
iv.
< br>b
ac
且
ac
0
→为
a
、
b
、
c
等比数列的充要
.
a
、
b
、
< br>c
等比数列
.
注意：任意两数
a
、
c
不一定
有等比中项，除非有
ac
＞
0
，则等比中项一定有两个
.
③
a
n
cq
< br>n
(
c
,
q
为非零常数
).
④正数列
{
a
n
}
成等比的充要条件是数列
{
log
x
a
n
}
（
x
1
）成等比数列
.
s
1
a
1
(
n
1
)
a
⑷数列
{
a
n
}
的前
n
项和
S
n<
/p>
与通项
a
n
的关
系：
n
s
n
s
n
1
(
n
2
)
[
注
]
：
< br>
①
a
n
a
1
n
1
d
nd
a
1
d
（
d
可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数
列也是等差数列）→若
d
不为
0
，则是等差
数列充分条件）
.
②等差
{
a
n
}
前
n
项和
S
n
An
2
< br>Bn
n
2
a
1
n<
/p>
→
d
2
d
2
d
可以为零也可不为零→为等差
2
的充要条件→若
d
为零，
则是等差数列的充分条件；
若
d
不为零，
则是等差数列
的充分条件
.
< br>③非零
常数列既可为等比数列，也可为等差数列
.
（不是非零，即不可能有等比数列）
．．
2.
①
等
差
数
列
依<
/p>
次
每
k
项
的
和
仍
成
等
差
数
列
，
其
公
差
为
原
公
差
的
k
2
倍
S<
/p>
k
,
S
2
k
S
k
,
S
3
k
S
2
k
...
；
②若等差数列的项数为
2
n
n
N
，则
S
偶
S
奇
nd
，
S
奇
S
< br>偶
a
n
a
n
1
；
n
n
1
③若等差数
列的项数为
2
n
1
n
N
，则
S
2
n
1
2
n
1
a
n
，且
S
奇
S
偶
a
n
，
S
奇
代入
n
到
2
n
1
得到所
求项数
.
3.
常用公式：①
1+2+3
…
+
n
=<
/p>
②
1
2
2
2
3
2
n
2
n
n
1
2
S
偶
n
n
1
2
n
1
6