数列的基本性质
-
数学
(
第
二
轮
)
专
题
训
练
第九讲
:
数列的基本性质
学校
学号
班级
姓名
知能目标
1.
理解数列的概念
,
了解数列通项公式的意义
.
了解递推
公式是给出数列的一种方法
,
并能根
据
递推公式写出数列的前几项
.
2.
理解等差数列
,
等比数列的概念
,
掌握等差数列
,
等比数列的通项公式
与前
n
项和公式
,
并
能解决简单的问题
.
综合脉络
1.
知识网络
2.
几点说明
(1)
等差数列
(
< br>等比数列
)
定义中
,
特别注意公差
(
或公比
)
与项的差
(
或比
)
的顺序不能颠倒
,
即
d
a
n
a
n
1
(
或
q<
/p>
a
n
)
a
n
1
(2)
等差中项与等比中项
.
若
A
是
a
、
b
的等差中项
,
则
A
2
a
b
;
若
G
是
a
、
b
的等比中项
,
2
则
G
a
b
(
a
b
0
)
,
从而任意两个数都有惟一一个等差中项
,
而只有任意两个同号的数
才有等比中项
,
且都有正负两个
.
对于任一个等差数
列
{
a
n
}<
/p>
若
m
n
2
p
则
a
p
是
a
m
与
a
n
a
m
a
n
;
对于任一个等比数列
{
a
n
}
若
m
< br>
n
2
p
则
a
p
是
a
m
与
a
n
的
2
2
等比中项
,
即
a
p
a
m
a
n
.
的等差中项
,
即
a
p
(3) <
/p>
证明一个数列
{
a
n
}
是等差
(
或等比
)
数列的方法有
:
①
定义法
:
证明对任意正整
n
均有
a
n
1
a
< br>n
d
②
中项法
:
对于一个数列
,
除了首项和末项
(
有穷数列
)
外<
/p>
,
任何一项都是它的前后两项的等
a<
/p>
n
1
a
n
1
2
(
或
a
n
a
n
1
a
n
1
)
对
满足题意的
n
均成立
;
2
n
1
③
通项公式法
:
证明数列通项公式均能
表示成
a
n
a
1
(
n<
/p>
1
)
d
(
或
a
n
a
1
q
)
的形式
(
其中
q
0
< br>).
差中项
(
或等比中项
),
即证
a<
/p>
n
(4)
数列是高考必考内容
,
没年一道选择题或一道填空题
,
一道大题
,
前者以考查性质为主
,
后者是一道思维能力要求较高的综合题
. 2000
年便有一道考查等比数列的概念和基本性质、
推
理
和运算能力的综合题
,
其特点是“可以下手
,
逻辑思维能力要求较高
,
不易得满分
”
.0
1
、
0
2
、
0
3
、
0
4
、
05
五年的高考
(
包括
春考
)
题中均有对数列概念和性质的判断、
推理及应用问题
.
应注意这种命题趋势
.
预测
2006
年关于数列部分
,
仍然是难易结合
,
有基本题型
,
综合题型
,
应用题型
;
有个别题型将会有新意
:
把数列知识和生活、
经济、
环保等紧密结合起来
;
还会
出现有创意的应用型题目
.
(
一
)
典型例题讲解
:
例
< br>1.
已知钝角三角形的三边长成等差数列
,
公差
d
＝
1,
其最大角不超过
120
°
,
则最小边的
取值范围是
.
例
2.<
/p>
已知数列
{
a
n
}
的前
n
项和
为
3
n
2<
/p>
n
2
.
取数列
{
a
n
}
的第
1
项
,
第
3
项
,
第
5
项……
构造一个新数列
{
< br>b
n
}
,
求数列
{
b
n
}
的通项公式
.
例
3
. <
/p>
已知
{
a
n
}
是公比为
q
的等
比数列，且
a
1
,
a
3
,
a
2
成等差数列
.
（
1
）求
q
的值；
<
/p>
（
2
）设
{
b
n
}
是以
2
为首项，
q
为公差
的等差数列
,
其前
n
项和为
S
n
,
当
n
2
< br>时
,
比较
< br>2
S
n
与
b
n
的大小
,
并说明理由
.
(
二
)
专题测试与练习
:
一
.
选择题
1.
在项数为
2n
< br>＋
1
的等差数列中
,
所有奇数项和与所有偶数项和之比为
(
)
A.
2
n
1
2
n
n
1
n
B.
C.
D.
2
n
2
n
1
n
n
1
(
a
1
a
2
)
2
< br>2.
已知
x ,
y
为正实数
,
且
x
、
a
1
、
a
2
、
y<
/p>
成等差数列
, x
、
b
1
、
b
2
、
y
成等比数列
,
则
b
1
b
2
的
取值范围是
(
)
A. R
B.
(
0
,
4
]
C.
[
4
,
)
D.
(
,
0
]
[
4
,
)
3.
数列
{
a
n
}
是公
差不为零的等差数列
,
且
a
7
,
a
10
,
a
15
是某等比数列<
/p>
{
b
n
}
的连续三项
,
若
{
a
n
}
的首项为
b
1
＝<
/p>
3,
则
b
n
是
(
)
5
n
1
5
n
1
5
n
1
2
n
1
< br>A.
3
(
< br>)
B.
3
(
)
C.
3
(
)
D.
3
(
)
3
8
3
3
4.
已知
a
、
b
、
c
、
d
均为非零实数
, <
/p>
则
ad
bc<
/p>
是
a, b, c,
d
依次成为等比数列的
(
)
A.
充分非必要条件
B.
必要非充分条件
C.
充分且必要条件
D.
既不充分也不必要条件
2
5.
在等比数列
< br>{
a
n
}
中
,
若
a
3
、
a
7
是方
程
3
x
11
x
9
0
的两根
,
则<
/p>
a
5
的值为
(
)
A. 3
B.
±
3
C.
6.
如果数列
{
a
n
}
是等差数列
,
则
(
)
A.
a
1
a
8
a
4
a
5
二
.
填空题
7.
等差数列
{
a
n
}
中
,
a
1
a
2
a
3
9
,
a
1<
/p>
a
2
a
3
15
,
则
a
1
＝
,
a
n
＝
.
8.
设数列
{
a
n
}
是
公比为整数的等比数列
,
如果
a
1
a
4
18
,
a
2<
/p>
a
3
12
,
那么
S
8
＝
.
9.
等比数列
{
a
n
}
中
,
a
1
a
5
B.
a
1
a
8
a
4
a
5
C.
a
1
a
8
a
4
< br>a
5
D.
a
1
a
8
a
4
a
5
3
D.
±
3
15
,
S
4
5
,
则
a
4
＝
.
2
10.
已知等差数列
{
a
n
}
,
a
2
a
3
a
7
a
11
a
12
45
,
则
S
13
.
三
.
解答题
11.
已知等差数列
{
a
n
}
中
,
d
1
3
15<
/p>
,
a
k
,
S
k
,
求
a
1
和
k.
< br>
2
2
2