数列常见大题(含答案)
-
常见数列大题收集
1
．已知等差数列
{
a
n
}
的前
n
< br>项和
S
n
满足
< br>S
3
0
，
S
5
5
。
（Ⅰ）
求
{
a
n
}<
/p>
的通项公式；
（公式法）
（Ⅱ）求数列<
/p>
{
1
．（
1
）设｛
a
n
｝的公
差为
d
，则
S
n
=
na
1
1
（裂项法）
}
的前
n
项和。
a
2
n
1
a
2
n
<
/p>
1
n
(
n
1)
d
。
2
3
a
1
3
< br>d
0,
解得
< br>a
1
1,
d
1.
由已知可得
5
< br>a
1
10
d
5,
故
a
n
的通项公式为
a
n
=2-
n
.
（
2
）由（
I
）知
1
1
1
1
1
(
),
<
/p>
a
2
n
1
a
2
n
1
(3
2
n
)(1
2
n
)
2
< br>2
n
3
2
n
1
1
1
1
1
1
1
1
n
1
)
从而数列
.
的前
n
项和为
（
-
+
-
+
+
2
-1
1
1
3
< br>2
n
3
2
n
1
1
2
n
a
a
2
n
1
2
n
1
2.
在等比数列
{
a
n
}
中，
a
n
0
(
n
< br>
N
*)
，
公比
q
1
，
a
1
a
3
2
a
2
a
4
a
3
a
5
100
，
且
4
是
a
< br>2
2
与
a
4
的等比中项，⑴求数列
{
a
n
}
的通项公式；
（
公式法）
⑵设
b
n
a
n
< br>
log
2
a
< br>n
，求数
列
{
< br>b
n
}
的前
n
项和
S
n
，
（
分组求和法）
解：
（
1
）设等比数列
{
a
n
}
的公比为
q
，则
a
n
a
1
q
n
1
，由已知得
a
1
a
3
2
a
2
a
4
a
3
a
5
(
a
2<
/p>
a
4
)
2
100
,
又
a
n
0
,
则
a
2
a
4
10
,
又
a
2
a
4
4
2
16<
/p>
，
a
2
、
a
4
为方程
x
2
10
x
16
0
的两根，
q
1
…………………………
a
q
2
a
2
<
/p>
2
,
a
4
8
,
即
1
3
a
1
q
8
…
4
分
a<
/p>
1
1
解得
a<
/p>
n
2
n
1
.
………………
……………
7
分
q
2
2
（
2
）由（
1
）知，
b
n
a
n
log
2
a
n
4
n
1<
/p>
(
n
1
)
T
n
(1
4
4
< br>2
4
n
1
)
(1
2<
/p>
3
n
1)
n
n
(
n
1)
4
1
3
2
……………………………
< br> 12
分
3.
数列
{
a
n
}
的前
n
项和
S
n
n
< br>2
，
数列
{
b
n
}
满足
b
1
2,
b
n
1
<
/p>
b
n
3
2
a
n
。
（Ⅰ）求数列
{
a
n
}
，
{
b
n
}
的通项公式；
（公式法，累加法）
（Ⅱ）若
c
n
2
n
< br>
log
2
b
< br>n
1
(
n
N
*
)
，
T
n
为｛<
/p>
c
n
｝的前
n
和，
求
T
n<
/p>
。
（
错位相减法）
3.
解：
（
1
）
a
n
2
n
1
,
b
n
2
2
n
1
（
6
分）
<
/p>
（Ⅱ）
c
n
<
/p>
1
n
2
n
log
2
2
2
(2
n
1)
2
n
T
n
c
1
c
2
c
n<
/p>
3
2
5
2
2
(2
n
1
< br>)
2
n
（
8
分）
2<
/p>
T
n
3
2
2
5
2
3
(2
< br>n
1)
2
n
(2
n
1)
2
n
1
，两
式相减得：
T
n
3
2
2
(2
2
2
3
2
n
)
(2
n
1
)2
n
1
< br>2
2
2
2
3
2
n
1
(2
n
1)2
n
1
2(2
n
1
1)
(2
n
1)2
n
1
(2
n
1)2
n
1
2
< br>
T
n
(2
n
1)2
n
1
2
（
12
分）
4
．
已知
数列
{
a
2
n
3
2
n
}
满足：
1
a
a
(3
n
1),
n
N
*
.
1
2
a
n
8
（
I
）求数列
{
a
n
}
的通项公式；<
/p>
（迭代法）
< br>（
II
）设
b
< br>a
n
n
log
3
n
，求
1
b
1
1
.<
/p>
1
b
2
b
2
b
3
b
n
b
n
1
（
裂项法）
4
解：
（Ⅰ）
1
3
2
a
＝
8
(
3
－
1)
＝
3
，
1
当
n
≥
2
时，
∵
n
a
＝
(
1
＋
2
＋…＋
n
)
－
(
1
＋
2
＋…＋
n
－
1
)
n
a
1
a
2
a
n
a
1
a
2
a
n
－
1
＝
3
8
(3
2
n
－
1)
－
3
8
(3
2
n
－
2
－
1)
＝
3
2
n
－
< br>1
，
当
n
＝
1
，
n
＝
3
2
n
－
1
a
也成立，
n
所以
a
n
n
＝
3
2
< br>n
－
1
．
（Ⅱ）
b
a
n
n
＝
log
3
n
＝－
(2
n
－
1)
，
…
1
分
…
5
分
…
6
分
…
7
分
1
1
1
1
＝
＝
(
－
)
，
b
n
b
n
＋
1
(2
n
－
1)(2
n
＋
1)
2
2
n
－
1
2
n
＋
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
∴
＋
＋…＋
＝
[(
1
－
)
＋
(
－
)<
/p>
＋…＋
(
－
)]
b
1
b
2
b
2
b
3
b
n
b
n
＋
1
2
< br>3
3
5
2
n
－
1
2
n
＋
1
1
1
n
＝
(
1
－
)
＝
．
2
2
n
＋
1
2
n
＋
1
5.
在数列
{
a
n
}
< br>中，
a
1
1
，
1
…
10
分
2
a
n
1
n
1
2
a
n
2
< br>n
（
1
）求数列
{
a
n
}
的通项公式；
（公式法）
（
2
）令
b
n
a
n
1
1
a
n
，求数列
{
b
n
}
的前
n
项和
S
n
．
< br>（错位相减法）
2
2
n
5
n
2
12
分
5.
（
1
）
a
n
n
1
4
分
②
S
n
5
2
n
< br>2
6
．
（
2013
年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯
WORD
版）
）在公差为
d
的
等差数列
{
a
n
}
中
,
已知
a
1
10
,
且
a
1
,
2
a
2
2
,
5
a
3
成等比数列
.
(1)
求
d
< br>,
a
n
; (2)
若
d
0
,
求
|
a
1
|
|
< br>a
2
|
|
a
3
|
|
a
n
|
.
【答案】解:(Ⅰ)由已知得到
:
(2
a
2
2
)
2
5
a<
/p>
1
a
3
4(
a
1
d
1)
2
50(
a
1
2
d
)
(11
d
)
2
25(5
d
)
< br>
d
4
d
1
121
2
2
d
d
<
/p>
125
25
d
d
3
d
4
0
或
a
n
< br>
4
n
6
a
n
11
n
2<
/p>
2
(Ⅱ)由
(1)
知
,
当
d
0
时
,
a
n
11
n
,
①当
1
n
11
时
,
a
n
0
|
a
1
|
|
a
2
|
|
a
3
|
<
/p>
|
a
n
|
a
1
a
2
a
3
a
n
②当
12
n
时
,
n
(10
11
n
)
n
(
21
n
)
2
2
a
n
0
|
a
1
|
|
a
2
|
< br>
|
a
3
|
|
a
n
|
a
1
a
2
a
3
< br>
a
11
(
a
12
a
13
<
/p>
a
n
)
11(2
1
11)
n
(21
n
)
n
2
21
n
220
2
(
a
1
a<
/p>
2
a
3
a
11
)
(
a
1
< br>
a
2
a
3
a
n
)
2
2
2
2
n
(21
n
)
,(1
n
11)
2
所以
,
综上所述
:
|
a
1
|
|
a
2
|
|
a
3
|
<
/p>
|
a
n
|
2
n
21
n
< br>220
,(
n
12)
2
7
．记等差数列
a
n
的前
n
项和为
S
n
，设
S
3
12
，且
2
a
1
,
a
2
,
< br>a
3
1
成等比数列，求
S
n
.
2
2
a
1
a
3
1
a
2
a<
/p>
a
a
2
a
3
12
，
解析：设
n
的公差为
d
，则
1
.5.u.
a<
/p>
1
2
2
da
1
d
2
2
a
1
0
< br>a
1
1,
a
1
8
或
<
/p>
d
3,
d
4
a
d
4
即
1
< br>，解得
S
< br>n
3
2
1
n
n
，
或
S
n
10
n
2
n
2
2
2
因此
8
．已知等差数列
{
a
n
}
中，
a
3
a
7
16
,
a
4
a
6
0
,
求
{
a
n
}
前
n
项和
S
n
.
.w.w.k.s.5.
u.c
a
1
2
d
a
1
6
d
16
< br>a
n
a
3
d
a
1
5
d
0
解析：设
的公差为
d
，
则
1
，
<
/p>
.5.u.
a
1
2
8
da
1
12
d<
/p>
2
16
a
1
8,
a
1
8
或
d
2,
a
4
d
d
2
即
1
，解得
因此
S
n
8
n
n
n
1
n
n
9
，或
S
n
8
n
n
n
1
n
n
< br>9
9.
设等差数列
（Ⅰ）求
a
n
满足
a
3
5
，
a
10
< br>9
。
a
n
的通项公式；
S
S
a
（Ⅱ）求
< br>n
的前
n
项和
< br>n
及使得
n
最大的序号
n
的值。
a
1
2
d
5
< br>a
1
9
a
9
d
9
d
2
a
5
a
9
解析：
（Ⅰ）
3
，
10
得
1
，解得
，
数列
a
n
< br>的通项公式为
a
n
11
2
n
S
n
na
1
（Ⅱ）由
（Ⅰ）知
n
(
n
1)
d
10
n
n
2
(
n
5)
2
25
S
2
.
，则
n
5
时，
n
取得
最大值。