高考文科数列知识点总结(全)
-
数列知识点
一．考纲要求
要求层次
内容
4
A
数列的概念
数列的概念和表示法
等差数列的概念
数列
等差数列、
等比数列的概念
等比数列
等差数列的通项公式与前<
/p>
n
项和公式
等
比数列的通项公式与前
n
项和公式
二．知识点
(
一
)
数列的该概念和表示法、
（
1
）数列定义
：按一定次序排列的一列数叫
做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项记作
a
n
，在数列第一
个位置的项叫第
1
< br>项（或首项）
，在第二个位置的叫第
2
< br>项，……，序号为
n
的项叫第
n
项（也叫通项）
记作
a
n
；
数列的一般形式：
a
1
，
a
2
，
a
3
，……，
a
n
，……，简记作
a
n
。
（
2
）通项公式的定义
：如果数列
{
a
n
}
的第
n
项与
n
之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个
数列的通项公式
说明：
①
a
n
<
/p>
表示数列，
a
n
表示数列中的第
n
项，
a
n
=
f
n
表示数列的通项公式；
②
同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。
③不是每个数列都有通项公式。例
如，
1
，
1.4
，
1.41
，
1.414
，……
（
3
）数列的函数特征与图象表示
：
序号：
1
2
3
4
5
6
项
：
4
5
6
7
8
9
上面每
一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点
看
，数列实质上是定义域为正整数集
N
（或它的有限子集）的函数
f
(
n
)
当自变量
n
从<
/p>
1
开始依次取值
时对应的一系列函数值<
/p>
f
(1),
f
(
2),
f
(3),
……，
f
(
n
)
< br>，……．通常用
a
n
来代替
f
n
，其图象是一群孤
立的点
（
4
）数列分类：
①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；
②按数
列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）
、常数列和摆动数列
（
5
）
递推公式定义
：如果已知数列
a
n
的第
< br>1
项（或前几项）
，且任一项
a
n
与它的前一项
a
n
1
（或前几项）间
的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式
B
√
√
√
C
√
√
（二）等差数列
< br>1.
等差数列的定义
：
a
n
a
n
1
d
（
d
为常数）
（
n
2
）
< br>；
2
．等差数列通项公式：
*
a
n
a
1
<
/p>
(
n
1)
d
dn
a
1
d
(
n
N
)
，
首项
:
a
1
，公差
:d
，末项
:
a
n
推广：
a
n
a
m
(
n
m
)
d
．
从而
d
3
．等差中项
a
n
a
m
；
n
m
a
b
或
2
A
a
b
2
（
1
）如果
a
，
A
，
b
成等差数列，那么
A
叫做
a
与
b
的等差中项．即：
A
（
2
）等差中项：数列
a
n
是等差数列
2
a
n
a
n
-
1
a
n
1
(
n
2
)
< br>
2
a
n
1
a
n
a
n
2
4
．
等差数列的前
n
项和
公式：
S
n
n
(
a
1<
/p>
a
n
)
n
(
n
1)
d
1
na
1
d
n
2
(
a
1
d
)
n
An
2
Bn
<
/p>
2
2
2
2
（其中
A
、
B
是常数，所以当
d
≠
0
时，
S
n
是
关于
n
的二次式且常数项为
0
）
特别地，当项数为奇数
2
n
1
时，
a
n
1
是项数为
2n+1
的等差数列的中间项
S
2
n
1
2
n
1
a
1
a
2
n
1
2
2
n
1<
/p>
a
n
1
（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数
乘以中间项）
5
．
等差数列的判定方法
（
1
）
定义法：若
a
n
a
n
1
d
或
a
n
1
< br>
a
n
d
(
常数
n
N
)
<
/p>
a
n
是等差数列．
（
2
）
等差中项：数列
a
n
是等差数列
< br>2
a
n
a
n
-
1
a
n
1
(
n
2
)
2
a
n
1
< br>a
n
a
n
2
．
（
3
）
数列
a
n
是等差数列
a<
/p>
n
kn
b
（其中
k
,
b
是常数）。
2
（
4
）
数列
a
n
是等差数列
S<
/p>
n
An
Bn
,
（其中
A<
/p>
、
B
是常数）。
6
．
等差数
列的证明方法
定义法：若
a
n
a
n
1
d
或
a
n
1
a
n
d
(
常数
n
N
)
a
n
是等差数列．
7.
等差数列的性质：
（
1
）当公差
d
0
时，等差数列的通项公式
a
n
a
1
(
n
<
/p>
1)
d
dn<
/p>
a
1
d
是关于
n
的一次函
数，且斜率为公差
n
(
n
1)
d
d
d
n
2
(
a
1
)
n<
/p>
是关于
n
的二次函数且常数项为
0.
2
2
2
（
2
）若公差
d
0
，则为递增等差数列，若公差
d
0
，则为递减等差数
列，若公差
d
0
，则为常数列。
（
3
）当
m
n
p
q
< br>时
,
则有
a
m
a
n
a
p
a<
/p>
q
，特别地，当
m
n
2
p
时，则有
a
m
a
n
2<
/p>
a
p
.
d
；前
n
和
S
n
na
1
（
4
）若
a
n
、
b
n
为等差数列，则
a
n
b
，
1
a
n
2
b
n
<
/p>
都为等差数列
(5)
若
{
a
n
}
是等差数列，则
S
n
,
S
< br>2
n
S
n
,
S
3
n
S
2
n
，…也成等差数列
（
6
）数列
{
a
n
}
为等差数列
,
每隔
k(k
N
)
项取出一项
(
a
m
,
a
m
k
,
a
m
<
/p>
2
k
,
a
m
3
k
,
)
仍为等差数<
/p>
列
（
7
）设数列
a
n
是等差数列
，
d
为公差，
S
奇
是奇数项的和，
S
偶
是偶数项项的和，
S
n
是前
n
项的和
1
.
当项数为偶数
2
n
< br>时，
*
n
a
1
a
2
n
1<
/p>
na
n
2
n
a
2
a
2
n
S
< br>偶
a
2
a
4
a
6
a
2
n
na
n
1
2
S
偶
S
奇
na
n
< br>1
na
n
n
a
n
1
a<
/p>
n
=
nd
S
奇
a
1
a
3
a
5
< br>
a
< br>2
n
1
S
奇
na
n
a
n<
/p>
S
偶
na
n
1
a
n
1
2
、当项数为奇数
2
n
1
时，则
S
奇
(
n
1)
a
n+1
S
奇
n
1
S
2
n
1
S
奇
S
偶
<
/p>
(2
n
1)<
/p>
a
n+1
<
/p>
S
奇
S
偶
a
n+1
S
偶
n
S
偶
na
n+1
< br>
（其中
a
n+1
是项数为
2n+1
的等差数列的中间项）
．
（
8
）等差数列
{
a
n
}
的前
n
项和
S
m
n
，前
m
< br>项和
S
n
m
，则前
m+n
项和
S
m
n
< br>
m
n
(9)
求
S
n
的最值
法一：因等差数列前
n
项和是关于
n
的二次
函数，故可转化为求二次函数的最值，但要
注意数列的特殊性
n
N
*
。
法二：
（
1
）
“首正”的递减等差数列中，前
n
项和的最大值是所有非负项之和
即当
a
1
0
，
d
0
，
由
a
n
0
可得
S
n
达到
最大值
时的
n
值．
a
0
n
<
/p>
1
（
2
）
“首负”的递增等差数列中，前
n
项和的最
小值是所有非正项之和。
即
当
a
1
0
，
d
0
，
由
或求
a
n
中正负分界项
a
n
0
可得
S
n
达到
最小值
时的
n
< br>值．
a
n
1
0
法三：
直接利用二次函数的对称性：
由于等差数列前
n
项和的图像是过原点的二次函数，
故
n
取离二次函数对称
轴
最近的整数时，
S
n
取最大值（或最小
值）
。若
S
p
=
S
q
则其对称轴为
n
p
q
2
（三）等比数列
1.
等比数列的定义
：
2.
通项公式：
a
n
q
q
0
n
2,
且
n
N
*
，
q
称为
公比
a
n
1
a
n
a
1
q
n
1
a<
/p>
1
n
q
A
B
n
a
1
q
0,
A
< br>
B
0
，
首项：
a
1
；公比
：
q
q
a<
/p>
n
a
或
q
n
m
n
a
m
a
m
2
n
m
n
m
推广：
a
n
a
m
q<
/p>
，
从而得
q
3.
等比中项
（
1
）如果
a
,
A
,
b
成等比数列，那么
A
叫做
a
与
b
的等差中项．即：
A
ab
或
A
ab
注意：
同号的
两个数
才有
等比中项，并且它们的等比中项
有两个
（两个等比中项互为相反
数）
2
（
2
）数列
a
n
是等比数列
a
n
a
n
1
a
n
1
4.
等比数列的前
n
项和
S
n
< br>公式：
(1)
当
q
1
时，
S
n
< br>na
1
(2)
当
q
1
< br>时，
S
n
a
1
1
q
n
1<
/p>
q
a
1
a
n
q
1
q
a
n
1
q
(
q
为常数，
a
n
0)
{
a
n
}
为等比数列
a
n
5.
等比数列的判定方法
（
1
）用定义：对任意的
n,
都有
a
n
1
qa
n
或<
/p>
2
（
2
）
等比中项：
a
n
a
n
1
a
n
1
（
a
n
1
a
n
< br>1
0
）
{
a
n
}
为等比数列
（
3
）
通项公式：
a
n
A
B
n
A
B
0
{
a
n
}
< br>为等比数列
（
4
）
前
n
项和公式：
S
n
A
A
B
n
或
S
n
A
'
B
n
< br>
A
'
A
,
B
,
A
'
,
B
'
为常数
{
a
n
}<
/p>
为
等比数列
6.
等比数列的证明方法
依据定义：若
a<
/p>
n
q
q
0
n
2,
且
n
N
< br>*
或
a
n
1
q
a
n
{
a<
/p>
n
}
为等比数列
a
n
1
7.
等比数列的性质
(1)
当
q
1
时
①等
比数列通项公式
a
n
a
1
q
n
1
a
1
n
q
A<
/p>
B
n
A
B
0
是关于
n
的带有系数的类指数函数，底数为公比
q
q
②前
n
项和
S
n
a
1
1
q
n
1
q
a
1
a
1
q
n<
/p>
a
1
a
系数和常
数项是互为相反数
1
q
n
A
< br>
A
B
n
A
'
B
n
A
'
，
1
q
1
q
1
q
的类指数函数，底数为公比
q
(2)
对任何
m,n
N
*
,
在等比数列
{
a
n
}
中
,
有
a
n
< br>a
m
q
n
m
,
特别的
,
当
m=1
时
,
便得到等比数列的通项公
式
.
因此
,
此公式比等比数列的通项公式更具有
一般性。
(3)
若
m+n=s+t (m, n, s, t
< br>
N
*
),
则
a
n
a
m
a
s<
/p>
a
t
.
特别的
,
当
n+m=
2k
时
,
得
a
n
a
m
a
k
2
注：
a
1
a
n
a
2
a
n
1
a
3
a
n
<
/p>
2
a
k
(4)
列
{
a
n
}<
/p>
,
{
b
n
}
为等比数列
,
则数
列
{
}
,
{<
/p>
k
a
n
}
,
{
a
n
k
}
,
{
k
a
n
b
n
}
{
n
}
(k
为非零常数
)
< br>均为等比数
a
n
b
n
列
.
(5)
数列
{
a
n
}
为等比数列
,
每隔
k(k
N
*
)
项取出一项
(
a
m
,
a
m
k
,
a
m
2
k
,
a
m
< br>3
k
,
< br>)
仍为等比数列
(6)
如果
{
a
n
}
是各项均为正数的
等比数列
,
则数列
{log
a
a
n
}
是
等差数列
(7)
若
{
a
n
}
为等比数列
,
则数列
S
n
，
S
2
n
S
n
，
S
3
n
S
2
n
< br>,
，成等比数列
(8)
若
{
a
n
}
为等比数列
,
则数列
a
1
a
2
a
n
,
a
n
1
a
n
2
a
2
n
,
a
2
n
1
a
2
n
2
a
3
n
成等比数列
(9)
①当
q
1
时，
②当
0<
q
1
时，<
/p>
{
a
1
0
，则
{
a
n
}
为递增数列
a
1
0
，则
{
a
n
}
为递减数列
,
1
0
，则
{
a
n
}
为递减数列<
/p>
{
a
a
1
0
，则
{
a
n
}
为递增数列
③当
q=1
时<
/p>
,
该数列为常数列（此时数列也为等差数列）
;
④当
q<0
时
,
该数列为摆动数列
. <
/p>
(10)
在等比数列
{
< br>a
n
}
中
,
当项数为
2n (n
N
*
)
时
,
S
奇
1
,.
S
偶
q
(11)
若
{
a<
/p>
n
}
是公比为
q
的等比数列
,
则
S
n
m
S
n
q
n
S
m
数列
教学目标
（一）知识与技能目标：要求学生理解并掌握等差数列的概念，理解等差数列的通
项公式
的推导过程及思想，初步引入“数学建模”的思想方法并能应用
（二）过程与方法目标：培养学生观察、分析、归纳、推理的能力，在领会函数与数列关系的前提
下，把研究函数的方法迁移到研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力。
（三）情感态度价值观目标：通过对等差数列的研究，培养学生主动探索，勇于发现的求
索精神，
使学生逐步养成细心观察，认真分析，善于总结的良好思维习惯。
二、教学重点、难点
重
点：等差数列的概念以及等差数列的通项公式的推导过程及应用。
难点：
应用不完全归纳法和迭加法是这节课的一个难点，
同
时，
用数学思想解决实际问题是本
节课的另一个难点。
1
、由引入得出等差数列的概念：
如果一个数列
,
从第二项起，每一项与它的前一项
之差都等于同一常数，这个数列就叫等差数列
,
这个常数叫做
等差数列的公差，通常用字母
d
来表示。
强调：
①
“从第二项起”满足条件；
②公差<
/p>
d
一定是由后项减前项所得；
③每一项与它的前一项的差必须是同一个常数（强调“同一个常数”
）；
一．
数列考点：
1.
等差数列、等比数列的求通项及球和；
2.
数列的递推；
3.
数列的实际运用。
二．数列常用数学思想：
< br>1.
方程思想
2.
函数思想
3.
转化思想
4.
观察、归纳、猜想、证明
5.
整
体思想
6.
特殊化思想
7.
类别思想
2.
等差数列的性质
若
a
，
b
是等差数列
a
n
中取一部分连续的项，仍然是等差数列、通
项公式