数列常见题型总结经典汇编
-
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好资料
高中数学《数列》常见、常考题型总结
题型一
数列通项公式的求法
1
．前
n
项和法（知
S
n
求
a
n
）
a
n
(
n
1
)
S
1
S<
/p>
n
S
n
1
(
n
2
)
2
例
1
、已知数列
{
a
n
}
的前
n
项和
S
n
12
n
< br>n
，求数列
{|
a
n
|}
的前
n
项和
T
n
2
变式：已知数列
{
a
n
}
的前
n
项和
S
n
n
12
n
，求数列
{|
a
n
|}
的前
n
项和
T
n
练习：
2
(
n
1
)
1
、若数列
{<
/p>
a
n
}
的前
n
项和
S
n
2
，求该数列的通项公式。答案：
a
n
n
1
< br>(
n
2
)
2
3
n
2
、若数列
{
a
n
}
的前
n
项和
S
n
<
/p>
a
n
3
，求该数列的通项公式。答案：
a
n
2
3
2
2
3
< br>、设数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，数列
{
S
n
}
的前
n
项和为
T
n
，满足
T
n
2
S
n
n
，
求数列
{
a
n
}
的通项公式。
< br>n
4.
S
n
为
{
a
n
}
的前
n
项和，
S
n
=3
（
a
n
－
1
）<
/p>
，求
a
n
（
n
∈
N
+
）
5
、设数列
a
n
满足
a
1
3
a
2
< br>3
a
3
…
+3
a
n
2
n-1
n
(
n
N
*<
/p>
)
，求数列
a
n
的通项公式（作差法）
3
2.
形如
a
n
1
a
n
f
(
n
)
型（累加法）
（
1
< br>）若
f(n)
为常数
,
即：
a
n
1
a
n
d
,
此时数列为等差数列，
则
a
n
=
a<
/p>
1
(
n
1
)
d
.
（
2
）若
f(n)
为
n
的函数时，
用累加法
.
3
n
1
例
1.
< br>已知数列｛
a
n
｝满足
a
1
1
,
a
n
< br>3
a
n
1
(
n
2
)
,
证明<
/p>
a
n
2
*
例
2.
已知数列
a
n
的首项为
1
，且<
/p>
a
n
1
a
n
2
n
(
n
N
)
写出数列
a
n
< br>的通项公式
.
n
1
例
3.
已知数列
{
a
n
}
满
足
a
1
3<
/p>
，
a
n
a
n
1
1
(
n
2
)
，求此数列的通项公式
.
n
(
n<
/p>
1
)
a
n
1
f
(
n
)
型（累乘法）
a
n
a
n
1
（
1
）当
f(n)
为常数，即：
n
1<
/p>
q
（其中
q<
/p>
是不为
0
的常数）
，此数列为等比且
a
n
=
a
1
q
.
a
n
3.
形如
（
2
）当
f(n)
为
n
的函数时
,
用累乘法
.
<
/p>
例
1
、在数列
{
a
n
}
中
a
1
1
,
a
n
练习：
1
、在数列
{
a
n
}
中
a
1
1
,
a
n
2
、求数列
a
< br>1
n
2
a
n
1
(
n
2
)
，求数列的通项公式。答案：
a
n
n
1
n
1
< br>n
1
2
a
n
1
(
n
2
)
，求
a
n
与
S
n
。答案：
a
n
n
(
n
1
)
n
< br>1
1
,
a
n
2
n
3
a
n
1
(
n
2
)
的通项公式。<
/p>
2
n
1
pa
n
1
型（取倒数法）
r
a
n
1
<
/p>
s
4.
形如
a<
/p>
n
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-----
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a
n
1
(
n
2
)
，求通项公式
a
n
2
a
n
1
1
a
n
1
练习：
1
、若数列
{
< br>a
n
}
中，
a
1
1
,
a
n
1<
/p>
,
求通项公式
a
n
.
答案：
a
n
3<
/p>
a
n
1
3
n
2
1
2
、若数列
{
a
n
}
中，
a
1
1
，
a
n
1
a
n
2
a
n
a<
/p>
n
1
，求通项
公式
a
n
.
答
案：
a
n
2
n
1
5
．形如
a
n
1
ca
n
d
,
(
c
0
,
其中
a
1
< br>
a
)
型（构造新的等比数列）
（
1
）若<
/p>
c=1
时，数列
{
a
n
}
为等差数列
< br>;
（
2
）若
d=0
时，数列
{
a
n
}
为等比数列
;
（
3
）若
c
1
且d
0
时，数列
{
a
n
}
为线性递推数列，其通项可通过待定系数法
构造辅助数列来求
.
例
1.
已知数列
a
n
中，
a
1
2
，
a
n
方法如下：设
a
n
1
A
c
(
a
n
A
< br>)
,
利用待定系数法求出
A
1
1
a
n
,
求通项
a
n
.
2
2
n
1
练习：
1
、若数列
{
a
n
}
中，
a
1
2
,
a
n
1
2
a
n
1
,
求通
项公式
a
n
。答案：
< br>a
n
2
1
2
2
n
1
2
、若数列
{
a
n<
/p>
}
中，
a
1
1
,
a
n
1
a
n
1
< br>,
求通项公式
a
n
。答案：
a
n
3
2
(
)
3
3
6.
形如
a
n
1
pa
n
f
(
n
)
型（构造新的等比数列）
(1)
若
f
(
n
)
kn
b
一次函数
(k,b
是常数，且
k
0
)
，
则后
面待定系数法也用一次函数。
3
例题
.
在
数列
{
a
n
}
中，
a
1
<
/p>
，
2
a
n
a
n
1
6
n
3
,
求通项
a
n
.
2
< br>例
1
．已知数列
{
a
n
}
中，
a
1
2
,
a
n
1
解：原递推式可化为
2
(
a
n
kn
b
)
< br>
a
n
1
k
(
n
1
)
b
比较系数可得：
k=-6,b=9,
上式即为
2
b<
/p>
n
b
n
1
9
1
,
公比为
.
2
2
9
1
1
1
b
n
(
)
n
1
即：
a
n
<
/p>
6
n
9
9
(
)
n
，故
a
n
9
< br>(
)
n
6
n
9
.
2
2
2
2
练习：
1
、已知数列
a
n
中
，
a
1
3<
/p>
，
a
n
1
3
a
n
4
n
2
，求通项公式
a
n
所以
b
n
是一个等比数列，
首项
b
1
a
1
6
n
9
(2)
若
f
(
n
)
q
(
其中
q
是常数，且
n
0,1)
n
①若
p=1
时，即：
a
n
1
a
n
q
，累
加即可
n
②若
p
1
时，即：
a
n
1
p
a
n<
/p>
q
，后面的待定系数法也用指数形式。
n
p
a
n
1
,
q
n
1
q
q
n
q
a
p
1
b
b
令
b
n
<
/p>
n
,
则可化为
.
然后转化为类型
5
来解，
n
1
< br>n
n
q
q
q
2
例
1.
在数列
{
a
n
}
中，
a
1
，且
a
n
2
a
n
1
3
n
1
(
n
N
< br>)
．求通项公式
a
n
5
1
1
n
n
1
1
、已知数列
a
n
中，
a
< br>1
，
2
a
n
a
n
1
(
)
，求通项公式
a
n
。答案：
a
n
n
1
2
2
2
n
n
1
n
2
、已知数列
a
n
中，
a
1
1
，
a
n
1
3
a
n
3
2
，求通项公式
a
n
。答案：
a
n
7
3
3
2
两边同除以
q
n
1
.
即：
a
n
1
< br>
题型二
根据数列的性质求解（整体思想）
1
、已知
S
n
为等差数列
a
n
的前
n
项和，
a
6
100
，则
S
11
；
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2
、设
S
n
、
T
n
分别是等差数列
<
/p>
a
n
、
a
n
的前
n
项和，
3
、设
S
n
是等差数列<
/p>
a
n
的前
n
项和，若
S<
/p>
n
7
n
2
a
，则
5
.
T
n
n
3<
/p>
b
5
a
5
5
S
,
则
9
（
）
a
3
9
S
5
5
、在正项等比数列
a
n
中，
a
1
a
5
2
a
3
a
5
a
3
a
7
25
，则
a
3
a
< br>5
_____
__
。
6
、已知
S
n
为等比数列
a
n
前
n
项和，
S
n
54
，
S
2
n
60
，则
S
3
n
< br>
.
7
、在
等差数列
a
n
中，若
S
4
1
,
S
8
4
，则
a<
/p>
17
a
18<
/p>
a
19
a
20
的值为（
）
8
、在等
比数列中，已知
a
9
a
10
a
< br>(
a
0)
，
a
19
a
20
b
，则
a
99
a
100
.
题型三：证明数列是等差或等比数列
A)
证明数列等差
< br>例
1
、已知数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，且满足
a
n
+2
S
n
·
S
n
－
1
=0
< br>（
n
≥
2
）
，
a
1
=
B
）证明数列等比
< br>*
例
1
、已知数列
a
n
< br>满足
a
1
1,
a
2
3,
a
n
2
3
a
n<
/p>
1
2
a
n
(
n
N
).
1
1
.
求证：
{
}
是等差数列；
S
n
2
⑴证明：数列
a
n
1
a<
/p>
n
是等比数列；
⑵求数列
a
n
的通项公式；
题型四：求数列的前
n
项和
基本方法：
A
）公式法，
B
）分组求和法
1
、求数列
{2
2
n
3
}
的前
n
项和
S
n
.
n
2
.
S
n
<
/p>
1
3
5
7
(
1
)
(
2
n
1
)
n
3.
若数列
{
a
n
}
的通
项公式是
a
n
＝
(
－
1)
n
·
(3
n
－
2
)
，则
a
1
＋
a
2
＋…＋
a
10
＝
(
)
A
．
15
B
．
12
C
．－
12
D
．－
15
4.
求数列
1
，
2+
1
1
1
1
，
3+
，
4
+
，…，
n
n
1
2<
/p>
4
8
2
1
1
1
1
1
(
)
；
n
1
n
；
n
(
n
k
)
k
n
n
k
n
n
1
< br>5.
已知数列
{
a
n
}
是
3
< br>＋
2
－
1,6
< br>＋
2
2
－
1,9
＋
2
3
－
1,12
＋
2
4
－
1
，…，写出数列
{
a
n
}
的通项公式并求其前
n
项和
S
n
.
C
）裂项相消法
，数列的常见拆项有：
例
1
、
求和：
S
=1+
1
1
1
1
<
/p>
2
1
2
3
1
2
3
n
例
2
、求和：
1
1
< br>1
1
.
2
1
3
<
/p>
2
4
3
n
1
n
D
）倒序相加法，
<
/p>
x
2
1
1
1
)
f
(
2009
)
f
(
1
例、设
f
(
x
)
，求：
f
(
2010
3
)
f
(
2
)
f
(
2
)
f
(
20
09
)
f
(
2010
).
2
1
x
E
）错位相减法，
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< br>-----
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n
1
、若数列
a
n
的通项
a
n
(
2
n
1
)
3
，求此数列的前
n
项和
S
n
.
2
2.
S
n
1
2
x
3
x
< br>
nx
n
1
(
x
0)
（将分为
x
1
和
x
<
/p>
1
两种情况考虑）
题型五：数列单调性最值问题
例
1
、数列
a
n
中，
a
n
2
n
49
，当数列
a
n
的前
n
项和
S
n
取得最小值时，
n
.
例
2
、已知
S
n
为等差数列
a
n
的前
< br>n
项和，
a
1
< br>
25
,
a
4
16
.
当
n
为何值时，
S
< br>n
取得最大值；
n
*
例
3
、设数列
a
n
的前
n
项和为
S
n
．已知
a
1
a
，
a
n
1
S
n
3
，
n
N
．<
/p>
n
*
（Ⅰ）设
b
n
S
n
3
，求数列<
/p>
b
n
的通项公式；
（Ⅱ）若
a
n
1
≥
a
n
，
n
<
/p>
N
，求
a
的取值
范围．
题型六：总结规律题
1
．
已知数
列
a
n
<
/p>
满足
a
n
项的和为？
2
．
数列<
/p>
{
a
n
}
满足
a
n
+
1
＋
(
－
1)
n
a
n
＝
2<
/p>
n
－
1
，则
{
a
n
}
的前
60
项和为？
常见练习
1
．方程
x
2
6
x
4
0
的两根的等
比中项是（
）
A
．
3
B
．
2
C
．
6
D
．
2
2
、已知等比数列
a
n
的前三项依次为
a
1
，
< br>a
1
，
a
4
，则
a
n
5<
/p>
a
n
1
2
(
n
2
,
n
N
*
)
，
且
a
n
前
2014
项的和为
403
，
则数列
a
n
a
n
1
的前
2014
a
n
1
5
3
3
2<
/p>
A
．
4
B
．
4
C
．
4
2
2
3
< br>n
n
n
1
2
D
．
4
3
n
1
< br>
3
．
一个有限项的等差数列，
前
4
项之和为
40
，
最后
4
项之和是
80
，
所有项之和是
210
，
则此数列的项数为
（
）
A
．
12
B
．
14
C
．
16
D
．
18
4
．
{a
n
}<
/p>
是等差数列，
S
10
0,
S
11
0
，则使
a
n
0
的最小的
< br>n
值是（
）
2
3
3
A
．
5
B
．
6
C
．
7
D
．
8
5.
若数列
1,
2cos
< br>
,
2
cos
< br>
,
2
cos
< br>
,
A.
< br>k
a
2
,
前
100
项之和为
0
，则
< br>的值为（
）
3
b
(
k
Z
)
B.
2
k
c
3
(
k
Z
)
C.
2
k
2
(
k
< br>Z
)
D.
以上的答案均不对
3
6.
设
2
=3,2
=6,2
=12,
则
数列
a,b,c
成
A.
等差
B.
等比
C.
非等差也非等比
D.
既等差也等比
< br>7
．如果等差数列
a
n
中，
a
3
a
4
a
5
12
，那么
a
1
< br>
a
2
...
a
7
( )
（
A
）
14
（
B
）
21
（
C
）
28
（
D
）
35
3
8.
设数列
{
a
n
}
的前
n
项和
S
n<
/p>
n
，则
a
4
的值为
( )
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