数列全部题型归纳(非常全面,经典!)
-
将简单的方法练到极致就是绝招！
数列百通
通项公式求法
(
一
)
转化为等差与等比
2
1
、已知数列
{
a
n
}
满足
a
1
1
，
a
n
a
n
，则它的通项公式
a
n
什么
1
1
（
n
N
,
２≤
n
≤８）
< br>2.
已知
{
a
< br>n
}
是首项为
2
的数列，并且
a
n
1
a
n
2
a
n
< br>a
n
1
，则它的通项公式
a
n
是什么
3.
首项为
2
的数
列，并且
a
n
1
2
a
n
3
，则它的通项公式
a
n
是什么
页脚内容
1
将简单的方法练到极致就是绝招！
4
、已知
数列
a
n
中，
a
1
<
/p>
0
，
a
n
1
1
，
n
N
*
.
2
a
n
1
求证：
是等差数列；并求数列
a
n
的通项公式；
<
/p>
a
n
1
5.
已知
数列
a
n
中，
a
1
<
/p>
3
，
a
n
1
2
a
n
2
n
2
，如果
b
n
a
n
2
n
，求数列
a
n
的通项公式
页脚内容
2
将简单的方法练到极致就是绝招！
（二）含有
S
n
的递推处理方法
1
）知数列
{
a
n
}
的前
n
项和
S
n
满足
log
2
（
S
n
+1
）
=
n
+1
，求数列
{
a
n
}
的通项公式
.
(2
<
/p>
a
n
)
2
2.
）若数列
a<
/p>
n
的前
n
项和
S
n
满足，<
/p>
S
n
则，数列
a
n
8
1
3
）若数列
a<
/p>
n
的前
n
项和
S
n
满足，<
/p>
a
n
S
n
S
n
1
,
a
n
0,
a
< br>1
则，数列
a
n
4
页脚内容
3
将简单的方法练到极致就是绝招！
4
）
a
1
2
a
2
3
a
3
< br>...
na
n
n
(
n
1)(
n
2)
< br>
求数列
a
n
（三）
累加与累乘
（
1
）如果数列
a
< br>n
中
a
1
1,
a
n
a
n
<
/p>
1
2
n
(
n
2)
求数列
a
n
（
2
）已知数列
{
a
n
}
满足
a
1<
/p>
3
，
a
n
a
n
1
1
(
n
2
)
，求此数列的通项公式
n
(
n
1
)
页脚内容
4
将简单的方法练到极致就是绝招！
(3)
a
1
1,
a
2
2,
a<
/p>
n
+2
=3
a<
/p>
n
1
2
a
n
,
求此数列的通项公式
.
1
（
4
）若数列
a
n<
/p>
的前
n
项和<
/p>
S
n
满足，
S<
/p>
n
n
2
a
n
,
a
1
则，数列
a
n
2
（四）一次函数的递推形式
1. <
/p>
若数列
a
n<
/p>
满足
a
1
1,
a
n
1
a
n
1
1
(
n
2)
< br>，数列
a
n
2
页脚内容
5
将简单的方法练到极致就是绝招！
1
2 .
若
数列
a
n
满足
a
1
<
/p>
1,
a
n
a
n
1
2
n
(
n
2)
，数列
a
n
2
（五）分类讨论
（
< br>1
）
a
n
3
a
n
2
(
n
3),
a
1
1,
a
2
7
，求数列
a
n
页脚内容
6
将简单的方法练到极致就是绝招！
（
2
）
a
n
2,(
n
3)
a
1
1,
a
2
3
，求数列
a
n
a
n
2
（六）求周期
1
a
n
,
a
2
4
，求
数列
a
2004
1
a
n
16
（
1
）
a
n
1
（
2
）如果已知数列
a
n
1
a
n
a
n
1
，
a
1
2,
a
2
6
，求
a
2010
页脚内容
7
将简单的方法练到极致就是绝招！
拓展
1<
/p>
：有关等和与等积
（
< br>1
）数列
{
a
< br>n
}
满足
a
1
0
,
a
n
1
<
/p>
a
n
2
,
求数列
{
a
n
}
的通项公式
（
2
）数列
{
a
n
}
满足
a
1
0
,
a
n
1
a
n
2
n
,
求数列
{
a
n
}
的通项公式
1
(3).
已知数列
{
a
n
}
满足
a
1
3
,
a
n<
/p>
a
n
1
(
)
n
,
(
n
N
*
)
,
求此数列
{
a
< br>n
}
的通项公式
.
2
拓展
2
综合实例分析
页脚内容
8
将简单的方法练到极致就是绝招！
1
已知数列
{
a
n
}
的前
n
项
和为
S
n
，且对任意自然数
n
，总有
S
n
p
a
n
1
,
p
0,
p
1
（
1
）求此数列
{
a
n
}
的通项公式
< br>
(2)
如果数列
b
n
中，
b
n
< br>2
n
q
,
a
1
b
1
,
a
2
b
2
，求实数<
/p>
p
的取值范围
n
3
n
2
已知整数列
{
a
n
}
满足<
/p>
a
1
a
2
a
2
a
3
a
3
a
4
...
a
n
1
a
n
，求所有可能的
a
n
3
2
2
)
，则它的通
项公式
3
已知
{
a
n
}
是首项为１的正项数列，并且
(
n
1)<
/p>
a
n
1
na
n
a
n
1
a
n
0(
n
1,
2,3,
a
n
是什么
页脚内容
9
将简单的方法练到极致就是绝招！
4
已知
{
a
n<
/p>
}
是首项为
1
的
数列，并且
a
n
1
a
n
，则它的通项公式
a
n
是什么
3
a
n
4
5
、
数列
a
n
和
b
n
中，
a
n
,
b
< br>n
,
a
n
1
成等差数列，
b
n
，
a
n
1
，
b
n
1
成等比数列，
< br>且
a
1
1
，
b
1
2
，
设
c
n
a
n
，求数列
c
n
的通项公式。
b
n
6
设无
穷数列
a
n
的前
n
项和为
S
n
，已知
a
1
2
，且当
n
N
时，总有
3
S
n
1
1
2<
/p>
S
n
，求
a
n
及
S
n
．
页脚内容
10
将简单的方法练到极致就是绝招！
7 <
/p>
数列
a
n
满足
p
1
S
n
1
a
n
，其中
p
为正实数，
S
n
a
1
a
2
…
a
n
n
N
*
<
/p>
(1)
证明：
a
n
为等比数列，并求出它的通项；
(2)
数列
b
n
中，
b
1
1
，
b
n
1
b
n
a
n
，求
b
n
的通项公式
页脚内容
11
将简单的方法练到极致就是绝招！
数列求最值的方法
（一）化为函数方法
转化为耐克函数
n
< br>2
n
4
（
1
）如果数列
< br>
a
n
的通项公式是
a
n
=
，此数列的哪一项最小？并求其最小值
n
（
2
）如果
数列
a
n
的通项公式是
a
n
=
n
，此数列的哪一项最大？并求其最大值
n
2
1
56
转化为分式函数
n
1
，此数列的哪一项最大？并求其最大值
n
5
（
3
）如果数列
a
n
的通项公式是<
/p>
a
n
=
页脚内容
12
将简单的方法练到极致就是绝招！
转化为二次函数
（
< br>4
）如果数列
a
n
的通项公式是
a
n
=
n
2
kn
2
是单调递增数列，求
k
的取值范围。
如果该数列在第四项最小，求
k
的取值范围
（二）数列的简单单调性求最值的方法：
如果数列
a
n
< br>
的通项公式是
a
n
=
(1)
判断数列的增减
(2)
若对于一切大于
1
的
自然数
n
，不等式
a
< br>n
1
1
1
.....
(
n
N
*
)
，
n
1
n
2
< br>n
n
1
2
log
a
(
a
1)
恒成立求
a
的取值范围？
12
3
页脚内容
13
将简单的方法练到极致就是绝招！
（三）计算器结合复杂单调性，求最值的方法
（
1
）
数列
< br>
a
n
的通项公式是
a
n
=
n
1,
n
< br>
N
*
，
是否存在自然数
m
，
使对任意的序号
n
N
*
，
有
a
n
a
m
恒成立，若存在
，求出
m
，如果不存在，请说明理由
9
（
2
）如果数列
a
n
的通项公式是
a
n
=
(
)
n
,<
/p>
n
N
*
，是否存在自然数
m
，使对任意的序号
n
N
*
，
10
有
a
n
a
m
< br>恒成立，若存在，求出
m
，如果不存在，请说明理由
9
（
3
）如果数列
a
n
的通项公式是
a
n
=
(
n
1)(
)
n
,
n
N
*<
/p>
，是否存在自然数
m
，使对任意的序号<
/p>
10
n
N
*
，有
a
n
a
m
恒成立，若存
在，求出
m
，如果不存在，请说明理由
页脚内容
14
将简单的方法练到极致就是绝招！
（四）数列单调性求“和”的最值的方法
已知数列前
n
项和为
S
n
，且
S
n
n
5
< br>a
n
85,(
n
N
)
（
1
）
求
a
n
的通项
公式
求
S
n
的通项公式
说说
n
为何值时，
S
n
取得最小值？
（
2
）
（
3
）
数列的求和
（一）倒序相加法：
1
，利用课本中推导等差数列前
n
项和公式的方法，求
：
x
2
<
/p>
2
（
1
）设
f
x
f
8
f
7
…
< br>
f
0
…
f
8
f
9
的值
页脚内容
15
将简单的方法练到极致就是绝招！
0
1
2
3
n
1
n
2
C
n
3
< br>C
n
4
C
n
....
nC
n
(
n
1)
C
n
（
2
）
<
/p>
S
n
C
n
（二）
错位相减法
1
3
5
7
2
n
1
求和：
…
n
2
4
8
16
2
（三）
公式求和法
（
1
）数列
a
n
中，
a
1
8,
a
4
2
且
a
n
2
2
a
n
1
a
n
< br>
0
n
N
*
，
S
n
a
1
a
2
a
3
a
< br>4
…
a
n
，求
S
n
．
页脚内容
16
将简单的方法练到极致就是绝招！
（
2
）
S
n
a
n
a
n
1
< br>b
a
n
2
b
2
a
2
b
n
2
ab
n
1
b
n
(
n
N
*
)
（
3
）求和
1
2
2
2
3<
/p>
2
4
2
…
n
2
（三）裂项求和法
（
1
）
1
1
5
,
1
3
7
,
1
5
< br>9
,
…
（
2
）
1
1
3
1
3
5
< br>
1
5
7
…
页脚内容
17
将简单的方法练到极致就是绝招！
（
3
）
1
1
1
1
1
,
< br>(
n
N
*
)
1
2
1
2
3
1
2
3
4
1
2
< br>
3
n
（
4
）
求数列
a
n
n
n
!
的前
n
项和
（四）
.
分组求和法
1.
分部分组法
页脚内容
18
将简单的方法练到极致就是绝招！
1
1
1
（
1
）
1
,2
,3
,
…
2
4
8
1
1
1
（
2
）
1
，
3
＋
，
< br>3
2
＋
2
，……，
3
n
＋
n
3
3
3
2.
奇偶分组
6
n
5
n
为偶数
（
3
）已知
a
n
n
求数列
a
n
的前
n
项和．
4
n
为奇数
3
均匀分组
页脚内容
19
将简单的方法练到极致就是绝招！
（
4
）
1,3
,
5,7
…
4.
不均匀分组
1
1
1
1
1
1
1
1
1
（
5
）求数列：
1,
,
,
,
,
,<
/p>
,
,
,
,
…的前
100
项和；
2
2
3
3
3
4
4
4
4
（
6
）求数列：
1,2
3,4
5
6,7
8
9
10,
…的前
n
项
和．
数列的极限
5
个“三”
三个定义极限
（
1
）
lim
C
=
C
（
C
为常数）
;
n
（
2
）
lim
n
1
=0;
n
页脚内容
20
将简单的方法练到极致就是绝招！
（
3
）
lim
q
n
=0
（
|<
/p>
q
|
＜
1
）
n
三个不存在的极限
lim
n
n
lim(
1)
n
n
lim
2
n
n
三个推导极限
（
1
）多项式
a
a
k
n
k
a
k
1
n
k
1
< br>...
a
1
< br>n
a
0
,
l
k
;
b
(
k
,
l
N
*
,
a
k
0,
b
l
0)
< br>
lim
l
l
< br>
1
...
< br>
b
1
n
b
0
n
b
l
n<
/p>
b
l
1
n
0,
l
k
.
an
2
bn
3
lim
3
，则
a
________,
b<
/p>
________
.
< br>
n
4
n
5
(2)
单指数
(1
r
)(1
q
n
)
lim
n
1
q
(1
q<
/p>
)
n
（
3
）多指数
页脚内容
21