数列例题(含答案)
-
1
．设等差数列
{a
n
}
的前
n
项和
为
S
n
，且
S
4
=4S
2
，
a
2n
=2a
n
+1
．
（
1
）求数列
{a
n
}
的通项公式；
（
2
）设数列
{b
n
}
的前
n
项和为
T
n
且
（
λ
为常数）
．令
c
n
=b
2n
（
n
∈
N
*
）求数列
{c
n
}
的前
n
项和
R
n
．
【解答】
解：
（
1
）
设等差数列
{a
n<
/p>
}
的首项为
a
1
，
公差为
d
，
由
a
2n
=2
a
n
+1
，
取
n=1
，
得
a
2
=2a
1
+
1
，
即
a
1<
/p>
﹣
d+1=0
①
再由
S
4
=4
S
2
，得
联立
①
、
②
得
a<
/p>
1
=1
，
d=2
．
所以
a<
/p>
n
=a
1
+
（
n
﹣
1
）
d=1+2
（
n
﹣
1
）
=2n
﹣
1
；
（
2
）把
a
n
=2n
﹣
1
代入
所以
b
1
=T
1
=
λ
﹣
1
，
< br>当
n
≥
2
时，
=
．
，得
，则
．
，即
d=2a
1
②
所以
，
．
<
/p>
R
n
=c
1
+c
2
+
…
+c
n
=
③
④
③
﹣
④
得：
=
所以
所以数列
{c
n
}
的前
n
项和
；
．
2
．等差数列
{a
n
}
中，
a
2
=4
，
a
4<
/p>
+a
7
=15
．
（
Ⅰ
）求数
列
{a
n
}
的
通项公式；
（
Ⅱ
）设
b
n
=2
+n
，求
b
1
+b
2
+b
3
+
…
+b
10
的值．
，
【解答】
解：
（
Ⅰ
）设公差为
d
，则
解得
，
所以
a
n
=3+
（
n
﹣
1
）
=n+2
；
（
Ⅱ
）
b
n
=2
+n=2
n
+n
，
所以
b
1
+b
2
+b
3
+
…
+b
10
=
（
2+1
）
+
（
2
2
+2
）
+
…
< br>+
（
2
10
+10
）
=
（
2+2
2
+
…
+2
10
）
+
（
1+2+
…
< br>+10
）
=
3
．已知数列
{log
2
（
a
n
﹣
1
）
}
（
n<
/p>
∈
N
*
）为等差
数列，且
a
1
=3
，
a
3
=9
．
（
Ⅰ
）
求数列
{a
n
}
的通项公式；
（
Ⅱ
）证明
+
+
…
+
＜
1
．
+
=2101
．
【解答】
（
I
）解：设等差数列
{log
2
（
a
n
﹣
1
）
}
的公差为
d
．
由
a<
/p>
1
=3
，
a
3
=9
得
2
（
log
2
2+d<
/p>
）
=log
2
2
+log
2
8
，即
d=1
．
所以
< br>log
2
（
a
< br>n
﹣
1
）
=1+
（
n
﹣
1
）
×
1=n
，即
a
n
=2
n
+1
．
（
II
）证明：因为
=
=
，
所以
即得证．
+
+
…
+
=
+
+
+
…
+
=
=1
﹣
＜
1
，
4
．已知
{a
n
}
< br>是正数组成的数列，
a
1
=1<
/p>
，且点（
，
a
n
+1
）
（
n
∈
N
*
）在函数
y=x
2
+1
的图象
< br>上．
（
Ⅰ
）求数列
{a
n
}
的通项公式；
（
Ⅱ
）若列数
{b
n
}
满足
b
1
=1
，
b
n+1
=b<
/p>
n
+2
an
，求
证：
b
n
•
b
n+2
＜
b
n
+1
2
．
【解答】
解：解法一：
（
Ⅰ
）由已知得
a
n+1
=a
n
+1
、即
a
n+1
﹣<
/p>
a
n
=1
，又<
/p>
a
1
=1
，
所以数列
{a
n
}
是以
1
为首
项，公差为
1
的等差数列．
故
a
n
=1+
（
n
﹣
1
）
×
1=n
．
（
Ⅱ
）由（
Ⅰ
）知：
a
n
=n
从而
b
n+1
﹣
b
n
=2
n
．
b
n
=
（
b
n
﹣
b
n
﹣
1
）
+
（<
/p>
b
n
﹣
1
﹣
b
n
﹣
2
）
+
…
+
（
b
2
﹣
b
1
）
+b
1
﹣
﹣
=2
n
1
+2
n
2
+
…
+2+1
=
∵
b
n
•
b
n+2
﹣
b
n+1
2
=
（
2
n
﹣
1
）
（
2
n+2
﹣
1
）﹣（
2
n+1
﹣
1
）
2
=
（
2
2n+2
﹣
2
n
﹣
2
n+2
+1
）﹣（
2
2n+2
﹣<
/p>
2
•
2
n+1<
/p>
+1
）
=
﹣
2
n
＜
0
∴
b
n
•
b
n+2
＜
b
n+1
2
解法二：
（
Ⅰ
）同解法一．
（
< br>Ⅱ
）
∵
b
2
=1
﹣
﹣
b
n
•
b
n
+2
﹣
b
n+1
2
=
（
b
n
+1
﹣
2
n
）
（
b
n+1
+
2
n+1
）﹣
b
n+1
2=2n+1
•
bn+1
2n
•
bn+1
2
n
•
2n+1
=2
n
（
b
n+1
﹣
2
n+1
）
=2
n
（
b
n
+2
n
﹣
2
n+1
）
=2
n
（
b
n
﹣
2
n
）
=
…
=2<
/p>
n
（
b
1
﹣
2
）
=
﹣
2
n
＜
0
∴
b
< br>n
•
b
n+2
< br>＜
b
n+1
2
< br>
5
．已知等差数列
{a
n
}
满足
a
1
+a
2
=10
，
a
4
﹣
a
3
=2
（
1
）求
{a
n
}
的通项公式；
（
2
）设等比数
列
{b
n
}
满
足
b
2
=a
3
，
b
3
=a<
/p>
7
，问：
b
6<
/p>
与数列
{a
n
}
的第几项相等？
【解答】
解：
（
I
）设等差数列<
/p>
{a
n
}
的公差
为
d
．
∵<
/p>
a
4
﹣
a
3
=2
，所以
d=2
∵
a
1
+a<
/p>
2
=10
，所以
2a
1
+d=10
∴
a
1
=4
，
< br>
∴
a
n
=4+2
（
n
﹣
1
）
=2n+2
（
n=1
，
2
，
…
）
（
II
）设等比数列
{b
n
}
的公比为
q
，
∵
b
2
=a
3
=8
，
b
3
=a
7
=16
，
∴
∴
q=2
，
b
1
=4
∴
∴
n=63
∴
b
6
与数列
{a
n
}
中的第
63
项相等
6
．设等差数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，且
a
5
+a
13
=34
，
S
< br>3
=9
．
（
1
）求数列
{a
n
}
的通项公式及前
n
项和公式；
（
2<
/p>
）设数列
{b
n
}
的通项公式为
，问：是否存在正整数
t
，使得
b
1
，
b
2
，
b<
/p>
m
（
m
≥
3
，
=128
，而<
/p>
128=2n+2
m
∈
N
）成等差数列？若存在，求出
t
和
m
的值；若不存在，请说明理
由．
【解答】
解：
< br>（
1
）设等差数列
{a
n
}
的公差为
d
．由已知得
即
解得
．
<
/p>
故
a
n
=2n<
/p>
﹣
1
，
S
n
=n
2
（
2
）由（
1
）知
即
移项得：
整理得
=
，
﹣
．要使
b
1
，
b
2
，
b
m
成等差数列，必须
2b
2
=b
1
+b
m
，
，
（
8
分）
．
=
，
因为<
/p>
m
，
t
为正整数
，所以
t
只能取
2
，
3
，
5
．
当
t=2
时，
m=7
；当
t=3
时，
m=5
；当
t=5
时，
m=4
．
故存在正整数
t
，使得
b
1
，
b
2
，
b
m
成等
差数列．
7
．设
{a
n
}
是等差数列，
b
n
=
（
）
an
< br>．已知
b
1
+b
2
+b
3
=
< br>，
b
1
b
2
b
3
=
．
求等差数列的通项
a
n
．
【解答】
解：设等差数列
{a
n
}
的公差为
d
，则
a
n
=a
1
+
（
n
﹣
1
）
d<
/p>
．
∴
b
1
b
3
=
•
=
=b
2
2
．
< br>由
b
1
b
2
b
3
=
，
得
b
2
3
=<
/p>
，
解得
b
2
=
．
代入已知条件
整理得
解这个方程组得
b
1
=2
，
b
3
=
或
b
1
=
，
b
3
=2
∴
a
1
=
﹣
1<
/p>
，
d=2
或
a<
/p>
1
=3
，
d=<
/p>
﹣
2
．
所以，当
a
1
=
﹣
1
，
d=2
时
a
n
=a
1
+
（
n
﹣
1
）
d=2n
﹣
3
．
当
a
1
< br>=3
，
d=
﹣
< br>2
时
a
n
=a
1
+
（
n
﹣
1
）<
/p>
d=5
﹣
2n
．