几类常见递推数列的解法
-
几类递推数列通项公式的常见类型及解法
江西省乐安县第二中学
李芳林
邮编
344300
已知数列的递推关系式求数列的通项公式的方法大约分为两类：一类是根据前几项的
特点归纳猜想出
a
n
的表达式，然
后用数学归纳法证明；另一类是将已知递推关系，用代数
法、迭代法、换元法，或是转化
为基本数列（等差或等比）的方法求通项．第一类方法要求
学生有一定的观察能力以及足
够的结构经验，
才能顺利完成，
对学生要求高．
第二类方法有
一定的规律性，
只需遵循其特有规律方可
顺利求解．
在教学中，
我针对一些数列特有的规律
总结了一些求递推数列的通项公式的解题方法．
一
、
a
n
1<
/p>
a
n
d
型
形如
a
n
1
a
n
< br>d
（
d
为常数）的递推数列求通
项公式，将此类数列变形得
a
n
1
a
n
d
，再由等差数列的通项公式
a
n
a
1
n
1
d
可求
得
a
n
.
例
1
：
已知数列
a
n<
/p>
中
a
1
2
,
a
n
1
a
n
3
n
N
，求
a
n
的
通项公式
.
解：
∵
a<
/p>
n
1
a
n
3
∴
a
n
1
a
n
3
∴
a
n
是以
a
1
2
为首项，
3
为公差的等差数列
.
∴
< br>a
n
2
n
1
3
3
n
1
为所求的通
项公式
.
二、
a
n
1
a
n
f
(<
/p>
n
)
型
形如
a
n
1
＝
a
n
+
f
(
n
)
，
其中
f
(
n
)
为关
于
n
的多项式或指数形式（
a
）或可裂项成
差的分式形式．——可移项后叠加相消．
< br>
例
2
：已知数列｛
a
n
｝
,
a
1
＝
0,
< br>n
∈
N
，
a
n
1
＝
a
n
＋（<
/p>
2
n
－
1
）
，求通项公式
a
n
．
解：∵
a
n
1
=
a
n
＋（
2
n
－
1
）
∴
a
n
1
=
a
n
＋（
2
n
－
1
）
∴
a
2
－
a
1
=1
、
a
3
－
a
2
=3
、……
a
n
－
a
n
<
/p>
1
=2
n
－
3
∴
a
n
= <
/p>
a
1
＋
(
a
2
－
a
1
)
＋
(
a
3
－
a
2
)
＋…＋
(
a
n
－
a
n
1
)
=0
＋
1
＋
3
＋
5
＋…＋
(
2
n
－
3
)
=
n
1
[
1
＋
(
2
n
－
3
)](
n
－
1)=
(
n
－
1
)
2
n
∈
N
2
三、
a
n
1
q
a
n
型
形如
a
n
1
q
a
n
（
q
为常数）的递推数列求通项公式，将此类数列变形得
a
n
1
< br>
q
，再由等比数列的通项公式
a
n
a
1<
/p>
q
n
1
可求得
a
n
.
a
n
例
3
：
已知数列
a
n
中满
足
a
1
=1
，
a
n
1
2
a
n
，求
a
n
的通项公式<
/p>
.
解：∵
a
n
1
2
a
n
∴
a
n
1
2
a
n
∴
a
n
是以
a
1
1
为首项，
2
为公比的等比数列
.
∴
< br>a
n
2
n
1
为所求的通项公式
.
四、
a
n
1
f
(
n
)
a
n
型
形如
a
n
1
a
n
1
(
mn
b
)
p
（
p
≠
0
，
m
≠
0,
b
f
(
n
)
.
其中
f
(
n
) =
f
(
n
)
a
n
可转化为<
/p>
a
n
(
mn
c
)
p
–
c
=
km
,
k
∈
Z
）或
a
a
n
1
n
< br>=
kn
（
k
≠
0
）或
n
1
=
km
(
k
≠
0,
0
＜
m
且
m
≠
1
)
．
a
n
a
n
例
4
：已知数
列｛
a
n
｝
,
a
1
=1
，
a
n
＞
0,(
n
＋
1)
a
n
1
2<
/p>
－
n a
n<
/p>
2
＋
a
n
1
a
n
=0
，求
a
n
．
解：∵
(
n
＋
1)
a
n
1
2
－
n a
n
2
＋
a
n
1
a
n
=0
∴
[(
n
＋
1)
a
n
1
－<
/p>
na
n
]
(
a
n
1
＋
a
n
)
= 0
∵
a
n
＞
0
∴
a
n
1
＋
a
n
＞
0
∴
(
n
＋
1)
a
n
1
－<
/p>
na
n
=0
a
∴
n
1
n
a
n
n
1
∴
a<
/p>
n
a
n
a
n
1
a
n
2
a
2
a
1
n
<
/p>
1
n
2
n
3
1
1
1
a
n
1
a
n
2
a
n
3
a
1
n
n
1
n
2
2
n
< br>五、
a
n
1
=
f
(
a
n
)
型
形如
a<
/p>
n
1
=
f
(
a
n<
/p>
)
，其中
f
(
a
n
)
是关于
a
n
的函数
.
-
—需逐层迭代、细心寻找其中规
律．
例
5
：已知数列｛
a
n
｝
，
a
1
=1,
n
∈
N
，
a
n
1
= 2
a
n
＋
3
n
,
求通项公式
a
n
．
解：
∵
a<
/p>
n
1
=
2
a
n
＋
3
n
∴
a
n
=2
a
n
1
＋
3
n
-1
=2
(
2
a
n
2
＋
3<
/p>
n
-2
)
＋<
/p>
3
n
-1
=
2
2
(
2
a
n
3
＋
3
n
-3
)
＋
2
·
3
n
-2
＋
3
n
-1
=
……
=2
n
-2
(
2
a
1
＋
3
)
＋
2
n
-3
·
3
2
＋
2
n
-4
·
3
3
＋
2
n-5
·
3
4
＋…＋
2
2
·
3
n-3
＋
2
·
3
n
-2
＋
3
n-1
=2
n
-1
＋
2
n
-2
·
3
＋
2
n
-3
·
3
2
＋
2
n-
4
·
3
3
＋…＋
2
2
·
3
n
-3
＋
2
·
3
n
-2
＋
3
n
-1
2
3
n<
/p>
n
n
1
3
2
3
< br>
2
1
2
n
1
六、<
/p>
a
n
1
＝
pa
n
+
q
型
形如
a
n<
/p>
1
＝
pa
n
+
q
,
pq
≠
0
，
p
、
q
为常数．
当
p
＝
1
时，为等差数列；
当
p
≠
1<
/p>
时，可在两边同时加上同一个数
x
，即<
/p>
a
n
1
+
x
=
pa
n
+
q
+
x
a
n
1
+
x
= <
/p>
p
(
a
n
+
q
x
q
x
q
)
，
令
x
=
∴
x
=
时，有
a
n
1
+
x
=
p
(
a<
/p>
n
+
x
)
，
p
1
p
p
q
}
求解．
p
1
从而转化为等比数列
{
a
n
+
1
a
+
1
，
n
=
1
、
2
、
3
、…，求通项
a
n
．
2
n
<
/p>
1
1
1
解：∵<
/p>
a
n
=
a
n
1
+ 1
a
n
－
2 =
(
a
n
1
－
2
)
<
/p>
2
2
1
又∵
a
1
－
2 =
-1
≠
0
∴数列
{
a
n
－
2
}
首项
为
-1
，公比为
的等比数列．
2
1
n
1
1
< br>n
∴
a
n
－
2 =
-1
(
)
即
a
n
=
2
－
2
n<
/p>
∈
N
2
例
6
：已知数列<
/p>
{
a
n
}
中，
a
1
=1
，
a
n
=
七、
a
n
1
＝
pa
n
+
f
(
n
)
型
形如
a
n
1
＝
pa
n
+
f
(
n
)<
/p>
，
p
≠
0
且
p
为常数，
f
(
n
)
为关于
n
的函数．
当
p
＝
1
时，则
a
n
1
＝
a
n
+
f
(
n
)
即类型二．
当
p
≠
1
时，
f
(
n
)
为关于
n
的多项式或指数形式（
a
）
．
⑴若
f
(
n
)
为关于
n
的
多项式（
f
(
n
) =
kn
+
b
或
kn
+
bn
+
c
，
k
、
b
、<
/p>
c
为常数）
，——可用
< br>待定系数法转化为等比数列．
例
7
：已知数列
{
a
n
}
满足
a
< br>1
=1
，
a
n
1
= 2
a
n
＋
n
，
n
∈
N
<
/p>
求
a
n
．
解：令
a
n
1
+
x
[
a
(
n
+1)
+
b
(
n
+1)
+
c
] =
2(
a
n
+
an
+
bn
+
c
)
即
a
n
1
= 2
a
n
+ (2
a
–
ax
)
n
+ (2
b
-2
ax
–
bx
)
n
+2
c
–
ax
–
bx
–
cx
比较系数得：
2
2
2
2
2
n
1
a<
/p>
2
x
2
a
ax
1
a
1
< br>
2
ax
令
x
= 1
，得：
b
2
2
b<
/p>
2
ax
bx
0
b
2
x
2
c
ax
bx
cx
0
c
3
ax
bx
c
2
<
/p>
x
∴
a
n
1
+ (
n
+1)
+2(<
/p>
n
+1) + 3 =
2(
a
n
+
n
+2
n
+
3)
∵
a
1
+1+2
×
1
+3 = 7
令
b
n
=
a
n
+
n
+2
n
+
3
则
b
n
1
=
2
b
n
b
1
= 7
∴数列
{
b
n
}
为首项为
7
，
公比为
2
的等比
< br>数列
∴
b
n
=
7
×
2
∴
a
n
=
7
×
2
n<
/p>
1
n
1
2
2
2
即
a
n
+
n
+2
n
+
3 =
7
×
2
－
(
n
+2
n
+
3 )
n
∈
N
n
2
2
n
1
⑵若
f
(
n
)
为关于
n
的指数形式（
a
）
．
①当
p
不等于底数
a
时，可转化为等比数列；
②当
p
等于
底数
a
时，可转化为等差数列．
例
8
：若
a
1
=1
，
a
n
= 2
a
n
1
+
3
解
:
∵
a
n
= 2
a
n
1
+
3
n
n
n
<
/p>
1
n
1
，
(
n
=
2
、
3
、
4
…
)
，求数列
{
a
n
}
的通项
a
n
．
n
n
1
∴
令
a
n
+
x
×
3
= 2(
a
n
1
+
x
×
3
n
)
得
a
n
= 2
a
n
1
－<
/p>
x
×
3
n
1
令
-
x
×
3
= 3
x
=
-1
∴
a
n
－
3
= 2(
a
n
1
－
3
∴
a
n<
/p>
3
n
=-2<
/p>
·
2
n
1
n
1
)
又
∵
a
1
－
3 =
-
2
∴数列
{
a
n
3
n
}
是首项为
-2,
公比为
2
的等比数列．
即
a
n
=
3
-2
n
∈
N
n
n