人教版七年级下册数学不等式与不等式组知识点
-
不等式与不等式组知识点归纳
一、不等式的概念
1
．不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。
2
．不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何
一个适合这个不等式的
未知数的值，都叫做这个不等式的解。
3
．不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解
的集合叫做这个
不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。
4
．解不等式：求不等式的解集的过程，叫做解不等式。
5
．用数轴表示不等式的解集。
二、不等式的基本性质
1
．不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不
变。
2
．不等式两边都乘以（或除以
）同一个正数，不等号的方向不变。
3
．不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
说明：
①在一元一次不等式中，
不像等式那样，
等号是不变的，
是随着加或
乘的运算改
变。
②如果不等式乘以<
/p>
0
，那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的数，那
么就要看看题中是否出现一元一次不等式，
如果出现了，
那么不等式乘以的数就
不等为
0
< br>，否则不等式不成立。
例
:
1
．<
/p>
已知不等式
3x-a
≤
< br>0
的正整数解恰是
1
，
2
，
3
，
则
a
的取值范围是
。
x
a
0
2
．已知关于
x
的不等
式组
无解，则
a
的取值范围是
。
5
2
x
1
2
x
4
< br>0
3
．不等式组
1
的整数解为
。
x
2
0
2
4
．
如果关于
x
的不等式
（
a-1
）
x
<
br>１，则 <
br> <
br> <
br> < (
x
和
2x<4
的解集相同，
则
a
的值为
。
x
4
x
1
5
．已知关于
x
的不等式组
3
2
的解集为
x
2
，那么
a
的取值范围
a
0
是
。
6
．当
x
时，代数式
2
x
5
的值不大于零
7.
若
x
<
2
x
2
０（用“
>
”
“
=
”或“”号填空）
8.
不
等式
7
2
x
>
１，的正整数解是
9.
不等式
x
>
a
1
0
的解集为
x
<
３，则
a
10.
若
a
>
b
>
c
，则不等式组
x
b
的解集是
x
c
x
a
2
x
a
1
的解集是－１
x
<
１，则
a
1
)(
b
1
)
的值为
11
.
若不等式组
x
2
b
3
12.
有解集２
<
x
<
３的不等式组是
（写出一个即可）
13.
一罐饮料净重约为３００
g
，罐上注有“蛋白质含
量
0
.
6<
/p>
”其中蛋白质
的含量为
_____ g
14.
若不等式组的解集为
x
><
/p>
３，则
a
的取范围是
三、一元一次不等式（重点）
1
．一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，
未知数的次
数是
1
，且不等式的两边都
是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。
2
．解一元一次不等式的一般步骤：
（
1
）去分母
2
）去括号
（
3
移项
<
/p>
（
4
）合并同类项
（
5
）将
x
项的系数化为
1
例：
一、判断题（每题
1
分，共
6
分）
1
、
a
＞
b
，得
a
< br>＋
m
＞
b
＋
m
（
）
2
、由
a
＞<
/p>
3
，得
a
＞
3
（
）
2
3
、
x =
2
是不等式
x
＋
3
＞
4
的解
（
）
4
、由－
1
a
＞－
1
，得－
＞－
a
（
）
2
2
a
＜
1
（
）
b
5
、如果
a
＞
b
，
c
＜
0
，则
ac2<
/p>
＞
bc2
（
）
6
、如果
a
＜
b
＜
0
，则<
/p>
二、填空题（每题
2
分，共
34
分）
1
、若
a
＜
b
，用“＞”号或“＜”号填空：
a
－
< br>5 b
－
5
；
a
b
－
－
；－
1
＋<
/p>
2a
－
1
< br>＋
2b
；
6
－
a
6
－
b
；
<
/p>
2
2
2
、
x
与
3
的和不小于－
6
，用不等式表示为
；
3
、当
x
时，代数式
2x
－
3
的值是正数；
1
< br>x
4
、代数式
＋
2x
的不大于
8
－
的值，那么
x
的正整数解是
；
4
2
x
5
、如果
x
－
7
＜－
5
，则
x
< br>；如果－
＞
0
，那么
x
；
2
b
6
、不等式
ax
＞
b
的解集是
x
＜
，则
a
< br>的取值范围是
；
a
7
、一个长方形的长为
x
米，宽为
50
米，如果它的周长不小于
280
米，那么
x
应满足的不等式为
；
8
、点
A
（－
5
，
y1
）<
/p>
、
B
（－
2
，
y2
）都在直线
y =
－
2x
上，则
y1
与
y2
的关系
是
；
9
、如果一次函数
y =
（
2
－
m
< br>）
x
＋
m
的图象经过第一、二、四象限，那么
m
的取
< br>值范围是
；
四、一元一次不等式组
（难点）
1
、一元一次不等式组的概念：
几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。
2
、几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的
一元一次不等式
组的解集。
3
、求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。
4
、当任何数
x
都不能使不等式同
时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为
空集。
5
、一元一次不等式组的解法
（
1
）分别求出不等式组中各个不等式的解集
（
2
）利用
数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。
例：
一、选择题
1
．下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（
）
3
x
2
0,
x
2,
x
1
0,
3
x
2
0,
A
．
B
．
C
．
D
．
< br>
1
x
3
y
2
0
(
x
2)(
x
3)
0
x
1
x
2
．下列说法正确的是（
）
x
3,
x
2,
A
．不等式组
的解集是
<
br>
．将一筐橘子分给若干个儿童，如果每人分 <
br>x <
br>m
2
＜
＋
＞－
5
．
的
解集是－
3
－
2
x
5
x
3
x
2
,
x
<
/p>
3,
C
．
的解集是
x=2 D
．
的解集是
x
≠
3
x
2
x
3
2
x
,
3
．不等式组
的最小整数解为（
）
3
x
4
8
2
x
A
．－
1
B
．
0
C
．
1
D
．
4
4
．
在平面直角坐标系中，点
P
（
2x
－
6
，
x
－
5
）在第四象限，则
x
的取值范围是
（
）
A
．
3
．－
3
．－
5
．－
5
－
3
x
2
0,
5
．不等式组
的解集是（
）
x
3
0
A
．
x>2
B
．
x<3
C
．
2
．无解
二、填空题
x
2,
6
．若不等式组
有解，则
m
的取值范围是
______
．
x
m
7
．已知三角形三边的长分别为
2<
/p>
，
3
和
a
，则
a
的取值范围是
_____
．
8
4
个橘子，则剩
下
9
个橘子；
•
如
果每人分
6
个橘子，则最后一个儿
童分得的橘子数将少于
3
个，由以上可推
出，共有
_____
个儿童，分
__
___
个橘子．
a
2,
9
．若不等式组
的解集是－
1
，则（
a+b
）
2006=______
．
b
2
x
0
三、解答题
2(<
/p>
x
2)
x
4,
(1)<
/p>
10
．解不等式组
x
1
x
0<
/p>
(2)
2
<
/p>
3
x
m
1,
11
．若不等式组
无解，求
的取值范围．
x
2
m
1
12
．<
/p>
为节约用电，
某学校于本学期初制定了详细的用电计划．
•
如果实际每天比
计划多用
度电，
那么本学期用电量将会超过
2530
度；
如果实际每天比计划
节
约了
2
度电，
那么本学期用电量将会不
超过
2200
度．
若本学期的在校时间
按
110
天计算，那么学校每天计划用
电量在什么范围内？
易错点分析：
易错点
1
：
误认为一元一次不等式组的
“公共部分”
就是两个数之间的部分．
x
－
1
＞
0
，①
例
1
解不等式组
x
＋
2
＜
0
．②
错解：
由①，
得
x
＞
1
，
由②，
得
x
＜－
2
，
所
以不等式组的解集为－
2
＜
x
＜
1
．
错因剖析：
解一元一次不等式组的方法是先分别求出不等式组中各个不等式<
/p>
的解集，再利用数轴求出这些不等式解集的公共部分．此题错在对“公共部分”
的理解上，误认为两个数之间的部分为“公共部分”
（即解集）
．实际上，这两部
分没有“公共部分”
，也就是说
此不等式组无解，而所谓“公共部分”的解是指
“两线重叠”的部分．此外，有些同学可
能会受到解题顺序的影响，把解集表示
成
1
x
＜－
2
或－
2
＜
x
＞
1
等，这些都是错误的．
正解：
由①，得
x
＞<
/p>
1
．由②，得
x
＜－
2
，所以此不等式组无解．
易错点
2
：
误认为“同向解集哪个表示范围大就取哪个”
．
5
x
12
＞
6
－
3
x
，
①
例
2
解不等
式组
4
＋
x
2(1
＋
x
)
3
－<
/p>
5
＞
2
－
3
．
②
3
3
错解：
解不等式①，得
x
＞－
．
解不等式②，得
x
＞
5
．由于
x
＞－
的范围
4
4
3
较大，所以不<
/p>
等式组的解集为
x
．
4
错因剖析：
本例错解中，
由于对不等式组的解集理解得不深刻
，
在根据两个
解集的范围确定不等式组的解集时，
形成错误的认识．
其实在求两个一元一次不
等式组成
的不等式组的解集时，可归纳为以下四种基本类型（设
a
＜
b
）
，
x
＞
a
，
x
＜
a
，
x
＞
a
，
x
＜
a
，
①<
/p>
②
③
④
x
＞
b
，
x
＞
b
，
x
＜
< br>b
，
x
＞
b
．
利用数可确定它们的解集分别
为
①
x
＞<
/p>
b
，②
x
＜
a
，③
a
＜
x
＜
b
，④空集．也
可以用下面的口诀来帮助记忆，
“同大取大，同小取小，大小小
大中间取，大大
小小取不了（空集）
”
．
3
正解：
解不等式①，得
x
＞－
．解不等式②，
得
x
＞
5
．<
/p>
4
所以不等式组的解集为
x
＞
5
．
< br>
易错点
3
< br>：
混淆解一元一次不等式组和解二元一次方程组的方法．
x
2
－
2(
x
＋
3)
≤
11
，
①
例
3
解不等式组
3
x
2
＋
2(
x
＋
3)
≤
3
．
②
错解：
由①＋②，得
2
x
≤
14
，即
x
≤
7
，所以不等式组的解集为
x<
/p>
≤
7
．
错因剖析：
本例错在将解一元一次不等式组和解二元一次方程组的方法
混
淆，
误将解二元一次方程组中的加减消元法用在解一元一次不
等式组中．
产生此
类错误的根本原因是没有正确区分解一元一次
不等式组和解二元一次方程组的
不同点，
（
1
）解二元一次方程组时，两个方程不是单独存在的；
（<
/p>
2
）由两个一元
一次不等式组成的不等式
组的解集，可归纳为“独立解，集中到”
，即独立地解
不等式组
中的每一个不等式组中的每一个不等式，
在解的过程中，
各不等
式彼此
不发生关系，
“组”的作用在最后，即每一个不等式的解
集都要求出来后，再利
用数轴从“公共部分”的角度去求“组”的解集．
3
34
正解：
由不等式①，得
x
≥－
17
，即
x
≥－
．
2
3
7
6
由不等式②，得
x
≤－
3
，即
x
≤－
．
<
/p>
2
7
所以原不等式组的解集为－
易错点
4
：
在去分母时，漏乘常数项．
34
6
≤
x
≤－
．
3
7
2
x
－
3
＜
1
，
①
例
4
<
/p>
解不等式组
x
－
1
＋
2<
/p>
≥－
x
．
②
2
错解：
由①，
得
x
＜
2
．
在
x
－
21
＋
2
≥－
x
的两边同乘
2
，
得
x
－
1
＋
2
≥－
2
x
．
于
1
1
是有
x
≥－
，所以原不等式组的解集为
2
< br>＞
x
≥－
．
3
3
错因剖析：
解一元一次不等式组，
需要先求出每一个不等式的解，
最后找出
它们的公共部分．对不等式进行变形时，一定要使用同解变形，不然就容易出<
/p>
错．
本例的解答过程中没有掌握不等式的运算性质，
在去分母时漏乘了中间的一
项．此外，还要注意在表示“大小小大中间取”这
类不等式的解集时应按一般顺
序，把小的那个数放在前面，大的那个数放在后面，用“＜
”连接．
正解：
由①，
得
x
＜
2
< br>．
在
x
－
1
2
＋
2
≥
－
x
的两边同乘
2
，
得
x
－
1
＋
4
≥－
2
x
．
于
是有<
/p>
x
≥－
1
，所以
原不等式组的解集为－
1
≤
x
＜
2
．
易错点
5
：
忽视不等式两边同乘（或除以）的数的符号，导致不等式方向出
错．
1
例
5
解关于
x
的不等式（
< br>－
a
）
x
＞
1
－
2
a
．
2
错解：
去分母，得
(1
－
2
a
)
x
＞
2(1
－
2
a
)
．将不等式两边同时除以（
1
－
2
a
）
，
得
x
＞
2
．
错因剖析：
在利用不等式的性质解不等式时，
如果不等式两边同乘
< br>（或除以）
的数是含字母的式子，
应注意讨论含字母的式
子的符号．
本例中不等式两边同乘
(
或
除以
)
的
(1
－
2
a
)
，在
不确定取值符号的情况下进行约分，所以出错．
正解：
将不等式变形，得
(1
－
2
a
)
x
＞
2(1
－
2
a
)
．
1<
/p>
（
1
）当
1
－
2
a
＞
0
时，即
a
＜
时，
x
＞
2
；
2
1
（
2
）当
1
< br>－
2
a
＝
0
时，即
a
＝
时，不等式无解；
2
1
（
3
）当
1
－
2
a
＜
< br>0
时，即
a
＞
< br>时，
x
＜
2
．
2
10
例
6
如果关于
x
的不等式
(2
a
－
b
)
x
＋
a
－
5
b
＞<
/p>
0
的解集是
x
＜
，则关于
x
7
的不等式
ax
＞
b
的解集是
_________
．
错解：
因为不等式（
2
a
－
b
）
x
＋
a
－
5
b
＞
0
的解
集是
x
＜
10
5
b
－
a
10
，所以
＝
，
7
2
a
－
b
7
2
a
－
b
＝
7
，
则有
5
b
－
a
＝
10
，
a
＝
5
，
3
解得
从而
知
ax
＞
b
的
解集是
x
＞
．
5
b
＝
3
．
错因剖析：
本
题错因有两个，
一是忽视了原不等式的不等号方向与解集的不
等
号方向正好相反；
二是对含有字母系数的不等式没有根据解集的情况确定字母
2
a
－
b
＝
7
，
a
＝
5
，
系数的取值范围，所以在解题时错误得出
< br>解得
从而错误得
5
b
－
a
＝
10
，
< br>b
＝
3
．
3
到
ax
＞
b
的解集是
x
＞
．
5
2
a
－
b
＜
0
，
10
正解：<
/p>
由不等式
（
2
a
－
b
）
x
＋
a
－
5
b
＞
0
的解集是
x
＜
，
得
5
b
－
a
10
解
7
< br>
2
a
－
b
＝
7
，
a
＜
0
，
3
得
b
3
所以
ax
＞
b
的解集是
x
＜
．
5
a
＝
5
．
易错点
6
：
寻找待定字母的取
值范围时易漏特殊情况．
5
－
2
x
≥－
1
，
例
7
若关于
x
的不等式组
无解，则
a
的取
值范围是
x
－
a
＞
2
_____________
___
．
5
－
2
x
≥－
1
，
x
≤
3
，
错解：
由
得
又因为不等式组无解，
所以
a
< br>的取值范围
x
－
a
＞
0
，
< br>
x
＞
a
．
是
a
＞
3
．
错因剖析：
由已知不等式的解集确定不等式组的解集时，可按“同大取大，
同小取小，大小小大中
间取，大大小小取不了”的基本规律求解，但当已知不等
式组的解集而求不等式的解集中
待定字母取值范围时则不能完全套用此规律，
还
应考虑特例，即
a
＝
3
，有<
/p>
x
≤
3
及
x
＞
3
，而此时不等式组也是无解的．因此，
本题错在没有考虑待定字母的取值范
围的特殊情况．
5
－
2
x
≥－
< br>1
，
x
≤
3
，
正解：
由
得
又
因为不等式组无解，
所以
a
的取值范围
x
－
a
＞
0
x
＞
a
．