数理方程练习题
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第二章
定解问题与偏微分方程理论
习题
2.1
1.
密度为
ρ
均匀柔软的细弦线
x
=0
端固定，垂
直悬挂，在重力作用下，于横向拉它一下，
使之作微小的横振动。试导出振动方程。
2.
长为
L
，
均匀细杆
，
x =
0
端固定，另一端沿杆的轴
线方向被拉长
b
静止后（在弹性限度
内
）突然放手，细杆作自由振动。试写出振动方程的定解条件。
3.
长为
L
、
密度为
ρ
的底半径为
R
的均匀圆锥杆
（轴线水平）
作纵振动，
锥的顶点固定在
x
=0
处。导出此杆的振动方程。
4.
一根长为
L
、截面面积为
1
的均匀细杆，其
x
=0
端固定，以槌水平击其
x
=
L
端，使之
获得冲量
I
。试写出定解问题。
习题
2.2
1.
一半径为
r
，
密度为
，
比热为
c
，
热传导系数为
k
的匀质圆杆，
如同截面上的温度相同，
其侧面与温度为
u
1
的介质发生热交换，且热交换的系数为
k
1
。试导出杆上温度
u
满足
的方程。
4.
设有一根具有绝热的侧表面的
均匀细杆，它的初始温度为
(
x
)
，两端满足下列边界条件
之一：
（
1
）一端（
x
=0
）绝热，另一端（
x = L
）保持常温
u
0
；
（
2
）两端分别有热流密度
q
1
和
q
2
进入；
（
3
）一端（
x
=0
）温度为
u
1
(
t
)
，另一端（
x = L
）与温度为
(
t
)
的介
质有热交换。
试分别写出上述三种热传导过程的定解问题。
习题
2.4
1.
判断下列方程的类型：
（
1
）
au
xx
4
au
xy
au
yy
bu
x
cu
y
u
0
；
（
2
）
au
< br>xx
2
au
< br>xy
au
yy
bu
x
< br>cu
y
u
0
；
（
3
）
2
au
xx
2
au
xy
au
y
y
2
bu
x
2
au
y<
/p>
u
0
；
（
4
）
u
xx
xu
yy
0
。
2.
求下列方程的通解
（
1
）
u
xx
< br>
10
u
xy
< br>
9
u
yy
0
；
（
3
）
4
u<
/p>
xx
8
u
xy
3
u
yy
0
。
第三章
分离变量法
习题
3.1
2.
求解下列定解问题
u
tt
a
< br>2
u
xx
,
(
0
x
L
,
t
<
/p>
0
)
（
1
）
u
x
0
u
x
L
0
u
t<
/p>
0
0
,
u
t
t
0
x
(
L
x
)
3.
求下列边值问题的固有值和固有函数：
2
X
X
0
x
y
x
y
< br>y
0
（
1
）
（
3
）
y
x
1
0
< br>,
y
x
e
0
X
x
0
0
,
X
x
L
0
习题
3.2
1.
求定解问题：
< br>
u
t
a
2
u
xx
,
(
0
x<
/p>
L
,
t
0
)
u
x
0
0
,
u
x
L
0
<
/p>
u
t
0
x
(
L
x
)
习题
3.5
2.
求解定解问题：
< br>u
xx
a
2
u
t
Ae
x
0
,
(
0
x
L
,
t
0
)
< br>
u
x
0
0
,
u
x
L
0
u
t
0
T
0
T
0
< br>是常数。
3.
求解定解问题：
< br>x
2
u
a
u
A
cos
sin
t
,(0
x
L
,
t
0)
xx
t
t
L
u
x
x
0
0,
u
x
x
L
0
u
t
0
0,
u
t
t
0
0
习题
3.6
2.
求解定解问题：
u
tt
a
2
u
xx
< br>
f
(
x
),
(
0
x
L
,
t<
/p>
0
)
u
x
0
M
1
,
u
x
L
M
2
u
t
0<
/p>
(
x
),
u
t
t
0
(
x
)
其中，
M
1
和
M
< br>2
为常数。
5.
求解定解问题：
< br>u
tt
u
xx
g
,
(
g
为常数
)
u
(
t
,
0
)
0
,
u
x
(
t
,
L
)
E
,
< br>(
E
为常数
)
< br>
u
(
0
,
x
)
Ex
,
u<
/p>
(
0
,
x
)
0
t
第四章
行波法