代数方程练习题解析
-
参考答案与试题解析
A
组
一．<
/p>
（共
30
小题）
1
．在方程
、
、
、
中，无理方程共有
（
）
D
．
4
个
A
．
1
个
B
．
2
个
C
．
3
个
考点
：
无理方程．
分析：
无理方程是被开方数中含有未知数的方程，根据定义即可判断．
解答：
解：
、
、
都是无理方程；
x
+2x
﹣
=0
是一元二次方程，是整数方程．
故选
C
．
点评：
本题考查的是根式方程的定义
，根式里含有未知数的方程叫根式方程．
2
．三角形的三条边长分别为
2
、
k
、
4
，若
k
满足方程
k
﹣
6k+12
﹣<
/p>
2
3
A
．
B
．
考点
：
无理方程；三角形三边关系．
专题
：
计算题．
分析：
2
本
题需先对方程
k
﹣
6k+12
﹣
2
2
=0
，则
k
的值（
）
D
．
2
或
3
C
．
3
或
4
=0
进行整理，
再根据三角形的三条边长的之间的关系，
判断出
k
的取值，即可得出正确答案．
解答：
解：
k
﹣
6k+12
﹣
k
﹣
6k+12
﹣
2
2
=0
=0
∵
2
、
k
、
4
分别是
三角形的三条边长
∴
2+4
＞
k
∴
k
＜
6 <
/p>
∴
k
﹣
6k+1
2
﹣
2
2
=0
k
﹣
6k+12+
（
k
﹣
6
）
=0
整理得：
（
< br>k
﹣
2
）
（
k
﹣
3
）
=0
∴
k=2
（不合题意舍去）或
k=3
故选
B
．
点评：
本题主要考查了解无理方程和
三角形三边之间的关系，在解题时要根据已知条件和三角形三边之间的关系
是解本题的关
键．
3
．已知
4
A
．
考点
：
无理方程．
专题
：
计算题．
分析：
已知
，则
x
等于（
）
±
2
B
．
2
C
．
±
4
D
．
，先化简再求值即可得出答案．
解答：
解：已知
，∴
x
＞
0
，
∴原式可化简为：
+
+3
=10
，
∴
=2
，
<
/p>
两边平方得：
2x=4
，
∴
x=2
，
故选
C
．
点评：
本题考查了解无理方程，属于
基础题，关键是先化简后再根据平方法求无理方程．
4
．若
，则
x+y
的值为（
）
9
1
A
．
B
．
C
．
9
或
1
D
．
无
法确定
考点
：
无理方程．
专题
：
计算题．
分析：
设
=
a
，将原式化为一元二次方程求解即可解答．
2
2
解答：
解：设
=a
，原方程可变为
a
+2a=3
，变形为
a
+2a
﹣
3=0
，解得
a=
﹣
3
或
a=1
，
又∵
不能为负，
∴
x+y=1
．
故选
A
．
点评：
本题主要考查无理方程的解法
，在解无理方程是最常用的方法是两边平方法及换元法，本题用了换元法．
5
．方程
的所有解的和为（
）
4
3
2
0
A
．
B
．
C
．
D
．
考点
：
无理方程；二次根式的性质与化简．
专题
：
计算题．
分析：
先把根式化简，再讨论
x
的取值范围，根据两边平方即可求出方程的解，从而得出答案．
解答：
解：方程
，
∴
当
x
≥
1<
/p>
时，
=3
，
=3
，
2<
/p>
两边平方得：
x
﹣
4x+4=9
，
解得：
x=
﹣
1
或
x=5
，
∵
x
≥
1
，
< br>
∴
x=5
，
当
x
＜
1
时，
2
=3
，
两边平方得：
x
=9
，
∴
x
=
±
3
，
<
/p>
∵
x
＜
1
，
∴
x=
﹣
3
，
故所有解的和为：
5+
（﹣
3
）
=2
，
故选
C
．
点评：
本题考查了无理方程及二次根
式的化简，属于基础题，关键是先化简二次根式再求值．
6
．已知四个方程
< br>①
；
②
；
③
；
④
，其中有实数解的方
程的个数是（
）个．
1
2
3
4
A
．
B
．
C
．
D
．
考点
：
无理方程．
专题
：
计算题．
分析：
①
根
据被开方数为非负数即可判断；
②
根据分子不为
0
即可判断；
③
根据两个非负
数相加为
0
，
则两个数
同时为
0
即可得出答案；
④<
/p>
移项后两边平方即可求出
x
的值．
解答：
解：方程
①
中得
，无实数解，
< br>
方程
②
中分子不为
0
，也没有实根，
方程
③
中若两个根式的和为
0
，则应同时满足
4x
﹣
1=
0
和
5
﹣
3x
=0
，相互矛盾，所以也没有实根，
只有方程
④
，
=x
﹣
2
，两边同时平方，
x+4=x
﹣
4x+4
，解得：
< br>x
1
=0
（舍去）
，
x
2
=5
．
故选
A
．
点评：
本题考查了无理方程，属于基
础题，关键是掌握用平方法解无理方程．
7
．下列方程中有实数解的是（
）
2
A
．
B
．
C
．
D
．
x
+3=0
考点
：
无理方程；分式方程的解．
分析：
A
是
一元二次方程可以根据其判别式判断其根的情况；
B
、
C
是分式方程，能使得分子为零，分母不为零
的就是方程的根；
D
是无理方程，容易看出没有实数根．
2
解答：
解
：
A
中
△
=0
﹣
4
×
1
×
3=
﹣
12
＜
0
，方程无实数根；
B
中
x=0
是方程的根；
C
中分子不为零的
分式方程不可能为
0
，无实数根；
<
/p>
D
原方程可化为
=
﹣
3
＜
0
，
此根式无意义．
故选
B
．
点评：
此题考查的是一元二次方程根
的情况与判别式
△
的关系．在解分式方程时要验根，不要盲目解
答；解二次
根式时要注意被开方数必须大于
0
< br>．
8
．已知下列关于
x
的方程：
2
①
；
②
+1=0
；
③
+2x=7
；
④
﹣
7=0
；
⑤
+
=2
；
⑥
﹣
=
．
其中，是无理方程的有（
）
A
．
2
个
B
．
3
个
C
．
4
个
考点
：
无理方程．
专题
：
计算题．
分析：
根据无理方程的定义，找出无理方程，即可解答．
解答：
解：
①
根号内不含未知数，所以，不是无理方程；故本项不符合题意；
②
根号内含未知数，所以，是无理方程；故本项符合题意；
③
根号内不含未知数，所以，不是无
理方程；故本项不符合题意；
④
根号
内含未知数，所以，是无理方程；故本项符合题意；
⑤
根号内含未知数，所以，是无理方程；故本项符合题意；
⑥
根号内不含未知数，所以，不是无理方程；故本项不符合题意；
所以，
②④⑤
是无理
方程；
D
．
5
个
故选
B
．
点评：
本题主要考查了无理方程的定
义：方程中含有根式，且开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无
理方程．
9
．下列方程中，没有实数解的是（
）
4
2
2
2
A
．
B
．
C
．
D
．
x
﹣
x
﹣
2=0
x
+y
=1
考点
：
无理方程；高次方程；解分式方程．
专题
：
计算题．
分析：
逐个对每一项进行分析解答，
通过分析解答每一项的方程，来了解它们有无实数解．
解答：
解：
A
、解得
x=
±
2
，又
x+2
≠
0
，即
x
≠
﹣
2
，所以，方程有实数根
x=2<
/p>
；故本项正确；
B
、化简后为
x
﹣
x+2=0
，
△
＜
0
，所以无实数解，故本选项错误；
C
、解得
x=
±
或
x=
﹣
1
，故本选项正
确；
D
、当
x=0
时，
y=
±
1
，有实数解，故本选项正确．
故选
B
．
点评：
本题主要考查解无理方程、高
次方程和分式方程，关键在于熟练掌握解无理方程、高次方程和分式方程的
方法．
10
．下列说法正确的是（
）
2
A
．
B
．
x
﹣
x=0
是二项方程
是二元二次方程
C
．
是分式方程
D
．
是无理方程
2
考点
：
无理方程；高次方程．
分析：
利用无理方程及高次方程的定义进行判断即可得到答案；
解答：
解：
A
、含有两个未知数，且未知数的次数是
2
，故是二元二次方程，故正确；
2
B
、
x
﹣
x
=0
是二次方程，故错误；
C
、分母里不含未知数，不是分式方程，故错误；
D
、被开方数不含分母，不是无理方程，故错误，
故选
A
．
点评：
本题考查了无理方程及高次方
程的定义，解题的关键是熟悉这些方程的定义．
11
．下列关于
x
的方程中，有实数根的是（
）
2
3
A
．
B
．
C
．
D
．
x
+2x+3=0
x
+2=0
．
考点
：
无理方程．
分析：
先计算出
△
，再根据
△
的意义可对
A
进行判断；利用立方根的定义可对
B
进行判断；对于
C
，先去分母得
x=1
，
而
x=1
时，
分母
x
﹣
1=0
，
即
x=1
是原方程的增根，
则原方程没有实数根；
对于
D
，
先移项得到
=
﹣
3
，然后根据二次根式的非负性
易判断方程无实数解．
解答：
解：
A
、
△
=4
﹣
4
×
3=
﹣
8
＜
0
，则方程没有实数根，所以
A
< br>选项不正确；
B
、
x
=
﹣
2
，则
x=
﹣
3
，所以
B
选项正确；
C
、去分母得
x=1
，而
x=1
时，分母
x
﹣
1=0
，则
x=1
是原方程的增根，原方程没有实数根，所以
C
选
项不
正确；
D
、
=
﹣
3
，
方程左边为非负数，右边为负数，则方程无实数解，所以
D
选项
不正确．
故选
B
．
点评：
本题考查了无理方程：根号下
含有未知数的方程叫无理方程；解无理方程常用平方法或换元法把它转化为
整式方程，解
整式方程，然后检验确定无理方程的解．也考查了一元二次方程根的判别式以及解分式方程．
12
．下列方程中为无理方程的是（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
考点
：
无理方程．
分析：
根据无理方程的定义进行的解
答分析，根号内含有未知数的方程叫做无理方程．
解答：
解：
A
项的根号内不含有未知数，所以不是无理方程，故本选项错误，
B
项的根号内含有未知数，是无理方程，故本选型正确，<
/p>
C
项的根号内不含有未知数，所以不是
无理方程，故本选项错误，
D
项的根
号内不含有未知数，所以不是无理方程，故本选项错误，
故选择
B
点评：
本题主要考查无理方程的定义
，关键在于分析各方程的根号内是否含有未知数．
13
．下列关于
x
的方程中，一定有实数根的是（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
考点
：
无理方程．
专题
：
计算题．
分析：
A
、
根据算术平方根的定义即可确定是否有实数根；
B
、根据二次根式有意义确定
x
的取值范围，然后两
边平方解方程，最后根判定是否有意义；
C
< br>、
D
、根据二次根式的性质即可确定方程是否有实数根；
解答：
解
：
A
、
的解为
x=
﹣
1
，所以方程有实数根，故本选
项正确；
B
、∵
C
、∵
D
、∵
=2
﹣
x
，∴
x
﹣
3
＞
0
，即
x
＞
3
，但是此时
2
﹣
x
＜
0
，方程不成立，故本选项错误
；
≥
0
，∴
不成立，故本选项错误；
是非负数，∴它们的和是非负数，故本选项错误．
故选
A
．
点评：
此题主要考查了解无理方程的
方法及二次根式的性质，其中解无理方程最常用的方法是两边平方法及换元
法，本题用了
平方法．
14
．方程
A
．
无
解
B
．
恰
有一解
考点
：
无理方程．
分析：
此题需将方程变形为
的解的情况是（
）
C
．
恰
有两个解
D
．
有
无穷多个解
，再分三种情况讨论，即可得出方程解的
情况；
解答：
解：将方程变形为
若
，则
①
成为
…①
，
，即
，得
x=10
；
若
若
，则
①
成为
，即
5
＜
x
＜
10
时，则
①
成为
，即
，得<
/p>
x=5
；
，即
1=1
，这是一个
恒等式，满足
5
＜
x
＜
10
的任何
x
都是方程的
解，
结合以上讨论，可知，方程的解是满足
< br>5
≤
x
≤
10
的一切实数，即有无穷多个解．
故选：
D
．
点评：
此题考查了无理方程；解题的
关键是将方程进行变形，解题时要注意分三种情况进行讨论．
B
组
15
．如果满足
A
．
a
≥
﹣
5
B
．
=a<
/p>
的实数
x
恰有
6
个值，那么
a
的取值范围是（
）
C
．
0
≤
a
≤
5
D
．
考点
：
无理方程；绝对值；二次根式的应用；不等式的解集．
分析：
根据
x
的取值范围去来化简二次根式，然后根据绝对值的性质、二次函数的最值来求
a
的取值范围．
解答：
解：
=|
（
x
﹣
1
）
（
x
﹣
2
）
|
；
①
当
x
﹣
1
＞
0
< br>，且
x
﹣
2
＞
0
，即
x
＞
2
时，
=|x
﹣
3x+2
﹣
< br>5|=|
（
x
﹣
）
﹣
当
x=
< br>时，
∴
0
≤
a
＜
；
=a=
，
2
2
|
，
②
当
x
﹣
1
＞
0
，且
x
﹣
2
＜
0
，即
1
＜
< br>x
＜
2
时，
=|
﹣
x
+3x
﹣
2
﹣
5|=|
（
x
﹣
）
+
当
x=
时，
∴
a=
≥
=a=
；
，
2
2
|
；
③
当
x
﹣
1
＜
0
，且
x
﹣
2
＜
0
，即
x
＜
1
时，
=|x
﹣
3x+2
﹣
5|=|
（
x
﹣
）
﹣
当
x=
时，
∴
0
≤
a
＜
；
=|
﹣
5|=5
；
=a=
，
2
2
|
，
④
当
x
﹣
1=0
或
x
﹣
2=0
，即
x=1
或<
/p>
x=2
时，
综上所述，
< br>a
的取值范围是：
0
≤
a
≤
5
；
故选
D
．
点评：
本题综合考查了二次根式的应
用、无理方程的解法、绝对值以及不等式的解集．解答该题时，采用了分类
讨论的解题方
法．
16<
/p>
．方程
+
=12
的实数解个数为（
）
0
1
2
3
A
．
B
．
C
．
D
．
考点
：
无理方程．
分析：
首先由题意可知，
x+19
是完全平方数，
x+95
是立方数，然后利用分类讨论思想求解即可．
解答：
解：由题意得：
x+19
≥
0
，
∴
x
≥
﹣
19
，
< br>∴
x+95
≥
76
，
∵
+
< br>=12
，
∴
< br>x+19
是完全平方数，且
x+19
＜
144
，
∴当
x+19=0
时，
当
x+19=1
时，
当
x
+19=4
时，
当
x+19=9
时，
当
x+19=16
时，
当
x+19=25
时，
当
x+19=36
时，
当
x+19=49
时，
当
x+19=64
时，
不是有理数，舍去，
不是有理数，舍去，
不是有理数，舍去，
不是有理数，舍去，
不是有理数，舍去，
不是有理数，舍去，
不是有理数，舍去，
=5
，符合题意，此时
x=30
；
=8
，
＞
5
，此时
8+5
＞
< br>12
，
∴当
< br>x+19
＞
64
时，不符合题意
．
故方程
+
=12
的实数解个数为
1
个．
故选
B
．
点评：
此题考查了无理方程的实数根
问题．注意抓住完全平方数是解此题的关键．
17
．
已知
a
为非负实数，
若关于
x
的方程
A
．
1
个
B
．
2
个
考点
：
无理方程．
专题
：
方程思想．
分析：
首先根据方程
2x
﹣
a
﹣
a+4=0
求得
< br>a=
至少有一个整数根，
则
a<
/p>
可能取值的个数为
（
）
C
．
3
个
D
．
4
个
．再假设
=y
（
y
为非负整数）
，则求得
x
代
入转化为
y
的方程．利用整数的特点进一步确定
y
的值，
进而求得
a
的值．
解答：
解：
2x
﹣
a
﹣
a+4=0
，
为整数，否则
a=
不可能为整数，
显然满足条件的
x
< br>，必使得