圆与方程练习题
-
圆与方程知识点
1
、
圆的标准方程：
(
x
a
)
2
(
y
b
)
2
r
2<
/p>
圆心
C(a,b),
半径为
r
2
、圆的一般方程：
x
2
y
2
Dx
Ey
F
0
3
圆的标准方程：圆心是点
(a, b
)
，半径为
r
的圆的标准方程为
(x-a)
2
+(y-b)
< br>2
=r
2
，其参数方程为
x
a
r
cos
（
θ
为参数）
。
y
b
r
sin
D
2
< br>
E
2
4
F
D
E
2
2
D
E
4
F
0
表示圆，圆心
C<
/p>
（
,
）半径为
2
2
2
D
E
D
2
E
2
4
F
0
< br>表示点（
,
）
D
2
E
2
4
F
0
不表示任何图形
2
2
3
、点
M
(
x
0
,
y
0
)
与圆的关系的判断方法：
（
1
）圆方程为标准式
(
x
a
)
2<
/p>
(
y
b
)
2
r
2
(
x
a
)
2
(
y
b
)
2
<
/p>
r
2
点在圆外
(
x
a
)
2
(
y
b
)
2
r
< br>2
点在圆上
(
x
a
)
2
(
y
b
)
2<
/p>
r
2
点在圆内
（
2
）圆方程为一般式
x
2
y
2
Dx
Ey
F
0
x<
/p>
2
y
2
Dx
Ey
F
0
点在圆外
x
2
y
2
Dx
Ey
F
< br>0
点在圆上
x
2
y
2
Dx
Ey
F
0
点在圆内
4
、直线
l
：
Ax
By
C
0
与圆
C
的位置关系判断方法
（
1
）求出圆的半径
r
，圆
心
C
到直线
l
的距离为
d
d
r
直线
l
与圆
C
相离
直线
l
与圆
C
无交点
d
r
直线
l
与圆
C
相切
直线
l
与圆
C
有一交点
d
r
直线
l
与圆
C
相交
直线
l
与圆
C
有两交点
（
2
）将直线方程代入圆的方程消元变成一元二次方程，求出判别式
b
2
4
ac
0<
/p>
直线
l
与圆<
/p>
C
相离
直线<
/p>
l
与圆
C
无交点
0
直线
l
与圆
C
相切
直线
l
与圆
C
有一交点
0
直线<
/p>
l
与圆
C
相交<
/p>
直线
l
与圆<
/p>
C
有两交点
5
、
圆与圆的位置关系判断方法
求出圆心距
C
1
C
2
，
两圆的半径
r
1
,
r
2
C
1
C
2
r<
/p>
1
r
2
圆
C
1
与圆
C
2
相离
有
4
条公切线
C
1
C
2
r
1
< br>
r
2
圆
C
1
与圆
C
2
外切
有
3
条公切线
|
r
1
r<
/p>
2
|
C
1
C
2
r
1
r
2
圆
C
1
与圆
C
2
相交
有
2
条公切线
C
1
C
2
|
r
1
r
2
|
圆
C
1
与圆
C
2
内切
有
1
条公切线
C
1
C
2
|
r
1
r
2
|
圆
C
1
与圆
C
2
内含
有
0<
/p>
条公切线
6
、过点求圆的切线方程
（
1
）点
(
x
0
,
y
< br>0
)
在圆上
< br>圆的方程为
x
2
y
2
r
< br>2
，切线方程
x
0
x
y
0
< br>y
r
2
圆的方程为
(
x
< br>
a
)
2
(
y
b
)
2
r
2
，切线方程
(
x
0
a
)(<
/p>
x
a
)
(
y
0
b
)(
y
b
)
< br>r
2
x
0
x
y
0
y
E
F
0
圆的方程为
x
y
Dx
Ey
F
0
，切线方程
x
0
x
y
0
y
D
2
2
2
2
（
< br>2
）点
(
x
0
,
y
0
)
在圆外，设直线方程为
y
y
0
k
(
x
x
< br>0
)
即
kx
y
kx
0
y
0
0
由圆心到直线的距离
d
r
求出
k
（过圆外一点作圆的切线有
2
条）
7
、圆
C
1
:
x
2
y
2
D
1
x
E
1
y
F
1
0
< br>与圆
C
2
:
x
2
y
2
D
2
x<
/p>
E
2
y
F
2
0
相交，则公共弦的直线方
程为
< br>(
D
1
D
2
)
x
(
E
1
E
2
)
y
(
F
1
F
2
)
< br>
0
l
公共弦长
l
，半径
r
，圆心到弦的距离（弦心距）
d
满足关系式：
(
)
2
d
2
r
< br>2
2
8
、圆
C
1
:
x
2
y
2<
/p>
D
1
x
E
1
y
F
1
0
与圆
C
2
< br>:
x
2
y
2
D
2
x
E
2
y
F
2
0
相交，过两圆交点的圆系
< br>方程可设为
x
2
y
2
D
< br>1
x
E
1
y
F
1
(
x
2
y
2
D
2
x
E
2
y
< br>
F
2
)
0(
1)
或
x
2
y
2
D
1
x
E
1
y
F
1
< br>[(
D
1
D
2
)
x
(
E
1
<
/p>
E
2
)
y
(
F
1
F
2
)]
0
9
< br>、圆
C
1
:
x
2
y
2
D
1
x<
/p>
E
1
y
F
1
0
与圆
C
2
:
x
2
< br>y
2
D
2
x
E
2
y
F
2
0
点
M
在圆
C
1
上，点
N
在圆
C
2
上，则有
MN
max
C
1
C
2
r
1
r
2
MN
min
0
（相交，相切），
MN
min
C
1
C
2
r
1
<
/p>
r
2
（相离）
MN
min
r
1
r
2<
/p>
C
1
C
2
（内含）
11
、空间直角坐标系
（
1
）点
M
对应着唯一确定的有序实数组
(
x
,
y
,
z
)
，
x
、
y<
/p>
、
z
分别
R
M
O
P
Q
M'
y
是
P
、
Q
、
R
在
x
、
y
、
z
轴上的坐标
（
2
）有序实数组
(
x
,
y
,
z
)
，对应着空间直角坐标系中的一点
12
、
点
P
1
(
x
1
,
y
1
,
z
1
)
与<
/p>
点
P
2
(
x
2
,
y
2
,
z
2
)
的
中
点
坐
标
为
x
x
2
y
<
/p>
y
2
z
1
z
)
2
(
1
,
1
,
2
2
2
x
距离
P
1
P
2
(
x
1
x
2
)
2
(
y
1
y
2
)
2
< br>
(
z
1
z
2
)
2
圆的标准方程
（
1
）已知圆的参数方程是
x
8
cos
(0≤
θ
＜
2
π
）若圆上一点
y
<
/p>
8
sin
M<
/p>
的坐标为
(4,-4
3
< br>)
，则
M
所对应
的参数
θ
的值为
.
分析：将点
M
的坐标代入参数方程分别
求得
sin
θ
,cos
θ
的值，由此求
θ
的值
.
解：将点
M
（<
/p>
4
，
-4
3
）代入
1
cos
x
8
cos
2
得
y
8
sin
sin
3
< br>2
又
∵
0≤
θ
＜
2π,
∴
θ
=
5
.
答案：
5
3
3
(2
)
已知圆的参数方程为
x
5
3
cos
y
3
3
sin
,
则它的普通方程为
.
分析：由参数方程解得
cos<
/p>
θ
、
sin
θ<
/p>
的表达式，由
cos
2
< br>θ
+sin
2
θ
=1
求出
x
与
y
的关系式，即
可求得
. <
/p>
x
5
cos
x
5
3
cos
3
由
解：由
得
y
3
3
sin
sin
y
3
3
cos
2
θ
+sin
2
θ
=1
得
(
x
+5)
2
+(
y
-3)
2
=9
答案：
(
x
+5)
2
+(
y
-3)
2
=9
2.
已知点
M
是圆
x
2
+
y
2
-4
x
=0
上的一个动点，
点
N
（
2
，
6<
/p>
）
为定点，
当点
M
在圆上运动时，
求线段
MN
的中点
P
的轨迹方程，并说明轨迹的图形
.
分析：先将圆
x
2
+
y
2
-4
x
=0
化为
(
x
-2)
2
+
y
2
=4
利用
圆的参数方程求解
.
解法一：将已知圆的方程化为：
（<
/p>
x
-2
）
2
+
y
2
=4, <
/p>
则其参数方程为
x
2
2
cos
,
故可设点
y
2
sin
x
2
c
os
y
3
sin
M
（
2+2cos
θ
,2sin
θ
)
又
∵
点
N
（
2
，
6
）
.
x
2
cos
y
3
sin
∴
MN
的中点
P
为<
/p>
∴
点
P
的轨迹方程为：
它表示圆心在（
2
，
< br>3
）
，半径为
1
的圆
.
3.
若实数
x
、
y
满足
x
2
+
y
2
-2
x
+4
y
=0
，求
x
-
y
的最大值
.
分析一：将圆化为参数方程来解
.
解
法一：将圆
x
2
+
y
2
-2
x
+4
y
=0
变为
(
x
-1)
2
+(
y
+2)
2
< br>=5,
∴
圆的参数方程为
代入
x
-
y
得
x
1
5
cos
y
2
5
sin
x
-
y
=
（
1+
≤
3+
10
5
cos
θ
）
-(-2+
5
sin
θ
)=3+
10
5
（
cos
θ
-sin
θ
)=3+
10
cos(
θ
+
)
4
∴
x
-
y
的最大值为
< br>3+
.
分析二：令
x
-
y
=
u
代入圆方程来解
.
解析二：令
u
=
x
-
y
，则
y
=
x
-
u
代入圆方程得
2
x
2
+2(1-
u
)
x
+
u
2
-4
u
=0
由
Δ
=4(1-
u
)
2
-8(
u
2
-4
u
)≥0
即
u
2
-6
u
-
1≤0
∴
3-
即
3-
范围
.
分析：将圆的参数方程代入
x
+
y
+
m
≥0
，转化为求
m
的最值问题来解
.
解：由
x
2
+(
y
-
1)
2
=1
得其参数方程为：
10
10
≤
u
≤3+
10
≤
x
-
y
≤3+
10
∴
x
-
y
的最大值为
3+<
/p>
10
.
4.
已
知对于圆
x
2
+(
y
-1)
2
=1
< br>上任意一点
P
（
x
,
y
)
，不等式
x
+
y
+
m
≥0
恒成立，求实数
m
的取值
x
cos
y
1
sin
代入
x
+
y
+
m
≥0
得
cos
θ
+1+sin
θ
+
m<
/p>
≥0
2
∴
m
≥
-cos
θ<
/p>
-sin
θ
-1
∴
m
≥
-
∴<
/p>
转化为求
-
∴
m
≥
2
2
4
sin(
θ
＋
<
/p>
)-1
恒成立，
4
sin(
θ
+
)-1
的最大值，
∴
-
2
sin
（
θ
+
）
-1
的最大值为
4
2
-1.
-1.
5.
已知圆
x
2
+
y
2
=1,
定点
A
(1,0),
B
、
C
是圆上两个动点，保持
A
、
B
、
C
在圆上
逆时针排列，
且
∠
BOC
=
（
O
< br>为坐标原点）
，求
△
ABC
重心
G
的轨迹方程
.
3
分析：利用三角形重心坐标公式：
x
x
2
x
3
x
1
3
< br>y
y
1
y
2
y
3
3
来解
.
解：令
B
（
cos
θ
,
sin
θ
）
,
则
C
(cos(
θ
+
),sin(
θ
+
)),
设重心坐标为<
/p>
G
（
x
,
y
）
3
3
1
x
1
cos
cos(
< br>
)
3
3
则
y
1
sin
sin(
<
/p>
)
3
3
1
x
1
3
co
s(
)
3
6
3
y
sin(
)
3
6
化为普通方程得：
(
x
-
1
)
2
+
y
2
=
1
.
3
3
1
．直线
x
2
y
0
被曲线
x
2
y
2
6
x
2
y
<
/p>
15
0
所截得
的弦长等于
2
．圆
C
：
x
2
y
2
Dx
Ey
F
0
的外有一点
P
(
x
0
,
y
0
)
，由点
P
向圆引切线的长
______
k
2
)
x
k
y
<
/p>
2
与
0
圆
x
2
y
2
2
x
2
y
2
0
的
位
置
关
系<
/p>
是
2
．
对
于
任
意
实
数
k
，
直
线
(
3
_________
4
．动圆
x
2
y
2
(4
m
2)
x
2
my
4
m
2
4
m
1
0
的圆心的轨迹方程是
.
５
．
P
为圆
x
2
y
2
1
上的动点，则点
P
到直线
3
x
4
y
10
0
的距离的最小值为
_______
.
三、解答题
１．求过点
A
(2,4)
向圆
x<
/p>
2
y
2
4
所引的切线方程。
２．求直线
2
x
< br>
y
1
0
被圆
x
2
y
2
<
/p>
2
y
1
0
所截得的弦长。
y
2
３．已
知实数
x
,
y
满足
x
2
y
2
1
，求<
/p>
的取值范围。
x
1
４．已知两圆
x
2
y
2
10
x
10
y
0
,
x
2
y<
/p>
2
6
x
2
y
40
0
，
求（
1
）它们的公共弦所
在直线的方程；
（
2
）公共弦长。
1.
4
5
(
x
3)
2
(
y
1)
2
25
，
d
5,
r
5,
r
2
d
2
2
5
2
k
2
k
2<
/p>
；
2.
x<
/p>
0
2
y
0
2
Dx
0
Ey
0
F
3.
相切或相交
2
2
2
(3
k
2)
k
k
另法：直线
恒过
(1,3)
，而
(1,3)
在圆上